1. 已知集合A=x|x2?2x?80,b>0的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1作與其中一條漸近線平行的直線與C交于點A，若△AF1F2為直角三角形，則雙曲線C的離心率為( )
A.5B.3C.2D.2

12. 某三棱錐的正視圖和俯視圖如圖所示，已知該三棱錐的各頂點都在球O的球面上，過該三棱錐最短的棱的中點作球O的截面，截面面積最小為( )

A.3π2B.πC.2πD.5π3
二、填空題

已知向量a→=1,k，b→=?2,14，且a→與b→共線，則k=________.

2020年11月15日，東盟十國及中國、日本、韓國、澳大利亞、新西蘭正式簽署了區(qū)域全面經(jīng)濟伙伴關(guān)系協(xié)定．某自媒體準備從這15個國家中選取4個國家介紹其經(jīng)濟貿(mào)易情況，則東盟國家及非東盟國家至少各有1個被選取的方法數(shù)為________ .

已知曲線y=xex在點1,e處的切線與曲線y=alnx+2在點1,2處的切線平行，則a=________．

x+2x+15展開式中的常數(shù)項為________ .
三、解答題

已知函數(shù)fx=ln2x?ax2.
(1)若fx在1,+∞內(nèi)不單調(diào)，求a的取值范圍；

(2)若a=2，求fx在12e,e2上的值域．

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且3a=2bsinC+π3.
(1)求B；

(2)若△ABC的面積為3，D為AB邊的中點，求CD的最小值．

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°．點E，F(xiàn)分別在棱BC，PD上（不包含端點），且PF:DF=BE:CE．

(1)證明：EF//平面PAB；

(2)若PA=2AB，求二面角B?PC?D的余弦值．

已知拋物線C：x2=2pyp>0的焦點為F，點P為拋物線C上一點，點P到F的距離比點P到x軸的距離大1．過點P作拋物線C的切線，設(shè)其斜率為k0．
(1)求拋物線C的方程．

(2)直線l：y=kx+b與拋物線C相交于不同的兩點A，B（異于點P），若直線AP與直線BP的斜率互為相反數(shù)，證明：k+k0=0．


(1)證明：對任意的x1，x2∈[1,+∞)，不等式lnx1x2≤x1+x21?1x1x2恒成立．

(2)證明：xex≥x+lnx+1．

已知函數(shù)fx=2aex?xex.
(1)若a=0，求fx的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對于任意x∈R，fx+1a≤0恒成立，求a的最小值．
參考答案與試題解析
2020-2021學(xué)年山西省某校高二（下）期中考試數(shù)學(xué)（理）試卷
一、選擇題
1.
【答案】
B
【考點】
交集及其運算
一元二次不等式
【解析】
此題暫無解析
【解答】
解：∵ A=x|x2?2x?80，得12e≤x0,故a的取值范圍為(0,12).
(2)因為a=2，
所以f′(x)=(1?2x)(1+2x)x，
令f′(x)>0，得12e≤x0，
化簡，得3csB=sinB，
即tanB=3.
因為B∈(0,π)，
所以B=π3．
(2)因為S△ABC=12acsinB=3，
所以ac=4，
在△BCD中，由余弦定理，得CD2=a2+(c2)2?2a?c2csB，
=a2+c42?2≥2a?c2?2=2，
當且僅當a=2，c=22時，等號成立．
所以CD≥2，
即CD的最小值為2．
【答案】
(1)證明：過點F作HF//AD，HF∩PA=H，連接BH，如圖，
因為HF//AD，
所以HFAD=PFPD．
因為PF:DF=BE:CE．
所以PFPD=BEBC，
所以HFAD=BEBC．
因為四邊形ABCD是菱形，
所以BC//AD，且BC=AD，
所以HF//BE，且HF=BE，
所以四邊形BEFH是平行四邊形，
則EF//BH．
因為BH?平面PAB，EF?平面PAB，
所以EF//平面PAB．
(2)解：以A為原點，過A作垂直AD的直線為x軸，以AD→，AP→的方向分別為y，z軸的正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)?xyz，
設(shè)AB=2，則B3,?1,0，C3,1,0，D0,2,0，P0,0,22，
從而BC→=0,2,0，PC→=3,1,?22，CD→=?3,1,0．
設(shè)平面PBC的法向量為n→=x1,y1,z1，
則n→?PC→=3x1+y1?22z1=0,n→?BC→=2y1=0,
令x1=22，得n→=22,0,3．
設(shè)平面PCD的法向量為m→=x2,y2,z2，
則m→?PC→=3x2+y2?22z2=0,m→?CD→=?3x2+y2=0,
令x2=2，得m→=2,23,6．
設(shè)二面角B?PC?D的夾角為θ，由圖可知θ為鈍角，
故csθ=?|cs|=?n→?m→|n→||m→|=?42+0+3211×22=?711．
【考點】
直線與平面平行的判定
用空間向量求平面間的夾角
【解析】
無
無
【解答】
(1)證明：過點F作HF//AD，HF∩PA=H，連接BH，如圖，
因為HF//AD，
所以HFAD=PFPD．
因為PF:DF=BE:CE．
所以PFPD=BEBC，
所以HFAD=BEBC．
因為四邊形ABCD是菱形，
所以BC//AD，且BC=AD，
所以HF//BE，且HF=BE，
所以四邊形BEFH是平行四邊形，
則EF//BH．
因為BH?平面PAB，EF?平面PAB，
所以EF//平面PAB．
(2)解：以A為原點，過A作垂直AD的直線為x軸，以AD→，AP→的方向分別為y，z軸的正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)?xyz，
設(shè)AB=2，則B3,?1,0，C3,1,0，D0,2,0，P0,0,22，
從而BC→=0,2,0，PC→=3,1,?22，CD→=?3,1,0．
設(shè)平面PBC的法向量為n→=x1,y1,z1，
則n→?PC→=3x1+y1?22z1=0,n→?BC→=2y1=0,
令x1=22，得n→=22,0,3．
設(shè)平面PCD的法向量為m→=x2,y2,z2，
則m→?PC→=3x2+y2?22z2=0,m→?CD→=?3x2+y2=0,
令x2=2，得m→=2,23,6．
設(shè)二面角B?PC?D的夾角為θ，由圖可知θ為鈍角，
故csθ=?|cs|=?n→?m→|n→||m→|=?42+0+3211×22=?711．
【答案】
(1)解：設(shè)點Px0,y0，
由點P到F的距離比點P到x軸的距離大1，
可得|PF|=y0+1，
即y0+p2=y0+1，
所以p=2，
即拋物線C的方程為x2=4y．
(2)證明：設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，
直線AP的斜率為kAP，直線BP的斜率為kBP，
則kAP=y1?y0x1?x0x1≠x0，kBP=y2?y0x2?x0x2≠x0．
因為直線AP與直線BP的斜率互為相反數(shù)，
所以kAP=?kBP，
即y1?y0x1?x0=?y2?y0x2?x．
又點Ax1,y1，Bx2,y2均在拋物線上，
可得x124?x024x1?x0=?x224?x024x2?x0，
化簡可得x1+x2=?2x0．
因為x12=4y1，x22=4y2，
所以x12?x22=4y1?y2，
即y1?y2x1?x2=x1+x24，
故k=y1?y2x1?x2=?x02．
因為x2=4y，
所以y=14x2，
所以y′=12x，
則k0=12x0．
故k+k0=0．
【考點】
拋物線的標準方程
拋物線的性質(zhì)
直線與拋物線的位置關(guān)系
圓錐曲線中的定點與定值問題
【解析】
此題暫無解析
【解答】
(1)解：設(shè)點Px0,y0，
由點P到F的距離比點P到x軸的距離大1，
可得|PF|=y0+1，
即y0+p2=y0+1，
所以p=2，
即拋物線C的方程為x2=4y．
(2)證明：設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，
直線AP的斜率為kAP，直線BP的斜率為kBP，
則kAP=y1?y0x1?x0x1≠x0，kBP=y2?y0x2?x0x2≠x0．
因為直線AP與直線BP的斜率互為相反數(shù)，
所以kAP=?kBP，
即y1?y0x1?x0=?y2?y0x2?x．
又點Ax1,y1，Bx2,y2均在拋物線上，
可得x124?x024x1?x0=?x224?x024x2?x0，
化簡可得x1+x2=?2x0．
因為x12=4y1，x22=4y2，
所以x12?x22=4y1?y2，
即y1?y2x1?x2=x1+x24，
故k=y1?y2x1?x2=?x02．
因為x2=4y，
所以y=14x2，
所以y′=12x，
則k0=12x0．
故k+k0=0．
【答案】
證明：(1)要證ln(x1x2)≤(x1+x2)(1?1x1x2)，
即要證lnx1+lnx2≤x1+x2?1x1?1x2，
只需證lnx1?x1+1x1+lnx2?x2+1x2≤0，
令f(x)=lnx?x+1x，x∈[1,+∞)，
因為f′x=1x?1?1x2=?xx?1?1x2

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