1. 命題“?x∈R，ex>x2的否定是（ ）
A.?x∈R，exx02D.?x0∈R，ex0≤x02

2. 已知命題“存在x∈{x|04”的（ ）
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4. 已知函數(shù)f(x)＝x3+ax在x＝1處的切線與直線x+4y＝0垂直，則實(shí)數(shù)a等于（ ）
A.2B.1C.?1D.?2

5. 在平面內(nèi)，到直線x＝?2與到定點(diǎn)P(2, 0)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是（ ）
A.拋物線B.雙曲線C.橢圓D.直線

6. 已知雙曲線C1:x2m+y28=1與雙曲線C2:x2?y24=1有相同的漸近線，則雙曲線C1的離心率為（ ）
A.54B.5C.5D.52

7. 若橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)和雙曲線x2m2?y2n2=1(m, n>0)有相同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，P是兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則PF1?PF2的值是（ ）
A.a?mB.12(a2?m)C.a2?mD.a2?m2

8. 已知函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)的圖象可能是（ ）

A.B.
C.D.

9. 已知直線l:x?y+3＝0與雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(1, 4)是弦AB的中點(diǎn)，則雙曲線C的漸近線方程是（ ）
A.y＝±4xB.y=±14xC.y=±12xD.y＝±2x

10. 已知拋物線y2＝4x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d1，到直線l:4x?3y+16＝0為d2，則d1+d2的最小值為（ ）
A.3B.4C.5D.7

11. 如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，則此拋物線方程為（ ）

A.y2＝9xB.y2＝6xC.y2＝3xD.y2=3x

12. 設(shè)函數(shù)f(x)=alnx+bx2(a>0，b>0)，若函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線與直線x+y?2e=0垂直，則1a+1b的最小值為( )
A.1B.12C.3?22D.3+22
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

方程x2k?4+y210?k=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．

已知f(x)＝x3+2xf′(0)，則f′(1)＝________．

若圓(x?4)2+y2＝4與雙曲線C:y2a2?x2b2=1(a>0,b>0)的漸近線相切，則雙曲線C的離心率為________．

已知拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)F與雙曲線x27?y29=1的右焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的焦點(diǎn)為K，點(diǎn)A在拋物線上，且|AK|=2|AF|，則△AFK的面積為________．
三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分

在鈍角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a=32,b=10,B=π4．
(Ⅰ)求sinA的大?。?br>(Ⅱ)求邊c和△ABC的面積．

已知等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a3+a5＝16．
（1）求an；

（2）設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，且bn=4anan+1，求證：Tnb>0)的離心率為32，直線y＝x交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，橢圓C的右頂點(diǎn)為P，且滿足|PA→+PB→|=4．
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)若直線y＝kx+m(k≠0, m≠0)與橢圓C交于不同兩點(diǎn)M、N，且定點(diǎn)Q(0,?12)滿足|MQ→|=|NQ→|，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，那么按所做的第一題計(jì)分。

在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2，直線l的參數(shù)方程為x=?2?ty=33+3t （t為參數(shù)）．
（1）求曲線C和直線l的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)P(?2,33)，直線l與曲線C有不同的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，求1|PA|+1|PB|的值．

已知函數(shù)f(x)＝|2x?1|+|x+2|．
(Ⅰ)求不等式f(x)>4的解集；
(Ⅱ)若f(x)的最小值為m，且實(shí)數(shù)a，b滿足3a?4b＝2m，求(a?2)2+(b+1)2的最小值．
參考答案與試題解析
2020-2021學(xué)年內(nèi)蒙古某校高二（上）第二次月考數(shù)學(xué)試卷（文科）
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.
【答案】
D
【考點(diǎn)】
命題的否定
【解析】
根據(jù)全稱量詞命題的否定的為存在量詞命題，進(jìn)行求解即可．
【解答】
命題“?x∈R，ex>x2”為全稱量詞命題，
所以命題“?x∈R，ex>x2”的否定是存在量詞命題：?x0∈R，ex0≤x02．
2.
【答案】
A
【考點(diǎn)】
命題的真假判斷與應(yīng)用
【解析】
根據(jù)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，由等式2x?m＝0求出m＝2x在x∈{x|02能推出x>2或x4”是“2x>4”的必要不充分條件．
4.
【答案】
B
【考點(diǎn)】
利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程
【解析】
求得f(x)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，再由兩直線垂直的條件，解方程可得所求值．
【解答】
f(x)＝x3+ax的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝3x2+a，
可得函數(shù)f(x)＝x3+ax在x＝1處的切線斜率為3+a，
由切線與直線x+4y＝0垂直，可得(3+a)?(?14)＝?1，
解得a＝1，
5.
【答案】
A
【考點(diǎn)】
圓錐曲線的軌跡問題
【解析】
確定M的軌跡是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，即可得出結(jié)論．
【解答】
動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)P(2, 0)的距離與到定直線l:x＝?2的距離相等，
所以M的軌跡是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，
6.
【答案】
D
【考點(diǎn)】
雙曲線的離心率
【解析】
雙曲線C1:x2m+y28=1與雙曲線C2:x2?y24=1有相同的漸近線，列出方程求出m，然后求出C1的離心率．
【解答】
雙曲線C1:x2m+y28=1與雙曲線C2:x2?y24=1有相同的漸近線，
可得8?m=2，解得m＝?2，此時(shí)雙曲線C1:y28?x22=1，則雙曲線C1的離心率為：2+822=52．
7.
【答案】
D
【考點(diǎn)】
圓錐曲線的綜合問題
【解析】
設(shè)P在第一象限，|PF1|＝s，|PF2|＝t，運(yùn)用橢圓和雙曲線的定義，可得s，t的方程，解方程求得s，t，可得所求乘積．
【解答】
設(shè)P在第一象限，|PF1|＝s，|PF2|＝t，
由橢圓的定義可得s+t＝2a，
由雙曲線的定義可得s?t＝2m，
解得s＝a+m，t＝a?m，
則st＝a2?m2，
8.
【答案】
B
【考點(diǎn)】
函數(shù)的圖象與圖象的變換
【解析】
根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的圖象判斷函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．
【解答】
觀察函數(shù)y＝f′(x)的圖象知，f(x)在(1, 2)上是增函數(shù)，
其余部分遞減，
9.
【答案】
D
【考點(diǎn)】
直線與雙曲線的位置關(guān)系
【解析】
利用點(diǎn)差法求出ba=2，故雙曲線C的漸近線方程是y＝±2x．
【解答】
設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，則x1+x2＝2，y1+y2＝8，y1?y2x1?x2=1，
因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在雙曲線C上，所以x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1 ，所以x12?x22a2?y12?y22b2=0，
則b2a2=y12?y22x12?x22=(y1+y2)(y1?y2)(x1+x2)(x1?x2)=82×1=4，即ba=2，
故雙曲線C的漸近線方程是y＝±2x，
10.
【答案】
【考點(diǎn)】
拋物線的性質(zhì)
【解析】
利用拋物線的定義，將d1+d2的取值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離即可求解．
【解答】
因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)F的距離，
所以過焦點(diǎn)F作直線4x?3y+16＝0的垂線，
則F到直線的距離為d1+d2的最小值，如圖所示：
所以(d1+d2)min=|4?0+16|42+32=4
故選：B．
11.
【答案】
B
【考點(diǎn)】
拋物線的性質(zhì)
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
【解析】
分別過A，B作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于E，D，設(shè)|BF|＝a，運(yùn)用拋物線的定義和直角三角形的性質(zhì)，求得p，可得所求拋物線的方程．
【解答】
如圖，分別過A，B作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于E，D，
設(shè)|BF|＝a，由已知可得|BC|＝2a，
由拋物線的定義可得|BD|＝a，則∠BCD＝30°，
在直角三角形ACE中，因?yàn)閨AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6+3a，2|AE|＝|AC|，
所以6+3a＝12，解得a＝2，|FC|＝3a＝6，
所以p=12|FC|＝3，因此拋物線的方程為y2＝6x．
12.
【答案】
D
【考點(diǎn)】
利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程
基本不等式在最值問題中的應(yīng)用
兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系
【解析】
求得f(x)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由兩直線垂直的條件，可得a，b的關(guān)系式，再由基本不等式可得所求最小值．
【解答】
解：函數(shù)f(x)=alnx+bx2的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=ax+2bx，
可得函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線斜率為a+2b，
由切線與直線x+y?2e=0垂直，
可得a+2b=1，(a>0，b>0)，
則1a+1b=(a+2b)(1a+1b)
=1+2+ab+2ba≥3+2ab?2ba=3+22，
當(dāng)且僅當(dāng)ab=2ba即a=2b=2?1時(shí)，取得等號(hào)，
則1a+1b的最小值為3+22.
故選D.
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
【答案】
(7, 10)
【考點(diǎn)】
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
橢圓的離心率
【解析】
利用橢圓方程，結(jié)合橢圓的性質(zhì)列出不等式組求解即可．
【解答】
方程x2k?4+y210?k=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，k?4>10?k10?k>0 ，解得7b，所以A>C>B，
因?yàn)閏sA=b2+c2?a22bc=10+16?182×10×4>0，所以A∈(0,π2)，
因?yàn)槿切问氢g角三角形，所以c＝4舍去，即c＝2，
所以S△=12acsinB=12×32×2×22=3．
【考點(diǎn)】
余弦定理
正弦定理
【解析】
(Ⅰ)利用正弦定理計(jì)算可得；
(Ⅱ)首先由余弦定理求出邊c，再利用面積公式計(jì)算可得．
【解答】
（1）因?yàn)閍=32,b=10,B=π4，asinA=bsinB，
所以sinA=asinBb=32×2210=31010．
（2）因?yàn)閎2＝a2+c2?2accsB，
所以10=18+c2?2×32×c×22，
得c2?6c+8＝0，即(c?2)(c?4)＝0，所以c＝2或c＝4，
當(dāng)c＝4時(shí)，a>c>b，所以A>C>B，
因?yàn)閏sA=b2+c2?a22bc=10+16?182×10×4>0，所以A∈(0,π2)，
因?yàn)槿切问氢g角三角形，所以c＝4舍去，即c＝2，
所以S△=12acsinB=12×32×2×22=3．
【答案】
設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
∵ a3+a5＝2a4＝16，
∴ a4＝8＝a1+3d，
∴ d＝2，∴ an＝2+(n?1)2＝2n；
證明：∵ bn=4anan+1=42n.2(n+1)=1n(n+1)=1n?1n+1，
∴ Tn=(1?12)+(12?13)+(13?14)+?+(1n?1n+1)=1?1n+1m2?1，故16m2?1，求得m的取值范圍．
【解答】
（1）由|PA→+PB→|=4即2|PO→|＝4，則a＝2，…
由e=ca=32，所以c=3，b＝1，
則橢圓C的方程為x24+y2=1．
（2）設(shè)M(x1, y1)，N(x2, y2)，
聯(lián)立y=kx+mx24+y2=1 ，整理得：(4k2+1)x2+8kmx+4m2?4＝0，
則△＝64k2m2?4(4k2+1)(4m2?4)>0，即4k2>m2?1，且x1+x2=?8km4k2+1，
又設(shè)MN中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(xD, yD)，
因?yàn)閨MQ→|=|NQ→|，所以DQ⊥MN，即yD+12xD=?1k，
又xD=x1+x22=?4km4k2+1，yD＝kxD+m=m4k2+1，
所以6m?1＝4k2，故6m?1>0，且6m?1>m2?1，故16

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