1. 已知p:?x0∈R，30)上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p＝（ ）
A.2B.3C.6D.9

6. 已知橢圓的焦點為(?1, 0)和(1, 0)，點P(2, 0)在橢圓上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A.x24+y2=1B.x24+y23=1C.y24+x2=1D.y24+x23=1

7. 如圖，ABCD?A1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論錯誤的是( )

A.BD // 平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.異面直線AD與CB1所成的角為60°

8. 曲線f(x)＝2x?ex在點（0, f(0)）處的切線方程是（ ）
A.2x?y?1＝0B.x?y+1＝0C.x?y＝0D.x?y?1＝0

9. “a=3”是“直線ax+2y+2a=0和直線3x+(a?1)y?a+7=0平行”的（ ）
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充要條件D.即不充分也不必要條件

10. 若圓(x+1)2+y2＝m與圓x2+y2?4x+8y?16＝0內(nèi)切，則實數(shù)m的值為（ ）
A.1B.11C.121D.1或121
二、非選擇題：填空題共4道小題每題5分共20分：

已知雙曲線C：＝1(a>0, b>0)的漸近線方程為y＝，則雙曲線C的離心率為________．

已知的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，則f′(?1)＝________．

長方體的一個頂點上的三條棱長分別是3，4，5，且它的8個頂點都在同一個球面上，則這個球的表面積是________．

下列各項中，描述正確的是________．（填序號）
①?x∈R，不等式x2+2x>4x?3成立；
②兩個相交平面組成的圖形叫做二面角；
③命題“若a>b>0且c”的逆否命題是真命題；
④二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關(guān)系．
三、解答題：共5道小題，每題12分：

已知圓C:x2+y2?8y+12=0，直線l:ax+y+2a=0，
（1）當(dāng)a為何值時，直線l與圓C相切．

（2）當(dāng)直線l與圓C相交于A、B兩點，且|AB|=22時，求直線l的方程．

已知函數(shù)f(x)=x3?3ax2+2bx在x=1處有極小值?1
（1）求a、b的值；

（2）求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．

中心在原點，一焦點為F1(0, 52)的橢圓被直線y=3x?2截得的弦的中點橫坐標(biāo)是12，求此橢圓的方程．

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，AB=2AD=2，PD=BD=3AD，且PD⊥底面ABCD．

（1）證明：BC⊥平面PBD；

（2）若Q為PC的中點，求三棱錐A?PBQ的體積．

已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，點D(2, y0)在拋物線C上，且|DF|=3，直線y=x?1與拋物線C交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點．
(1)求拋物線C的方程；

(2)求△OAB的面積．
參考答案與試題解析
2020-2021學(xué)年吉林省通化市通化縣高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）
一、選擇題：本大題共10題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.
【答案】
C
【考點】
命題的否定
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
2.
【答案】
B
【考點】
空間中直線與平面之間的位置關(guān)系
空間中直線與直線之間的位置關(guān)系
命題的真假判斷與應(yīng)用
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
3.
【答案】
B
【考點】
直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系
【解析】
設(shè)過點(2, 1)且與直線3x?2y＝0垂直的直線方程為2x+3y+m＝0，把點(2, 1)代入即可得出．
【解答】
設(shè)過點(2, 1)且與直線3x?2y＝0垂直的直線方程為2x+3y+m＝0，
把點(2, 1)代入可得：4+3+m＝0，解得m＝?7．
∴ 要求的直線方程為：2x+3y?7＝0，
4.
【答案】
【考點】
由三視圖求體積
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
5.
【答案】
C
【考點】
拋物線的性質(zhì)
【解析】
直接利用拋物線的性質(zhì)解題即可．
【解答】
A為拋物線C:y2＝2px(p>0)上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，
因為拋物線上的點到焦點的距離和到準(zhǔn)線的距離相等，
故有：9+p2=12?p＝6；
6.
【答案】
B
【考點】
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
【解析】
設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由題意可得c=1，a=2，再由a，b，c的關(guān)系，可得b，進而得到橢圓方程．
【解答】
解：設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
由題意可得c=1，a=2，b=3，
即有橢圓方程為x24+y23=1．
故選：B．
7.
【答案】
D
【考點】
三垂線定理
空間中直線與平面之間的位置關(guān)系
【解析】
A中因為BD // B1D1可判，B和C中可由三垂線定理進行證明；而D中因為CB1 // D1A，所以∠D1AD即為異面直線所成的角，∠D1AD＝45°．
【解答】
解：A，因為BD // B1D1，所以BD // 平面CB1D1，故A正確；
B，因為AC⊥BD，由三垂線定理知AC1⊥BD，故B正確；
C，由三垂線定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，所以AC1⊥平面CB1D1，故C正確；
D，顯然異面直線AD與CB1所成的角為45°，故D錯誤.
故選D.
8.
【答案】
D
【考點】
利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程
【解析】
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切線的斜率和切點，運用斜截式方程，即可得到所求切線的方程．
【解答】
f(x)＝2x?ex的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝2?ex，
在點（0, f(0)）處的切線斜率為k＝2?1＝1，
切點為(0, ?1)，
可得在點（0, f(0)）處的切線方程為y＝x?1．
9.
【答案】
A
【考點】
必要條件、充分條件與充要條件的判斷
【解析】
若“a=3”成立，判斷出兩直線平行；反之，當(dāng)“兩直線平行”成立時，得到a=3或a=?2；利用充要條件的有關(guān)定義得到結(jié)論．
【解答】
解：若“a=3”成立，則兩直線的方程分別是3x+2y+6=0與3x+2y+4=0，兩直線平行；
反之，當(dāng)“直線ax+2y+2a=0與直線3x+(a?1)y?a+7=0平行”成立時，有a3=2a?1，且2a≠?a+7，所以a=3或a=?2；
所以“a=3”是“直線ax?2y?1=0與直線6x?4y+c=0平行”的充分不必要條件，
故選：A．
10.
【答案】
D
【考點】
圓與圓的位置關(guān)系及其判定
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
二、非選擇題：填空題共4道小題每題5分共20分：
【答案】
【考點】
雙曲線的離心率
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
【答案】
?4
【考點】
導(dǎo)數(shù)的運算
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
【答案】
50π
【考點】
球內(nèi)接多面體
球的表面積和體積
【解析】
由題意長方體的外接球的直徑就是長方體的對角線，求出長方體的對角線，就是求出球的直徑，然后求出球的表面積．
【解答】
長方體的一個頂點上的三條棱長分別是3，4，5，且它的8個頂點都在同一個球面上，
所以長方體的對角線就是球的直徑，長方體的對角線為：32+42+52=52，
所以球的半徑為：522；則這個球的表面積是：4π(522)2=50π．
【答案】
①③④
【考點】
命題的真假判斷與應(yīng)用
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
三、解答題：共5道小題，每題12分：
【答案】
解：（1）設(shè)圓心到直線的距離為d，
圓C:x2+y2?8y+12=0的圓心C(0, 4)半徑r=1264?48=2，??????1分
∵ 直線l:ax+y+2a=0與圓相切，
∴ d=|4+2a|a2+1=2，解得a=?34．???5分
（2）∵ 圓心到直線的距離d=|4+2a|a2+1，
直線l與圓C相交于A、B兩點，且|AB|=22時，d=r2?(|AB|2)2=2，?????7分
∴ d=|4+2a|a2+1=2，解得a=?7或a=?1．
∴ 所求直線為7x?y+14=0或x?y+2=0．??????12分
【考點】
直線與圓的位置關(guān)系
【解析】
（1）圓C的圓心C(0, 4)半徑r=2，由直線l:ax+y+2a=0與圓相切，利用點到直線距離公式列出方程，能求出a的值．
（2）直線l與圓C相交于A、B兩點，且|AB|=22時，d=r2?(|AB|2)2=2，再由圓心到直線的距離d=|4+2a|a2+1，列出方程，求出a，由此能求出直線方程．
【解答】
解：（1）設(shè)圓心到直線的距離為d，
圓C:x2+y2?8y+12=0的圓心C(0, 4)半徑r=1264?48=2，??????1分
∵ 直線l:ax+y+2a=0與圓相切，
∴ d=|4+2a|a2+1=2，解得a=?34．???5分
（2）∵ 圓心到直線的距離d=|4+2a|a2+1，
直線l與圓C相交于A、B兩點，且|AB|=22時，d=r2?(|AB|2)2=2，?????7分
∴ d=|4+2a|a2+1=2，解得a=?7或a=?1．
∴ 所求直線為7x?y+14=0或x?y+2=0．??????12分
【答案】
解：（1）∵ f′(x)=3x2?6ax+2b，函數(shù)f(x)=x3?3ax2+2bx在x=1處有極小值?1，
∴ f(1)=?1，f′(1)=0
∴ 1?3a+2b=?1，3?6a+2b=0
解得a=13，b=?12
∴ f(x)=x3?x2?x
（2）∵ f′(x)=3x2?2x?1
∴ 由f′(x)=3x2?2x?1>0得x∈(?∞, ?13)或(1, +∞)
由f′(x)=3x2?2x?10和f′(x)0得x∈(?∞, ?13)或(1, +∞)
由f′(x)=3x2?2x?1b>0)，則a2?b2=50①
又設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，弦AB中點(x0, y0)
∵ x0=12，∴ y0=32?2=?12
由y12a2+x12b2=1y22a2+x22b2=1?y12?y22a2=?x12?x22b2?kAB=y1?y2x1?x2=?a2b2?x0y0=3?a2=3b2②
解①，②得：a2=75，b2=25，
故橢圓的方程為：y275+x225=1．
【考點】
直線與橢圓結(jié)合的最值問題
【解析】
先根據(jù)焦點坐標(biāo)得出a2?b2=50，將直線的方程與橢圓的方程組成方程組，消去y得到關(guān)于x的方程，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得AB的中點的橫坐標(biāo)的表達式，最后根據(jù)聯(lián)立的方程求出其a，b即可求橢圓的方程．
【解答】
解：設(shè)橢圓：y2a2+x2b2=1(a>b>0)，則a2?b2=50①
又設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，弦AB中點(x0, y0)
∵ x0=12，∴ y0=32?2=?12
由y12a2+x12b2=1y22a2+x22b2=1?y12?y22a2=?x12?x22b2?kAB=y1?y2x1?x2=?a2b2?x0y0=3?a2=3b2②
解①，②得：a2=75，b2=25，
故橢圓的方程為：y275+x225=1．
【答案】
證明：∵ AD2+BD2=AB2，∴ AD⊥BD，
∵ AD // BC，∴ BC⊥BD．
又∵ PD⊥底面ABCD，∴ PD⊥BC．
∵ PD∩BD=D，∴ BC⊥平面PBD．
三棱錐A?PBQ的體積VA?PBQ與三棱錐A?QBC的體積相等，
而VA?QBC=VQ?ABC=12VP?ABC=14VP?ABCD=14×13×1×3×3=14．
所以三棱錐A?PBQ的體積VA?PBQ=14．
【考點】
柱體、錐體、臺體的體積計算
【解析】
（1）證明AD⊥BD，BC⊥BD．PD⊥BC．然后證明BC⊥平面PBD．
（2）利用三棱錐A?PBQ的體積VA?PBQ與三棱錐A?QBC的體積相等，轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】
證明：∵ AD2+BD2=AB2，∴ AD⊥BD，
∵ AD // BC，∴ BC⊥BD．
又∵ PD⊥底面ABCD，∴ PD⊥BC．
∵ PD∩BD=D，∴ BC⊥平面PBD．
三棱錐A?PBQ的體積VA?PBQ與三棱錐A?QBC的體積相等，
而VA?QBC=VQ?ABC=12VP?ABC=14VP?ABCD=14×13×1×3×3=14．
所以三棱錐A?PBQ的體積VA?PBQ=14．
【答案】
解：(1)根據(jù)題意，D(2, y0)在拋物線y2=2px上且|DF|=3，
由拋物線定義得2+p2=3，∴ p=2，
故拋物線的方程為y2=4x.
(2)由方程組y=x?1，y2=4x，消去y得x2?6x+1=0，
設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，則x1+x2=6，
∵ 直線y=x?1過拋物線y2=4x的焦點F，
∴ |AB|=x1+x2+p=6+2=8，
又O到直線y=x?1的距離d=22，
∴ △ABO的面積S=12|AB|d=22．
【考點】
與拋物線有關(guān)的中點弦及弦長問題
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
點到直線的距離公式
【解析】
（1）根據(jù)題意，由拋物線的定義，可得2+p2=3，解可得p=2，代入標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得答案；
（2）聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去y得x2?6x+1=0，進而設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=6，結(jié)合拋物線的幾何性質(zhì)，可得|AB|的長，由點到直線距離公式可得O到直線y=x?1，進而由三角形面積公式計算可得答案．
【解答】
解：(1)根據(jù)題意，D(2, y0)在拋物線y2=2px上且|DF|=3，
由拋物線定義得2+p2=3，∴ p=2，
故拋物線的方程為y2=4x.
(2)由方程組y=x?1，y2=4x，消去y得x2?6x+1=0，
設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，則x1+x2=6，
∵ 直線y=x?1過拋物線y2=4x的焦點F，
∴ |AB|=x1+x2+p=6+2=8，
又O到直線y=x?1的距離d=22，
∴ △ABO的面積S=12|AB|d=22．

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