?高三理數(shù)5月份第二次聯(lián)考試卷
一、單項選擇題
1.設(shè)集合 ， ，那么 〔??? 〕
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
2.復(fù)數(shù) 滿足 ，那么 〔??? 〕
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
3.實數(shù) ， 滿足 那么 的最大值是〔??? 〕
A.?-5???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?4
4.α∈(0, )，2sin2α=cos2α+1，那么sinα=〔 ??〕
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
5.設(shè)兩組數(shù)據(jù)分別為 和 ，且 ，那么這兩組數(shù)據(jù)相比，不變的數(shù)字特征是〔??? 〕
A.?中位數(shù)??????????????????????????????????B.?極差??????????????????????????????????C.?方差??????????????????????????????????D.?平均數(shù)
6.函數(shù) 的圖象大致是〔??? 〕
A.??????????B.??????????C.??????????D.?
7.的展開式中 項的系數(shù)為〔??? 〕.
A.?24?????????????????????????????????????????B.?18?????????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????????D.?4
如以下列圖〔單位：cm〕，那么該幾何體的外表積〔單位: cm2〕為〔??? 〕

A.?32?????????????????????????????????????????B.?36?????????????????????????????????????????C.?40?????????????????????????????????????????D.?48
9.數(shù)列 滿足 ， ，那么數(shù)列 的前 項和 〔??? 〕
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
10.橢圓 的兩個焦點分別為 ， ，過 的直線與 交于 ， 兩點．假設(shè) ， ，那么橢圓 的方程為〔??? 〕
A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????D.?
11.三棱錐 的四個頂點在球 的球面上， 平面 ， ， 與平面 所成的角為 ，那么球 的外表積為〔??? 〕
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
12.假設(shè)函數(shù) 有兩個極值點，那么實數(shù) 的取值范圍是〔??? 〕
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
二、填空題
13.向量 ， ，那么 ________.
14.假設(shè)等比數(shù)列 滿足 ， ，那么 ________．
15.過 作與雙曲線 〔 ， 的兩條漸近線平行的直線，分別交兩漸近線于A、B兩點，假設(shè) 四點共圓〔為坐標原點〕，那么雙曲線的離心率為________．
16.函數(shù) ， ，以下命題：
①假設(shè) ，那么 ；
②假設(shè) ，那么 ；
③假設(shè) ，那么 ；
④假設(shè) ，那么 ．
其中正確的序號是________．
三、解答題
17.在 中， ， ， 是 ， ， 所對的邊的長， ， ， ．
〔1〕求 ；
〔2〕假設(shè) 為 邊上一點，且 ，求 的面積．
18.如圖，長方體 的底面是邊長為2的正方形， ，點 ， ， ， 分別為棱 ， ， ， 的中點．

〔1〕求證：平面 上平面 ；
〔2〕假設(shè)平面 平面 ，求直線 與平面 所成角的正弦值．
19.拋物線 的焦點為 ，點 ，圓 與拋物線 交于 ， 兩點，直線 與拋物線交點為 .
〔1〕求證：直線 過焦點 ；
〔2〕過 作直線 ，交拋物線 于 ， 兩點，求四邊形 面積的最小值.
?未成年人保護法?針對監(jiān)護缺失、校園欺凌、煙酒損害、網(wǎng)絡(luò)沉迷等問題，進一步壓實監(jiān)護人、學(xué)校、住宿經(jīng)營者及網(wǎng)絡(luò)效勞提供者等主體責(zé)任，加大對未成年人的保護力度．某中學(xué)為宣傳未成年人保護法，特舉行一次未成年人保護法知識競賽，比賽規(guī)那么是：兩人一組，每一輪競賽中，小組兩人分別答兩題，假設(shè)答對題數(shù)不少于3題，被稱為“優(yōu)秀小組〞，甲乙兩位同學(xué)組成一組，且同學(xué)甲和同學(xué)乙答對每道題的概率分為 ， ．
〔1〕假設(shè) ， ，那么在第一輪競賽中，求他們獲“優(yōu)秀小組〞的概率；
〔2〕當 ，且每輪比賽互不影響，如果甲乙同學(xué)在此次競賽活動中要想獲得“優(yōu)秀小組〞的次數(shù)為9次，那么理論上至少要進行多少輪競賽？
21.函數(shù) ， 為 的導(dǎo)函數(shù)．
〔1〕設(shè) ，討論函數(shù) 的單調(diào)性；
〔2〕假設(shè)點 ， 均在函數(shù) 的圖象上，設(shè)直線AB的斜率為k，證明： ．
22.數(shù)學(xué)中有許多寓意美好的曲線，在極坐標系中，曲線 ： 〔 ， 〕被稱為“三葉玫瑰線〞〔如以下列圖〕．

〔1〕求以極點為圓心的單位圓與三葉玫瑰線交點的極坐標；
〔2〕射線 ， 的極坐標方程分別為 ， 〔 ， 〕， ， 分別交曲線 于點 ， 兩點，求 的最小值．
23.函數(shù) .
〔1〕解不等式： ；
〔2〕實數(shù) 滿足：對 都有 ，假設(shè) ， ， 且 ，求 最小值.

答案解析局部
一、單項選擇題
1.【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ．
故答案為：C．

【分析】利用利用一元二次不等式得解法求解B，然后求解交集。
2.【解析】【解答】 ， .
故答案為：B.

【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法那么求解Z即可。
3.【解析】【解答】根據(jù)線性約束條件作出可行域如以下列圖：

由 可得 ，作 ，讓其沿著可行域的方向平移，
由 可得
由圖可知過點 時取得最大值，
所以最大值為 ，
故答案為：D

【分析】根據(jù)線性約束條件作出可行域，將目標函數(shù)變形為 ， 讓其再可行域內(nèi)移動找到最值點。
4.【解析】【解答】由二倍角的正弦和余弦公式整理化簡原式2sin2α=cos2α+1，4sinαcosα=2cos2α，可得到，代入到 ,
∵a∈〔0， 〕
∴,
∴ .
故答案為：B
【分析】利用二倍角的正弦和余弦公式整理化簡原式即可求出 ，再由同角三角函數(shù)的關(guān)系式求出 ，結(jié)合角的取值范圍可判斷出 的符號為正，從而求出結(jié)果。
5.【解析】【解答】原始中位數(shù)為 ，去掉 ， 后剩余 ，中位數(shù)仍為 ，A符合題意；
原始平均數(shù) ，后來平均數(shù) ，
平均數(shù)受極端值影響較大，∴ 與 不一定相同，D不正確；
，由②易知，C不正確；
原極差 ，后來極差 ，顯然極差變小，B不正確，
故答案為：A.

【分析】分別計算并分析中位數(shù)，平均數(shù)和極差，可判斷A項正確。
6.【解析】【解答】∵ ，
∴ 知： 是奇函數(shù)，排除C、D，
上， ， ，
故答案為：A.

【分析】可驗證函數(shù)為奇函數(shù)，圖像個關(guān)于原點對稱，排除CD,且上， ， ， 故A 正確。
7.【解析】【解答】 展開式中含 的項為： ，
所以 的展開式中 項的系數(shù)為18，
故答案為：B.

【分析】利用二項式展開定理可知含 的項為： ， 計算即可。
8.【解析】【解答】由三視圖知該幾何體的直觀圖如以下列圖：

其中 平面ABC， ，
那么 ，
所以 平面APC，
所以
所以四個面都是直角三角形
所以該幾何體的外表積 ，
.
故答案為：A

【分析】由三視圖知該幾何體的直觀圖為三棱錐，如以下列圖：可證PC,四個面都是直角三角形，該幾何體的外表積 ,計算可得結(jié)果。
9.【解析】【解答】數(shù)列 滿足 ， ，
在等式 兩邊同時取倒數(shù)得 ， ，
所以，數(shù)列 是等差數(shù)列，且首項為 ，公差為 ，那么 ， ，
，
因此， .
故答案為：B.
【分析】利用倒數(shù)法求出數(shù)列 的通項公式，進而利用裂項相消法可求得 .
10.【解析】【解答】 ，所以可得 ，
又因為 ，
所以可得 ，即 為短軸的頂點，
設(shè) 為短軸的上頂點 ， ， ，
所以 ，
所以直線 的方程為： ，
由題意設(shè)橢圓的方程為： ，那么 ，
聯(lián)立 ，整理可得： ，
即 ，可得 ，
代入直線的方程可得 ，
所以 ，
因為 ，
所以 ，整理可得： ，
解得： ，可得 ，
所以橢圓的方程為： ，
故答案為：D．

【分析】由題意可知可得 ， 又因為 ，可得 ， 設(shè) 為短軸的上頂點 ， 所以 ， 直線 的方程為： ，與橢圓方程聯(lián)立可計算出B點的坐標，進而求解出 ， 再根據(jù)關(guān)系式 ?求解a值，進而求解出B值和橢圓方程。
11.【解析】【解答】取 中點 ，連接 ， ，那么 .
平面 ， 平面 ，故 .

，故 平面 ，故 為 與平面 所成的角為 .
，故 ， ， ，故 .
球心 在平面 的投影為 的外心 ，
根據(jù) 知， ，故 ，
故球的外表積為 .
故答案為：B.

【分析】通過證明可得?平面 ， 故 為 與平面 所成的角為 .，?， ， ，故 .球心 在平面 的投影為 的外心 ， 進而可求解半徑R,利用求得外表積公式計算即可 。
12.【解析】【解答】解：依題意， 有兩個變號零點，
令 ，即 ，那么 ，
顯然 ，那么 ，
設(shè) ，那么 ，
設(shè) ，那么 ，
∴ 在 上單調(diào)遞減，
又 ，
∴當 時， ， ， 單調(diào)遞增，
當 時， ， ， 單調(diào)遞減，
∴ ，且 時， ， 時， ，
∴ ，解得 ．
故答案為：B．

【分析】根據(jù)題意利用導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系可得 ， 設(shè) ，再利用導(dǎo)數(shù)求解 的值域，即可得到m的取值范圍。
二、填空題
13.【解析】【解答】由題意知：
∴ ，
故答案為：5.

【分析】利用向量的坐標運算求解 的坐標，進而利用坐標求解模長。
14.【解析】【解答】設(shè)等比數(shù)列 的公比為 ，由 ；得 ①，
又 ，得 ②，
聯(lián)立①②得 ，即 ，
解得 ，將 代入①得 ，所以 ．
故答案為：-32．

【分析】根據(jù)條件，利用等比數(shù)列的通項公式列出方程組，求解數(shù)列的首項和公比，再利用通項計算 ?。
15.【解析】【解答】解：由題意可得 ，
∵直線 、 都平行于漸近線，
∴可設(shè)直線 的方程為 ，直線 的方程為 ，
∴過點 平行與 的直線 的方程為 ，
過點 平行與 的直線 的方程為 ，
分別聯(lián)立方程 ， ，
解得 ， ，即線段 與 互相垂直平分，
那么四邊形 為菱形，其外接圓圓心在 、 的交點處，
∴ ，
那么 即 ，
∵ ， ，
∴雙曲線的離心率 ，
故答案為： ．

【分析】?根據(jù)題意寫出， ， ， 直線的直線方程，分別聯(lián)立可得AB點坐標，分析得四邊形 為菱形，那么， 利用垂直向量的數(shù)量積為0可得a與b的關(guān)系，結(jié)合雙曲線中abc的關(guān)系可計算離心率。
16.【解析】【解答】通過圖像，即可對①②進行判斷；當 時，討論 和 ，得到 的值范圍．
解：函數(shù) ， ，
①∵由圖像可得， 在 單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，
∴假設(shè) ，那么 ，故①正確，

②∵ ， ，
∴ ，故②正確，
③當 時，假設(shè) 時，那么 ，
假設(shè) 時， ，即 ，
∴ ，即 ，
∴ ， ，故③正確，④錯誤，
故答案為：①②③．

【分析】畫出函數(shù)圖像，利用函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間分析判斷選項的正確性即可。
三、解答題
17.【解析】【分析】〔1〕對條件 ?運用兩角和的正弦公式 ， 可得?， 進而分析出A的值，再利用余弦定理可計算b的值。
〔2〕運用正弦定理可得 ?，?進而計算出?， ? ，直接利用面積公式求解即可。
?
?
18.【解析】【分析】〔1〕通過證明平面 ?? 內(nèi)的直線 ??平面?? 來證明 平面??平面??。
〔2〕建立如以下列圖空間四邊形，證明 ?，求解平面??的一個法向量， 直線??與平面??所成角的正弦值 恰好就是AF與法向量所成角的余弦值，利用數(shù)量積的公式計算即可。
?
?
19.【解析】【分析】〔1〕 直線??的斜率與直線??的斜率相等來證明三點共線即可。
〔2〕?將直線??的方程 于拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得??，同理可得?， 代入面積公式，利用根本不等式求解最小值。
20.【解析】【分析】〔1〕由題意可知 獲“優(yōu)秀小組〞的 情況分三種，分別求出概率即可。
〔2〕首先計算甲乙獲得 “優(yōu)秀小組〞的 概率P，再根據(jù) ? ， 利用根本不等式 的范圍，將概率P轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最大值， 由?計算n的最小值。
?
?
21.【解析】【分析】〔1〕利用?的導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性。
〔2〕 ?，要證???，即證??，
令?? ， 那么?? ， 所以只須證?， ①設(shè)?，利用其導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系可得最值，然后將問題轉(zhuǎn)化為證明 ?即可。
?
22.【解析】【分析】〔1〕直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程直角進行轉(zhuǎn)換；
〔2〕利用極徑的應(yīng)用和三角函數(shù)關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果。
23.【解析】【分析】〔1〕分段討論解絕對值不等式即可。
〔2〕根據(jù)條件得到 ?，然后利用根本不等式的性質(zhì)進行化簡求解即可。
?
?

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