?高三數(shù)學(xué)三模試卷
一、單項(xiàng)選擇題
1.設(shè)集合 ， ，那么 〔??? 〕
A.?{2}???????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
2. 是虛數(shù)單位， ，假設(shè)復(fù)數(shù) 為純虛數(shù)，那么 〔??? 〕
A.?-2?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
3.角 的始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn) ，那么 〔??? 〕
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
4. ，那么 〔??? 〕
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
5.雙曲線C： 的左、右焦點(diǎn)分別為 、 ，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，假設(shè) ，那么 的面積為 〔??? 〕
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
6.〔其中 〕的展開式的常數(shù)項(xiàng)與其各項(xiàng)系數(shù)之和相等，那么其展開式中 的系數(shù)為〔??? 〕
A.?-45??????????????????????????????????????B.?45??????????????????????????????????????C.?-180??????????????????????????????????????D.?180
7.赤道式日晷(guǐ〕是利用日影變化規(guī)律制成的天文記時(shí)儀器〔如下左圖)，“日〞指“太陽〞，“晷〞表示“影子〞，“日晷〞的意思為“太陽的影子〞.晷針在晷面上的日影自西向東慢慢移動(dòng)，晷面的刻度〔如下右圖〕是均勻的，移動(dòng)的晷針日影猶如現(xiàn)代鐘表的指針，日影落在晷面相應(yīng)的刻度上便可讀取時(shí)間.晷面上刻有十二個(gè)時(shí)辰，用十二地支表示，每個(gè)時(shí)辰大約2小時(shí)，正子時(shí)表示凌晨0點(diǎn)左右，那么下右圖表示的時(shí)間大約是幾點(diǎn)鐘？假設(shè)再過31個(gè)小時(shí)大約是哪個(gè)時(shí)辰？ 〔??? 〕

A.?4點(diǎn)，戌時(shí)????????????????????????B.?5點(diǎn)，亥時(shí)????????????????????????C.?9點(diǎn)，申時(shí)????????????????????????D.?10點(diǎn)，酉時(shí)
8.函數(shù) ，那么不等式 的解集為〔??? 〕
A.?????????????????????????????????????????B.?
C.?????????????????????????????????????????D.?
二、多項(xiàng)選擇題
9.函數(shù) ，假設(shè) ，且 ，那么以下不等式成立得有〔??? 〕
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
10.以下說法正確的選項(xiàng)是〔??? 〕
A.?某投擲類游戲闖關(guān)規(guī)那么是游戲者最多投擲5次，只要有一次投中，游戲者即闖關(guān)成功，并停止投擲，每次投中的概率為 ，那么游戲者闖關(guān)成功的概率為
B.?從10名男生、5名女生中選取4人，那么其中至少有一名女生的概率為
C.?隨機(jī)變量X的分布列為 ，那么
D.?假設(shè)隨機(jī)變量 ，且 .那么 ，
11.將邊長為2的正方形 沿對角線 折成直二面角 ，如下列圖，點(diǎn) 分別為線段 的中點(diǎn)，那么 〔??? 〕

A.?與 所成得角為
B.?
C.?過 且與 平行得平面截四面體 所得截面的面積為
D.?四面體 的外接球的外表積為8π
12.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出：反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)，拋物線r： ，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于x軸的光線 從點(diǎn) 射入，經(jīng)過r上的點(diǎn) 反射后，再經(jīng)r上另一點(diǎn) 反射后，沿直線 射出，經(jīng)過點(diǎn)Q，那么 〔??? 〕
A.????????????????????????????????????????????????B.?
C.?PB平分 ???????????????????????????????????????D.?延長AO交直線 于點(diǎn)C，那么C，B，Q三點(diǎn)共線
三、填空題
13.等差數(shù)列 的前n項(xiàng)和為 ， ， ，那么 ________．
14.在 中， ，點(diǎn)P為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)， ，那么 的取值范圍是________．
15.四棱錐 的底面是正方形，側(cè)棱長均為3，那么該四棱錐的體積的最大值為________．
16.關(guān)于x的不等式 恰有一個(gè)解，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
四、解答題
17.如下列圖，在梯形ABCD中， ， ，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)， ， .

〔1〕求 的大小；
〔2〕假設(shè) 的面積 為 ，求BC.
18.假設(shè)數(shù)列 及 滿足 且 ， .
〔1〕證明： ；
〔2〕求數(shù)列 的通項(xiàng)公式.
19.在四棱錐 中， ， ， ， ， ， ， .

〔1〕證明： 平面 ；
〔2〕假設(shè)二面角 的余弦值為 ，求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.
20.某病毒在進(jìn)入人體后有潛伏期，患者在潛伏期內(nèi)無任何病癥，但已具傳染性.假設(shè)一位病毒攜帶者在潛伏期內(nèi)每天有n位密接者，每位密接者被感染的概率為p，
參考數(shù)據(jù)： ， ， ， ， .
〔1〕假設(shè) ， ，求一天內(nèi)被一位病毒攜帶者直接感染人數(shù)X的分布列和均值：
〔2〕某定點(diǎn)醫(yī)院為篩查某些人員是否感染此病毒，需要檢測血液樣本是否為陽性，有以下兩種檢驗(yàn)方式：
①逐份檢驗(yàn)，即k份血液樣本需要檢驗(yàn)k次；
②混合檢驗(yàn)，即將k份〔 且 〕血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，那么這k份血液樣本全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了：如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液樣本究競哪份為陽性，就要對k份血液樣本再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這k份血液樣本的檢驗(yàn)次數(shù)為k+1次.
假設(shè)樣本的檢驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立，且每份樣本檢驗(yàn)結(jié)果是陽性的概率為 ，為使混合檢驗(yàn)需要的檢驗(yàn)的總次數(shù) 的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù) 的期望值更少，求k的取值范圍.
21.函數(shù) .
〔1〕求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
〔2〕設(shè) ，證明： .
22.在直角坐標(biāo)系 中， ， ，C為動(dòng)點(diǎn)，設(shè) 的內(nèi)切圓分別與邊AC，BC，AB相切于P，Q，R，且 ，記點(diǎn)C的軌跡為曲線E.
〔1〕求曲線E的方程；
〔2〕不過原點(diǎn)O的直線l與曲線E交于M，N，且直線 經(jīng)過MN的中點(diǎn)T，求 的面積的最大值.

答案解析局部
一、單項(xiàng)選擇題
1.【解析】【解答】 ， ， 故 ，
故答案為：B．

【分析】利用一元二次不等式求解集的方法求出集合B，再利用條件，從而結(jié)合交集的運(yùn)算法那么，進(jìn)而求出集合A和集合B的交集。
2.【解析】【解答】由題意 ，
又由 為純虛數(shù)，所以 ，解得 。
故答案為：A.

【分析】利用條件結(jié)合復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法那么，從而求出復(fù)數(shù) 的代數(shù)表達(dá)式，再利用復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的判斷方法，從而求出a的值。
3.【解析】【解答】由正弦、余弦函數(shù)的定義有 ，
，
所以 。
故答案為：B.

【分析】利用條件結(jié)合三角函數(shù)的定義，再結(jié)合二倍角的正弦公式，從而求出的值。
4.【解析】【解答】因?yàn)?，所以 ，即 ，
所以 ，
故答案為：B.

【分析】利用對數(shù)的換底公式，求解。
5.【解析】【解答】雙曲線C： 中， ， ，漸近線方程： ，
因 ，那么點(diǎn)P在線段 的中垂線： 上，那么P點(diǎn)縱坐標(biāo)y0有 ，
所以三角形 面積 。
故答案為：C

【分析】利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)的位置，進(jìn)而求出a,b的值，再結(jié)合雙曲線中a,b,c三者的關(guān)系式，從而求出c的值，進(jìn)而求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)和漸近線方程，因 ，那么點(diǎn)P在線段 的中垂線上，從而結(jié)合中點(diǎn)的坐標(biāo)公式結(jié)合兩直線垂直斜率之積等于-1，再結(jié)合代入法求出P點(diǎn)縱坐標(biāo)y0，再利用三角形面積公式，從而求出三角形 面積 。
6.【解析】【解答】由于 〔其中 〕的展開式的通項(xiàng)公式為 ，
當(dāng) 得常數(shù)項(xiàng)為1，
令 ，各項(xiàng)系數(shù)之和為 ，由題意知 ，得 或 ，解得 或 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以其展開式中 的系數(shù)為 。
故答案為：D.

【分析】利用二項(xiàng)式定理求出展開式中的通項(xiàng)公式，從而求出展開式中的常數(shù)項(xiàng)，再利用賦值法令 ，從而求出各項(xiàng)系數(shù)之和，再利用 〔其中 〕的展開式的常數(shù)項(xiàng)與其各項(xiàng)系數(shù)之和相等， 從而求出a的值，再結(jié)合展開式中的通項(xiàng)公式，從而求出展開式中 的系數(shù)。
7.【解析】【解答】解：圖中指針落在“辰〞、“巳〞之間，因?yàn)槌酱?點(diǎn)，巳代表10點(diǎn)，
所以圖示位置大約為9點(diǎn)，
再過31個(gè)小時(shí)，那么一共經(jīng)過了 小時(shí)，而40除以24，商1余16，16除以2等于8 ，
所以從“子〞開始順時(shí)針數(shù)8個(gè)，到達(dá)“申〞時(shí)。
故答案為：C

【分析】利用條件結(jié)合函數(shù)的周期性，再結(jié)合除法求余的方法，從而求出圖示位置大約為9點(diǎn)和從“子〞開始順時(shí)針數(shù)8個(gè)，到達(dá)“申〞時(shí)。
8.【解析】【解答】由 得 ，
即 ,
整理得： ，
所以 ，解得 。
故答案為：D.

【分析】利用函數(shù)的解析式結(jié)合代入法和求和法，得出， 再利用 ，得出， 再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，所以， 再利用一元二次不等式求解集的方法，從而求出 不等式 的解集。
二、多項(xiàng)選擇題
9.【解析】【解答】A. 由 ，即 ，也即
由 ，那么 ，所以 ，即 ，故答案為：項(xiàng)A符合題意.
B. 由A的推導(dǎo)可得 ，所以
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)取得等號(hào)，當(dāng) 時(shí)，由 ，可得 與條件矛盾.
所以 ，B符合題意.
C. ,當(dāng)且僅當(dāng) ,即 時(shí)，等號(hào)成立， C符合題意.
D. 由 ，那么 ，那么
由 ，那么 ，那么 ，所以 ，D不正確.
故答案為：ABC

【分析】利用條件結(jié)合作差比較大小法、均值不等式求最值的方法，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，從而得出不等式成立的選項(xiàng)。
10.【解析】【解答】A. 5次都沒投中的概率為 .
所以游戲者闖關(guān)成功的概率為 ，A符合題意.
B. 從10名男生、5名女生中選取4人，那么其中至少有一名女生分為：
1名女生3名男生、2名女生2名男生、3名女生1名男生和4名都是女生四種情況.
共有 種情況.而
所以其中至少有一名女生的概率為： .B不正確.
C. 由 ，那么 ，解得
所以 ，C符合題意.
D. 由隨機(jī)變量 ，那么 ，
所以 ,D不正確.
故答案為：AC

【分析】利用獨(dú)立事件乘法求概率公式得出5次都沒投中的概率，再利用對立事件求概率公式，從而求出游戲者闖關(guān)成功的概率；利用條件結(jié)合組合數(shù)公式，再結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理結(jié)合古典概型求概率公式，從而求出其中至少有一名女生的概率；利用隨機(jī)變量X的分布列為 結(jié)合概率之和等于1，從而求出a的值，再利用代入法，從而求的值；利用條件結(jié)合正態(tài)分布對應(yīng)的函數(shù)的對稱性，從而結(jié)合隨機(jī)變量的期望公式和性質(zhì)，從而求出 的值，進(jìn)而選出說法正確的選項(xiàng)。
11.【解析】【解答】如圖，取 中點(diǎn) ，連接 ，

由正方形的性質(zhì)得 ， 均為等腰直角三角形，
所以 ，
所以 是二面角 的平面角，
因?yàn)槎娼?是直二面角，
所以 ，
所以，如圖，以 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
所以 ， ， ， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 與 所成得角為 ，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
所以 ，所以 ，
所以 不成立，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
取 中點(diǎn) ，連接 ，
由中位線定理得 ，
所以四邊形 為平行四邊形，且為過 且與 平行得平面截四面體 所得截面，
由于 ，
所以 ，
所以 ，
所以四邊形 為矩形，面積為 ，C選項(xiàng)正確；
因?yàn)?，
所以點(diǎn) 即為四面體 的外接球的球心，半徑為 ，
所以四面體 的外接球的外表積為 ，D選項(xiàng)正確.
故答案為：CD.

【分析】利用折疊的方法結(jié)合條件，再利用直二面角的定義和中點(diǎn)的性質(zhì)，從而求出異面直線所成的角，再利用線線垂直的判斷方法、再利用兩直線平行結(jié)合平面截四面體所得截面的方法，再結(jié)合矩形的定義和向量的方法，推出四邊形 為矩形，再利用矩形的面積，從而求出過 且與 平行得平面截四面體 所得截面的面積，因?yàn)?，所以點(diǎn) 即為四面體 的外接球的球心，進(jìn)而求出球的半徑，再利用球的外表積公式，從而求出四面體 的外接球的外表積，進(jìn)而選出正確選項(xiàng)。
12.【解析】【解答】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為 ，那么 .

因?yàn)?，且 軸，故 ，故直線 .
由 可得 ，故 ，A不符合題意.
又 ，故 ，故 ，故 ，B符合題意.
直線 ，由 可得 ，故 ，
所以C，B，Q三點(diǎn)共線，D符合題意.
因?yàn)?，故 為等腰三角形，故 ，
而 ，故 即 ，故PB平分 ，C符合題意.
故答案為：BCD.
【分析】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為 ，從而利用拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)?且 軸，故 ，所以直線 ，再利用直線與拋物線相交，聯(lián)立二者方程結(jié)合韋達(dá)定理得出 ， 又因?yàn)?，故 ，故 ，再利用兩點(diǎn)距離公式求出A,B兩點(diǎn)的距離，因?yàn)橹本€ ，再利用兩直線相交求交點(diǎn)的方法，可得交點(diǎn)C的坐標(biāo)，故 ，所以C，B，Q三點(diǎn)共線，因?yàn)?，故 為等腰三角形，故 ，而 ，故 ， 即 ，故PB平分 ， 從而選出正確的選項(xiàng)。
三、填空題
13.【解析】【解答】設(shè)等差數(shù)列 的公差為 ，由得
①，
②，
由①②得 ， ，所以 。
故答案為：5n-3。

【分析】利用條件結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，從而解方程求出首項(xiàng)和公差，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。
14.【解析】【解答】如圖，過 作 ，垂足為 ，取 的中點(diǎn)為 ，連接 ，

設(shè) ，
那么 ，
因?yàn)辄c(diǎn)P為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)且 ，
故 且 ，
故 。
故答案為：[8,16]。

【分析】過 作 ，垂足為 ，取 的中點(diǎn)為 ，連接 ，設(shè) ，再利用數(shù)量積的定義，那么 ，因?yàn)辄c(diǎn)P為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)且 ，故 且 ，從而求出數(shù)量積的取值范圍。
15.【解析】【解答】如圖，設(shè)底邊邊長為 ，連接 ，它們的交點(diǎn)為 ，連接 ，

因?yàn)?，故 ，同理 ，
而 ，故 平面 .
又 ， ，
故體積為 ，其中 ，
令 ， ，那么 ，
假設(shè) ，那么 ；假設(shè) ， ，
故 在 上為增函數(shù)，在 上為減函數(shù)，
故 ，故體積的最大值為 。
故答案為： 。

【分析】設(shè)底邊邊長為 ，連接 ，它們的交點(diǎn)為 ，連接 ，因?yàn)?，再利用等腰三角形三線合一，故 ，同理 ，再利用線線垂直推出線面垂直，故 平面 ，又因?yàn)?，再利用勾股定理求出PO的長， 再利用四棱錐的體積公式為 ，其中 ，令 ， ，再利用分類討論的方法結(jié)合求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，從而求出函數(shù)的最大值，進(jìn)而求出該四棱錐的體積的最大值。
16.【解析】【解答】設(shè)函數(shù) ，
假設(shè) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)， ，此時(shí)不等式 ，有無窮多個(gè)整數(shù)解，不符合題意；
假設(shè) 時(shí)， 無解，不符合題意；
假設(shè) 時(shí)，可得 ，那么必有 ，
解得 ，所以 ，
當(dāng) 時(shí)，可得 ，
當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ，
所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞增，
當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ，
即當(dāng) 時(shí)， 恰好有一個(gè)整數(shù)解，即為 ，即 ，
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是 。

【分析】設(shè)函數(shù) ，再利用分類討論的方法結(jié)合函數(shù)求極限的方法，再結(jié)合求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用關(guān)于x的不等式 恰有一個(gè)解，從而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍。
四、解答題
17.【解析】【分析】〔1〕 解：利用條件結(jié)合余弦定理，得出 的值 ，再利用 為三角形內(nèi)角，從而求出 的大小。
〔2〕 設(shè) ，那么 ，其中 ，因?yàn)镈E＝2AE＝4，所以，再利用角之間的關(guān)系式，得出 ，再利用三角形的面積公式和兩角差的余弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式、輔助角公式化簡得出三角形△BCE的面積為 ，由得 ，從而求出的值 ，因?yàn)?，從而求出 的值 ，從而求出此時(shí) ， 的值 ，在△BCE中，由余弦定理得出 的長。
18.【解析】【分析】〔1〕 因?yàn)?，故 ，
又因?yàn)?，(n∈N*)，所以 ，所以當(dāng) 且 時(shí)，有 ，又因?yàn)?，也滿足 ，所以證出對任意的n∈N* ， 都有 成立。
〔2〕 將 代入 ， 得出 ， 再利用遞推公式變形結(jié)合等比數(shù)列的定義，從而利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式，從而求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式。
19.【解析】【分析】(1)由 ， ，得 ，所以 ，即 ，又因?yàn)?再結(jié)合線線垂直證出線面垂直，所以AC⊥平面PBD，再利用線面垂直的定義推出線線垂直，所以 ，又因?yàn)?再利用線線垂直證出線面垂直，所以 平面 。
(2) 以D為原點(diǎn)， ， ， 的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系 ，設(shè)DP＝h， 從而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)表示得出向量的坐標(biāo)，再結(jié)合數(shù)量積求向量的夾角公式，從而結(jié)合誘導(dǎo)公式求出直線PB與平面PCD所成的角的正弦值。
20.【解析】【分析】〔1〕利用條件結(jié)合隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布求出隨機(jī)變量的分布列，再利用隨機(jī)變量分布列結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式，從而求出隨機(jī)變量的均值。
〔2〕 由題意知ζ的所有可能取值，進(jìn)而求出隨機(jī)變量的分布列，再利用隨機(jī)變量分布列結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式，從而求出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，又因?yàn)镋(η)＝k，依題意E(ζ)＜E(η)，所以 ＜(1－p)k ，
因?yàn)閜＝1－ ，所以lnk＞ k，設(shè) ，再利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，由于f(1)＝ ＜0，f(2)＝ln2－ ＞0， 從而求出實(shí)數(shù)k的取值范圍。
21.【解析】【分析】〔1〕利用條件結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法那么求出導(dǎo)函數(shù)，即 ， 設(shè) ，再利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
〔2〕 令 ， ，再利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法那么求出導(dǎo)函數(shù)，那么 ，因?yàn)?，所以 ，由〔1〕知， ，即 ，從而利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而 ，于是 ，故 。
22.【解析】【分析】〔1〕 依題意可知，，再利用橢圓的定義推出曲線E是以A，B為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓〔除去與x軸的交點(diǎn)〕，從而求出曲線E的方程。
〔2〕 設(shè)M(x1 ， y1)，N(x2 ， y2)，直線l的方程為 代入 結(jié)合韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得出MN的中點(diǎn) 的坐標(biāo) ，而直線 經(jīng)過MN的中點(diǎn)T，再結(jié)合代入法得 ，又因?yàn)閙≠0，從而求出直線l的斜率k的值，再利用 ，〔*〕 可化簡為 ，再結(jié)合判別式法和韋達(dá)定理，再結(jié)合弦長公式，得出的值 ，再利用點(diǎn)到直線的距離公式得出點(diǎn)O到直線l的距離，再利用三角形面積公式得出三角形△OMN的面積，再結(jié)合均值不等式求最值的方法求出三角形△OMN的面積的最大值。

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河北省唐山市二模2021屆高三二模數(shù)學(xué)試卷：

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