江蘇省南京市第一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

這是一份江蘇省南京市第一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題，共22頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
高2020級高三上期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（       ）A． B． C． D．2．己知復(fù)數(shù)，則（為z的共軛復(fù)數(shù)）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知，且則不正確的是（       ）A． B．C． D．4．若，，則（       ）A． B． C． D．5．在△ABC中，若（       ）A． B． C． D．6．正方體的棱長為，為棱上的動點，點分別是棱的中點，則下列結(jié)論正確的是（       ）A．存在點，使得B．存在點，使得為等腰三角形C．三棱錐的體積為定值D．存在點，使得平面7．已知以F為焦點的拋物線上的兩點A，B，滿足，則弦AB的中點到C的準(zhǔn)線的距離的最大值是（       ）A．2 B． C． D．48．已知，，，則的大小關(guān)系為（       ）A． B． C． D．二、多選題9．一個袋子中裝有除顏色外完全相同的10個球，其中有6個黑球，4個白球，現(xiàn)從中任取4個球，記隨機變量為取出白球的個數(shù)，隨機變量為取出黑球的個數(shù)，若取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分，隨機變量為取出4個球的總得分，則下列結(jié)論中正確的是（       ）A． B． C． D．10．對于函數(shù)和，則下列結(jié)論中正確的為（       ）A．設(shè)的定義域為，的定義域為，則．B．函數(shù)的圖像在處的切線斜率為0．C．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，．D．函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱．11．已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（       ）A．是周期函數(shù)B．的圖象關(guān)于原點對稱C．的值域為D．的單調(diào)遞減區(qū)間為，12．已知橢圓C：（）的離心率為，過點P（1，1）的直線與橢圓C交于A，B兩點，且滿足.動點Q滿足，則下列結(jié)論正確的是（       ）A．B．動點Q的軌跡方程為C．線段OQ（O為坐標(biāo)原點）長度的最小值為D．線段OQ（O為坐標(biāo)原點）長度的最小值為三、填空題13．的展開式中，的系數(shù)為___________.14．某校抽調(diào)志愿者下沉社區(qū)，已知有名教師志愿者和名學(xué)生志愿者，要分配到個不同的社區(qū)參加服務(wù).每個社區(qū)分配名志愿者，若要求兩名學(xué)生不分在同一社區(qū)，則不同的分配方案有___________種.15．如圖，在正方體中，點為線段上異于的動點，則下列四個命題：①是等邊三角形；②平面平面；③設(shè)，則三棱錐的體積隨著增大先減少后增大；④連接，總有平面.其中正確的命題是___________.16．已知二次函數(shù)，滿足為偶函數(shù)，且方程有兩個相等的實數(shù)根，若存在區(qū)間使得的值域為，則___________．四、解答題17．已知集合，．(1)若，求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．18．在中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足條件，．(1)求的面積；(2)若，求的值．19．為了迎接2022年成都第31屆世界大學(xué)生夏季運動會，普及大運知識，某校開展了“大運”知識答題活動，現(xiàn)從參加活動的學(xué)生中隨機抽取了100名學(xué)生，將他們的比賽成績（滿分為100分）分為四組：[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到的頻率分布直方圖如圖所示，將成績在[80，100]內(nèi)定義為“優(yōu)秀”，成績低于80分為“非優(yōu)秀” 男生女生合計優(yōu)秀30  非優(yōu)秀 10 合計    (1)求a的值：并根據(jù)答題成績是否優(yōu)秀，利用分層抽樣的方法從這100名學(xué)生中抽取5名，再從這5名學(xué)生中隨機抽取2名，求抽取的2名學(xué)生的成績中恰有一名優(yōu)秀的概率；(2)請將列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為答題成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)？參考公式及數(shù)據(jù): .0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828 20．已知四棱錐中，平面平面，底面為矩形，點E在AD上，且，，為AB的中點，，．(1)證明：；(2)求點到平面的距離．21．已知雙曲線，(1)過點的直線交雙曲線于兩點，若為弦的中點，求直線的方程；(2)是否存在直線，使得 為被該雙曲線所截弦的中點，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由.22．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有三個極值點，求的取值范圍．
高2020級高三入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題參考答案選擇題：BCBABCCB   BD   ACD    AC    ABD1．B【解析】【分析】求出集合、，再由交集的定義求解即可【詳解】集合，，則.故選：B.2．C【解析】【分析】先將已知化為的表達(dá)式，用復(fù)數(shù)的除法運算計算出結(jié)果，然后判斷所處象限即可.【詳解】由得：所以所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第三象限故選：C.3．B【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)和基本不等式的應(yīng)用，結(jié)合指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對選項逐一分析判斷.【詳解】對A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，故A正確；對B，，故B錯誤；對C，因為，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，所以，故C正確；對D，因為，且，故，，所以；故D正確.故選：B4．A【解析】【分析】由商數(shù)關(guān)系及二倍角正余弦公式得，結(jié)合已知列方程求得，再根據(jù)平方關(guān)系求.【詳解】因為，且，所以，得，所以.故選：A5．B【解析】【分析】根據(jù)，可得，則，從而可求得，從而可得出答案.【詳解】解：因為，所以，所以，所以，所以，即，又，故，所以.故選：B.6．C【解析】【分析】取的中點，連接、，再取的中點，連接，即可證明，從而說明A，再證明平面，即可說明C，由平面說明D，最后利用勾股定理說明B.【詳解】解：對于A：取的中點，連接、，再取的中點，連接，又正方體的性質(zhì)可知四邊形為平行四邊形，所以，則，顯然當(dāng)在上時，不存在，故不存在點，使得，故A錯誤；顯然，平面，平面，所以平面，所以到平面的距離為定值，設(shè)為，則，又，故三棱錐的體積為定值，故C正確；因為平面，顯然平面與平面不平行，故不存在點，使得平面，故D錯誤；設(shè)，則，所以，，，顯然，， ，則不能為等腰三角形，故B錯誤；故選：C7．B【解析】【分析】根據(jù)拋物線焦點弦的性質(zhì)以及，聯(lián)立可得，進(jìn)而可用對勾函數(shù)的性質(zhì)求的最值，進(jìn)而可求.【詳解】解法1：拋物線的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，則∵，由拋物線定義可知，∴，又因為，所以即，由①②可得：所以.∵，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，則弦AB的中點到C的準(zhǔn)線的距離，d最大值是.∴弦AB的中點到C的準(zhǔn)線的距離的最大值是，故選：B.解法2：弦AB的中點到C的準(zhǔn)線的距離，根據(jù)結(jié)論，，，故選：B.8．B【解析】【分析】設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)可求得和在上的單調(diào)性，由單調(diào)性得，，由此可得的大小關(guān)系.【詳解】由題意知：，，；設(shè)，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，，即，又，，即；設(shè)，則；令，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，在上單調(diào)遞減，，即，，即；綜上所述：.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)值大小關(guān)系的比較問題，解題關(guān)鍵是將變形后，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的不同函數(shù)值大小關(guān)系比較問題，通過構(gòu)造函數(shù)的方式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識求得函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得到大小關(guān)系.9．BD【解析】【分析】由條件可知，袋子中有6黑4白，又共取出4個球，所以，可判斷B選項；的取值為，計算的概率和期望值，又，可計算，可判斷AC選項；的取值為，且，計算可判斷D選項.【詳解】解：由條件可知，袋子中有6黑4白，又共取出4個球，所以，故B正確；的取值為，，，，，，可知A錯；的取值為，且，，，，，則，，所以，故C錯；的取值為，且，，，，，所以，故D正確；故選：BD.10．ACD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的切線斜率以及單調(diào)性問題，利用函數(shù)的概念以及性質(zhì)來研究定義域與對稱性問題.【詳解】因為，所以，即，解得，因為，所以，解得.所以.故A正確；因為，所以，所以，所以的圖像在處的切線斜率為-1，故B錯誤；因為，定義域為：，所以，由有：，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，，故C正確；當(dāng)時，.所以函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，故D正確.故選：ACD.11．AC【解析】【分析】利用函數(shù)周期的定義可判斷A選項；利用函數(shù)的奇偶性可判斷B選項；考查函數(shù)在上的值域，可判斷C選項；求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為，故函數(shù)為周期函數(shù)，A對；對于B選項，，為偶函數(shù)，B錯；對于C選項，由A選項可知，函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為，不妨考慮函數(shù)在上的值域即可，當(dāng)時，則，，因為函數(shù)為偶函數(shù)，故函數(shù)在上的值域也為，因此，函數(shù)的值域為，C對；對于D選項，考慮函數(shù)在上單調(diào)遞減區(qū)間，當(dāng)時，，且，由可得，由可得，由可得，所以，函數(shù)在上的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為、，由于函數(shù)為偶函數(shù)，故函數(shù)在上的減區(qū)間為、、，因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為、、，D錯.故選：AC.12．ABD【解析】【分析】對于A：利用離心率直接求出；對于B：設(shè)進(jìn)行向量坐標(biāo)化，整理化簡得到，即可判斷出動點的軌跡方程為直線，故正確；對于C、D：求出線段長度的最小值即為原點到直線的距離，利用點到直線的距離公式即可求解.【詳解】對于A：由橢圓的離心率為，得，所以，故正確；對于B：設(shè)，由，得兩式相乘得，同理可得，由題意知且，否則與矛盾，動點的軌跡方程為，即直線，故正確；對于C、D：所以線段長度的最小值即為原點到直線的距離，min，故C錯誤，D正確.故選：ABD.13．【解析】【分析】先將乘積展開為，再分別利用二項展開式計算和中含的項，即求得的展開式含的項，即得結(jié)果.【詳解】，其中的展開式通項為，，故時，得含的項為；的展開式通項為，，故時，得含的項為.因此，式子的展開式中，含的項為，即系數(shù)為 .故答案為：14．72【解析】【分析】利用分組分配的方法及間接法即得.【詳解】有名教師志愿者和名學(xué)生志愿者，要分配到個不同的社區(qū)參加服務(wù)，每個社區(qū)分配名志愿者，共有種分配方案，若兩名學(xué)生分在同一社區(qū)，則有種分配方案，所以兩名學(xué)生不分在同一社區(qū)，則不同的分配方案有種.故答案為：72.15．①②④【解析】【分析】對①：由正方體的面對角線相等即可判斷；對②：由線面垂直的判斷定理證明平面，即可得證平面平面；對③：由平面,可得點M到平面的距離為定值，從而可得三棱錐的體積為定值；對④：由面面平行的判斷定理證明平面平面，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理即可判斷.【詳解】解：對①：在正方體中，設(shè)邊長為1，則，所以是等邊三角形，故①正確；對②：在正方體中，，又平面，所以，因為，所以平面，又平面，所以平面平面，故②正確；對③：在正方體中，因為平面平面, 平面,所以平面,所以點M到平面的距離為定值，所以為定值，故③錯誤；對④：在正方體中，因為，平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，所以平面平面，因為平面，所以平面，故④正確.故答案為：①②④.16．-4【解析】【分析】由為偶函數(shù)可以得到函數(shù)的對稱軸為，可以結(jié)合題意得到在上單調(diào)遞增，利用構(gòu)造二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系即可.【詳解】為偶函數(shù)     的對稱軸是   又有兩個相等的實數(shù)根，即，得，，在上單調(diào)遞增，  ，為方程的兩根，故答案為：-417．(1)(2)【解析】【分析】（1）先求出集合，再根據(jù)并集的定義即可求出.（2）由題可得，討論和兩種情況可求出.(1)由，解得，所以，當(dāng)時，，所以；(2)由，得，當(dāng)時，，解得．當(dāng)時，，解得．綜上實數(shù)的取值范圍為．18．(1)(2)【解析】【分析】（1）由余弦定理結(jié)合題目條件可求出，再由三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系可求出，即可求出三角形的面積.（2）由正弦定理結(jié)合（1）可求出，即可求出答案.(1)由，結(jié)合余弦定理得：，由，知，，所以，所以．(2)由正弦定理得：．所以．19．(1)?；(2)列聯(lián)表見解析，沒有【解析】【分析】（1）由各組的頻率和為1可求出，求出成績非優(yōu)秀的頻率，再乘以總?cè)藬?shù)可得成績非優(yōu)秀的人數(shù)，然后根據(jù)分層抽樣的定義求出抽取的5名學(xué)生成績優(yōu)秀的人數(shù)和成績非優(yōu)秀的人數(shù)，再利用列舉法求所求概率，（2）根據(jù)題意完成列聯(lián)表，然后根據(jù)公式求出，再與臨界值表比較可得結(jié)論(1)由題可得 ?，解得 ?，由題可得， 這 100 名學(xué)生中成績非優(yōu)秀的有 ?名，所以抽取的 5 名學(xué)生中成績非優(yōu)秀的有 ?名， 成績優(yōu)秀的有?名， 記成績優(yōu)秀的 3 名學(xué)生為?， 成績非優(yōu)秀的 2 名學(xué)生為?，從這 5 名學(xué)生中隨機抽取 2 名， 有 ?， 共 10 種情況，其中這 2 名學(xué)生的成績恰有一名優(yōu)秀共有 6 種情況，所以這 2 名學(xué)生的成績恰有一名優(yōu)秀的概率為 ?；(2)補充完整的 ?列聯(lián)表如下表所示： 男生女生合計優(yōu)秀303060非優(yōu)秀301040合計6040100 則 ?的觀測值?，所以沒有 ?的把握認(rèn)為答題成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān).20．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）連接，由平面平面，證得平面，得到，再由，得到，結(jié)合線面垂直的判定定理證得平面，即可證得；（2）設(shè)，點到平面的距離為，結(jié)合，列出方程，即可求解.(1)證明：如圖所示，連接，因為平面平面，且，為AB的中點，所以，所以平面，因為平面，所以，因為四邊形為矩形，，所以，，且，所以，所以，又因為且平面，所以平面，因為平面，所以.(2)解：設(shè)，點到平面的距離為，由（1）知平面，所以，所以 ，因為，即，所以，解得，即點到平面的距離為.21．(1)(2)不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）設(shè)，利用點差法求得直線AB的斜率，根據(jù)直線的點斜式方程結(jié)合驗證，即可求得答案；（2）同（1）利用點差法求得直線方程，把直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，整理得到一元二次方程，其判別式小于0，說明符合題意的直線不存在.(1)設(shè) ，則 ，兩式相減得 ，所以 ，又因為為弦的中點,故 ，所以，所以直線的方程為，即，由方程組得，其 ，說明所求直線存在，故直線的方程為.(2)假設(shè)存在直線，使得 為被該雙曲線所截弦的中點，設(shè)該直線與雙曲線交于C,D兩點，設(shè) ，則 ，兩式相減得 ，所以 ，又因為為弦的中點,故 ，所以，所以直線的方程為，即，由方程組 ,得 ，根據(jù) ，說明所求直線不存在,故假設(shè)不成立，即不存在直線，使得 為被該雙曲線所截弦的中點.22．(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）將問題轉(zhuǎn)化為恰有3個互不相等的實根，由得方程有2個異于-1的實根．令，則．分，討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的零點的個數(shù)判斷a的范圍即可．(1)解：當(dāng)時，，則．令，則．當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．所以，即．當(dāng)時，；當(dāng)時，．故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．(2)解：．若有3個極值點，則恰有3個互不相等的實根，分別記為，，．因為，所以為的一個根．所以方程有2個異于-1的實根．令，則．①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以至多有1個根，不符合題意．②當(dāng)時，令，即，解得．當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．，．當(dāng)，即時，，至多有1個零點，不符合題意．當(dāng)時，，，，因為，且，所以存在，，使得，，所以當(dāng)時，若，則，，則，，則，，則，所以有3個極值點，，．所以的取值范圍為．