選擇題（每小題5分，共60分）
1．若m個(gè)數(shù)的平均數(shù)x，另n個(gè)數(shù)的平均數(shù)y，則m+n個(gè)數(shù)的平均數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
2．已知sinα＜csα，那么銳角α的取值范圍是（ ）
A．30°＜α＜45°B．0°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．0°＜α＜90°
3.如圖是由一個(gè)圓柱體和一個(gè)長(zhǎng)方體組成的幾何體，其左視圖是（ ）
A．B．C．D．
4.下列命題中的假命題是（ ）
A．過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行
B．平行于同一直線的兩條直線平行
C．直線y＝2x﹣1與直線y＝2x+3一定互相平行
D．如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等
5.若m，n滿足m2+3m﹣5＝0，n2+3n﹣5＝0，且m≠n．則的值為（ ）
A．B．﹣C．﹣D．
6.如果a＜b，那么下列不等式中一定成立的是（ ）
A．a(chǎn)2＜abB．a(chǎn)b＜b2C．a(chǎn)2＜b2D．a(chǎn)﹣2b＜﹣b
7.函數(shù)與（）在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）
A．B．C．D．
8．已知實(shí)數(shù)滿足|2021﹣|+=，那么﹣20212值是（ ）
A．2022B．2021C．2020D．2019
9.若關(guān)于x的方程只有一個(gè)實(shí)根，則的值為（ ）
A．0 B.1 C．﹣1 D．0或1
10.如圖1，在平面內(nèi)選一定點(diǎn)O，引一條有方向的射線Ox，再選定一個(gè)單位長(zhǎng)度，那么平面上任一點(diǎn)M的位置可由∠MOx的度數(shù)θ與OM的長(zhǎng)度m確定，有序數(shù)對(duì)（θ，m）稱為M點(diǎn)的“極坐標(biāo)”，這樣建立的坐標(biāo)系稱為“極坐標(biāo)系”．在圖2的極坐標(biāo)系下，如果正六邊形的邊長(zhǎng)為2，有一邊OA在射線Ox上，則正六邊形的頂點(diǎn)C的極坐標(biāo)應(yīng)記為（ ）
A．（60°，4）B．（45°，4）C．（60°，2）D．（50°，2）
11.如圖，一張三角形紙片ABC，其中∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．某同學(xué)將紙片做兩次折疊：第一次使點(diǎn)A落在C處，折痕記為m；然后將紙片展平做第二次折疊，使點(diǎn)A落在B處，折痕記為n．則m、n的長(zhǎng)度分別是（ ）
A．4，B．4，3C．4，D．3，5
已知二次函數(shù)（）的圖象如圖所示，
有下列5個(gè)結(jié)論：
①；②；③；
④2c＜3b；⑤（m≠1的實(shí)數(shù)）．
其中正確的結(jié)論有（ ）
A．2個(gè) B．3個(gè)C．4個(gè) D．5個(gè)
填空題（每小題5分，共20分）
設(shè),則______.
14．如圖，由點(diǎn)P（14，1），A（a，0），
B（0，a）（0＜a＜14）確定的△PAB的面積為18，
則a的值為 ．
閱讀下面材料，并解答第15，16題：
在形如ab＝N的式子中，我們已經(jīng)研究過(guò)兩種情況：
①已知a和b，求N，這是乘方運(yùn)算；
②已知b和N，求a，這是開方運(yùn)算．
現(xiàn)在我們研究第三種情況：已知a和N，求b，我們把這種運(yùn)算叫作對(duì)數(shù)運(yùn)算．
定義：如果ab＝N（a＞0．a(chǎn)≠1，N＞0），則b叫作以a為底的N的對(duì)數(shù)，記作b＝lgaN．
例如：因?yàn)?3＝8，所以lg28＝3；因?yàn)?，所以?br>我們可以根據(jù)對(duì)數(shù)的定義得到對(duì)數(shù)的性質(zhì)：
lga（M?N）＝lgaM+lgaN lga＝lgaM﹣lgaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）
15．根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，那么對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像大致為______
16．根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)計(jì)算：_________.
解答題（17題10分，其余每小題12分）
17.1)計(jì)算（5分）：+（）0+?sin45°﹣（π﹣2019）0
2）（5分）先化簡(jiǎn)，再求值：（x﹣1+）÷，其中x的值是從﹣2＜x＜3的整數(shù)值中選取．
18.（12分）某蔬菜生產(chǎn)基地的氣溫較低時(shí)，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品種蔬菜．如圖是試驗(yàn)階段的某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉后，大棚內(nèi)的溫度y （℃）與時(shí)間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系，其中線段AB、BC表示恒溫系統(tǒng)開啟階段，雙曲線的一部分CD表示恒溫系統(tǒng)關(guān)閉階段．請(qǐng)根據(jù)圖中信息解答下列問題：
（1）求這天的溫度y與時(shí)間x（0≤x≤24）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求恒溫系統(tǒng)設(shè)定的恒定溫度；
（3）若大棚內(nèi)的溫度低于10℃時(shí)，蔬菜會(huì)受到傷害．問這天內(nèi)，恒溫系統(tǒng)最多可以關(guān)閉多少小時(shí)，才能使蔬菜避免受到傷害？
19．（12分）如圖，直線AB經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直線OB于E，D，連接EC，CD．
（1）求證：直線AB是⊙O的切線；
（2）試猜想BC，BD，BE三者之間的等量關(guān)系，并加以證明；
（3）若tan∠CED=，⊙O的半徑為3，求OA的長(zhǎng)．
20．（12分）閱讀以下材料：
對(duì)于三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c，用M{}表示這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，用min{}表示這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)．
例如：M{﹣1，2，3}=；min{﹣1，2，3}=﹣1；
min{﹣1，2，}=（）；min{﹣1，2，}=﹣1（）
解決下列問題：
（1）填空：min{sin30°，cs45°，tan30°}= ，
如果min{2，，}=2，則x的取值范圍為 ；
（2）①如果M{2，，}=min{2，，}，求=_________．
②根據(jù)①，你發(fā)現(xiàn)了結(jié)論“如果M{，b，c}=min{，b，c}，那么_____________（填，b，c的大小關(guān)系）”．
③運(yùn)用②的結(jié)論，若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}=min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，則x+y= ；
（3）在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)，，的圖象（不需列表描點(diǎn)），通過(guò)觀察圖象，填空：min{，，}的最大值為 ．
21．（12分）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，BD=2，E、F分別是邊AD，CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AE+CF=2．
（1）求證：△BDE≌△BCF；
（2）判斷△BEF的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）設(shè)△BEF的面積為S，求S的取值范圍．
22．（12分）已知開口向上的拋物線與x軸交于A（﹣3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，∠ACB不小于90°．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）；
（2）求系數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，求△BCD中CD邊上的高h(yuǎn)的最大值．
（4）設(shè)E，當(dāng)∠ACB=90°，在線段AC上是否存在點(diǎn)F，使得直線EF將△ABC的面積平分？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

高一入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題答案
一．選擇題
1.解：m+n個(gè)數(shù)的平均數(shù)=，故選C．
2.解：∵csα=sin（90°﹣α），∴sinα＜csα=sin（90°﹣α）．
又正弦值隨著角的增大而增大，得α＜90°﹣α，
∴α＜45°．又α是銳角，則α的取值范圍是0°＜α＜45度．故選B．
3.由三視圖可知選A.
4.答案選擇D,還可以互補(bǔ)。
5.由題意可得m，n滿足x2+3x﹣5＝0方程的兩根，由韋達(dá)定理可得答案A
6.解：∵a＜b，∴a﹣2b＜b﹣2b，即a﹣2b＜﹣b，故選：D．
7.由一次函數(shù)、反比例函數(shù)性質(zhì)可知選A.
8解：已知實(shí)數(shù)滿足|2021﹣|+=，可得；
故原式化簡(jiǎn)為：﹣2008+=，即=2021，
平方可得：﹣2022=20212；整理得，a﹣20212=2022．故選A．
9.選D
10.解：如圖，設(shè)正六邊形的中心為D，連接AD，
∵∠ADO＝360°÷6＝60°，OD＝AD，
∴△AOD是等邊三角形，
∴OD＝OA＝2，∠AOD＝60°，
∴OC＝2OD＝2×2＝4，
∴正六邊形的頂點(diǎn)C的極坐標(biāo)應(yīng)記為（60°，4）．故選：A．
11.解：如圖所示：由折疊的性質(zhì)得：DE是線段AC的垂直平分線，
∴DE是△ABC的中位線，
∴m＝DE＝BC＝4；∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
由折疊的性質(zhì)得：AD＝BD＝AB＝5，∠BDF＝90°，
∵∠B＝∠B，∴△BDF∽△BCA，
∴，即，解得：DF＝，即n＝，故選：A．
12.解：開口向下，a＜0；對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，a、b異號(hào)，則b＞0；拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，c＞0，則abc＜0，所以①不正確；
當(dāng)x=﹣1時(shí)圖象在x軸下方，則y=a﹣b+c=0，即a+c=b，所以②不正確；
對(duì)稱軸為直線x=1，則x=2時(shí)圖象在x軸上方，則y=4a+2b+c＞0，所以③正確；
x=﹣=1，則a=﹣b，而a﹣b+c=0，則﹣b﹣b+c=0，2c=3b，所以④不正確；
開口向下，當(dāng)x=1，y有最大值a+b+c；當(dāng)x=m（m≠1）時(shí)，y=am2+bm+c，則a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1），所以⑤正確．
故選：A．
填空
13）.1 14）.3或12 15）.D 16）.-1
三．解答題
17.1）解：原式＝3+1+×﹣1
＝4+1﹣1 (3分）
＝4． (5分）
2）解：原式＝＝＝． (3分）
已知﹣2＜x＜3的整數(shù)有﹣1，0，1，2，
∵分母x≠0，x+1≠0，x﹣1≠0，
∴x≠0，且x≠1，且x≠﹣1，
∴x＝2． （4分）
當(dāng)x＝2時(shí)，原式＝．（5分））
18.1）
2）恒溫系統(tǒng)設(shè)定的恒定溫度：200
3）y=10代入，解得，所以20-10=10
恒溫系統(tǒng)最多可以關(guān)閉10小時(shí)，才能使蔬菜避免受到傷害.
19.（1）證明：如圖，連接OC，（1分）
∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB，（2分）
∴AB是⊙O的切線．（3分）
（2）解：BC2=BD?BE．（4分）
證明：∵ED是直徑，∴∠ECD=90°，∴∠E+∠EDC=90°．
又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC（OC=OD），∴∠BCD=∠E．（5分）
又∵∠CBD=∠EBC，∴△BCD∽△BEC．（6分）
∴．∴BC2=BD?BE．（7分）
（3）解：∵tan∠CED=，∴．
∵△BCD∽△BEC，∴．（9分）
設(shè)BD=x，則BC=2x，∵BC2=BD?BE，∴（2x）2=x?（x+6）．（10分）
∴x1=0，x2=2．∵BD=x＞0，∴BD=2．
∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．（12分）
20.解：（1）min{sin30°，cs45°，tan30°}=，
如果min{2，2x+2，4﹣2x}=2，則x的取值范圍為0≤x≤1；
（2）①∵M(jìn){2，x+1，2x}==x+1．
法一：∵2x﹣（x+1）=x﹣1．當(dāng)x≥1時(shí)，
則min{2，x+1，2x}=2，則x+1=2，
∴x=1．當(dāng)x＜1時(shí)，
則min{2，x+1，2x}=2x，則x+1=2x，
∴x=1（舍去）．綜上所述：x=1．
法二：∵M(jìn){2，x+1，2x}==x+1
∴x+1=min{2，x+1，2x}，
∴∴∴x=1．
②a=b=c．③﹣4；
（3）作出圖象．∴最大值是1．
21（1）證明：∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，BD=2，
∴△ABD和△BCD都為正三角形，∴∠BDE=∠BCF=60°，BD=BC，
∵AE+DE=AD=2，而AE+CF=2，∴DE=CF，∴△BDE≌△BCF；
（2）解：△BEF為正三角形．
理由：∵△BDE≌△BCF，∴∠DBE=∠CBF，BE=BF，
∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°，
∴∠DBF+∠DBE=60°即∠EBF=60°，
∴△BEF為正三角形；
（3）解：設(shè)BE=BF=EF=x，則S=?x?x?sin60°=x2，
當(dāng)BE⊥AD時(shí)，x最小=2×sin60°=，∴S最小=×=，
當(dāng)BE與AB重合時(shí)，x最大=2，∴S最大=×22=，
∴．
22.解：（1）∵拋物線 y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），
∴消去b，得 c=﹣3a．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3a），
（2）當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，
∠AOC=∠BOC=90°，∠OBC+∠BCO=90°，∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠ACO=∠OBC，∴△AOC∽△COB，，
即 OC2=AO?OB，∵AO=3，OB=1，∴OC=，
∵∠ACB不小于90°，∴OC≤，即﹣c≤，
由（1）得 3a≤，∴a≤，
又∵a＞0，∴a的取值范圍為0＜a≤，
（3）作DG⊥y軸于點(diǎn)G，延長(zhǎng)DC交x軸于點(diǎn)H，如圖．
∵拋物線 y=ax2+bx+c交x軸于A（﹣3，0），B（1，0）．
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=﹣1．即﹣=﹣1，所以b=2a．
又由（1）有c=﹣3a．∴拋物線方程為 y=ax2+2ax﹣3a，D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣4a）．
于是 CO=3a，GC=a，DG=1．∵DG∥OH，∴△DCG∽△HCO，
∴，即，得 OH=3，表明直線DC過(guò)定點(diǎn)H（3，0）．
過(guò)B作BM⊥DH，垂足為M，即BM=h，
∴h=HB sin∠OHC=2 sin∠OHC．
∵0＜CO≤，∴0°＜∠OHC≤30°，0＜sin∠OHC≤．
∴0＜h≤1，即h的最大值為1，
答：△BCD中CD邊上的高h(yuǎn)的最大值是1．
（4）由（1）、（2）可知，當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，，，
設(shè)AB的中點(diǎn)為N，連接CN，則N（﹣1，0），CN將△ABC的面積平分，
連接CE，過(guò)點(diǎn)N作NP∥CE交y軸于P，顯然點(diǎn)P在OC的延長(zhǎng)線上，從而NP必與AC相交，設(shè)其交點(diǎn)為F，連接EF，
因?yàn)镹P∥CE，所以S△CEF=S△CEN，
由已知可得NO=1，，而NP∥CE，
∴，得 ，
設(shè)過(guò)N、P兩點(diǎn)的一次函數(shù)是y=kx+b，則，
解得：，即 ，①
同理可得過(guò)A、C兩點(diǎn)的一次函數(shù)為 ，②
解由①②組成的方程組得，，
故在線段AC上存在點(diǎn)滿足要求．
答：當(dāng)∠ACB=90°，在線段AC上存在點(diǎn)F，使得直線EF將△ABC的面積平分，點(diǎn)F的坐標(biāo)是（﹣，﹣）．

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