?高三數(shù)學一模試卷
一、單項選擇題
1.集合 ， 〔??? 〕
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?



2.復數(shù) ，那么 〔??? 〕
A.?2???????????????????????????????????????????B.?-2???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?6



3. ，那么 〔??? 〕
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?



4.函數(shù) 的局部圖象大致是〔??? 〕
A.???????????B.?

??????????C.???????????D.?



5.構(gòu)建德智體美勞全面培養(yǎng)的教育體系是我國教育一直以來努力的方向．某中學積極響應(yīng)黨的號召，開展各項有益于德智體美勞全面開展的活動．如下列圖的是該校高三〔1〕、〔2〕班兩個班級在某次活動中的德智體美勞的評價得分對照圖〔得分越高，說明該項教育越好〕．以下說法正確的選項是〔??? 〕

A.?高三〔2〕班五項評價得分的極差為1.5


B.?除體育外，高三〔1〕班的各項評價得分均高于高三〔2〕班對應(yīng)的得分


C.?高三〔1〕班五項評價得分的平均數(shù)比高三〔2〕班五項評價得分的平均數(shù)要高


D.?各項評價得分中，這兩班的體育得分相差最大



6.拋物線 的焦點為F ， P為C在第一象限上一點，假設(shè) 的中點到y(tǒng)軸的距離為3，那么直線 的斜率為〔??? 〕
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?4



7.設(shè) 是雙曲線 的兩個焦點，O為坐標原點，點 在C的左支上，且 ，那么 的面積為〔??? 〕
A.?8????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?4????????????????????????????????????????D.?



8.中國古典樂器一般按“八音〞分類，這是我國最早按樂器的制造材料來對樂器進行分類的方法，最早見于?周禮·春官·大師?．八音分為“金、石、土、革、絲、木、鮑、竹〞，其中“金、石、木、革〞為打擊樂器，“土、鮑、竹〞為吹奏樂器，“絲〞為彈撥樂器．某同學安排了包括“土、鮑、竹〞在內(nèi)的六種樂器的學習，每種樂器安排一節(jié)，連排六節(jié)，并要求“土〞與“鮑〞相鄰排課，但均不與“竹〞相鄰排課，且“絲〞不能排在第一節(jié)，那么不同的排課方式的種數(shù)為〔 〕
A.?960????????????????????????????????????B.?1024????????????????????????????????????C.?1296????????????????????????????????????D.?2021



9.函數(shù) 的圖象向右平移 個單位長度后得到函數(shù) 的圖象，對于函數(shù) ，以下說法不正確的選項是〔??? 〕
A.?的最小正周期為 ???????????????????????????????????????B.?的圖象關(guān)于直線 對稱


C.?在區(qū)間 上單調(diào)遞增??????????????????????D.?的圖象關(guān)于點 對稱



二、多項選擇題
10.攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑，園林建筑．下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂局部的輪廓可近似看作一個正四棱錐．此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的銳二面角為 ，這個角接近 ，假設(shè)取 ，側(cè)棱長為 米，那么〔??? 〕

A.?正四棱錐的底面邊長為6米??????????????????????????????????B.?正四棱錐的底面邊長為3米


C.?正四棱錐的側(cè)面積為 平方米?????????????????????D.?正四棱錐的側(cè)面積為 平方米



11.新學期到來，某大學開出了新課“烹飪選修課〞，面向2021級本科生開放．該校學生小華選完內(nèi)容后，其他三位同學根據(jù)小華的興趣愛好對他選擇的內(nèi)容進行猜測．甲說：小華選的不是川菜干燒大蝦，選的是烹制中式面食．乙說：小華選的不是烹制中式面食，選的是烹制西式點心．丙說：小華選的不是烹制中式面食，也不是家常菜青椒土豆絲．三人中有一個人說的全對，有一個人說的對了一半，剩下的一個人說的全不對，由此推斷小華選擇的內(nèi)容〔??? 〕
A.?可能是家常菜青椒土豆絲????????????????????????????????????B.?可能是川菜干燒大蝦


C.?可能是烹制西式點心???????????????????????????????????????????D.?可能是烹制中式面食



12.函數(shù) ，假設(shè)關(guān)于x的方程 恰有兩個不同解 ，那么 的取值可能是〔??? 〕
A.?-3??????????????????????????????????????????B.?-1??????????????????????????????????????????C.?0??????????????????????????????????????????D.?2



三、填空題
13.平面向量 ，非零向量 滿足 ，那么 ________．〔答案不唯一，寫出滿足條件的一個向量坐標即可〕
14. ，那么 的最小值為________．
15.函數(shù) 滿足 ，那么曲線 在點 處的切線斜率為________．
16.在正四棱錐 中， ，假設(shè)四棱錐 的體積為 ，那么該四棱錐外接球的體積為________．
四、解答題
17.各項均為正數(shù)的等差數(shù)列 的公差為4，其前n項和為 且 為 的等比中項
〔1〕求 的通項公式；
18.設(shè) 的內(nèi)角A ， B ， C的對邊分別為a ， b ， c ， 且滿足
〔1〕求 的值；
〔2〕假設(shè)點D為邊 的中點， ，求 的值．
19.為了樹立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念，加強環(huán)境的治理和生態(tài)的修復，某市在其轄區(qū)內(nèi)某一個縣的27個行政村中各隨機選擇農(nóng)田土壤樣本一份，對樣本中的鉛、錦、銘等重金屬的含量進行了檢測，并按照國家土壤重金屬污染評價級標準〔清潔、尚清潔、輕度污染、中度污染、重度污染〕進行分級，繪制了如下列圖的條形圖

〔1〕從輕度污染以上〔包括輕度污染〕的行政村中按分層抽樣的方法抽取6個，求在輕度、中度、重度污染的行政村中分別抽取的個數(shù)；
〔2〕規(guī)定：輕度污染記污染度為1，中度污染記污染度為2，重度污染記污染度為3．從〔1〕中抽取的6個行政村中任選3個，污染度的得分之和記為X ， 求X的數(shù)學期望．
20.如圖，在直三棱柱 中，底面 是等邊三角形，D是 的中點．

〔1〕證明： 平面 ．
〔2〕假設(shè) ，求二面角 的余弦值
21.橢圓 的左、右焦點分別為 ，離心率為 ，且點 在C上．
〔1〕求橢圓C的標準方程；
〔2〕設(shè)過 的直線l與C交于A ， B兩點，假設(shè) ，求 ．
22.函數(shù)
〔1〕假設(shè) 在 上是減函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
〔2〕當 時，假設(shè)對任意的 ， 恒成立，求實數(shù)n的取值范圍．

答案解析局部
一、單項選擇題
1.【解析】【解答】因為 ，
，
又 ，
所以 .
故答案為：A.

【分析】根據(jù)題意首先由一元二次不等式的解法即可求出集合B再由補集和交集的定義即可得出答案。
2.【解析】【解答】解：因為 ，所以 ，所以 ，所以
所以 ．
故答案為：D

【分析】首先由復數(shù)代數(shù)形式的運算性質(zhì)再結(jié)合題意即可求出a與b的值，由此即可得出答案。
3.【解析】【解答】由 ，得 ，所以
從而 ．
故答案為：B

【分析】根據(jù)誘導公式整理再由同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式即可求出， 再由二倍角公式以及同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式整理代入數(shù)值計算出結(jié)果即可。
4.【解析】【解答】因為 ，
所以 的定義域為 ，
那么 ，故排除C；
而 ，
所以 為奇函數(shù)，
其圖象關(guān)于原點對稱，故排除B；
當 時， ， ，所以排除A ．
故答案為：D ．

【分析】 根據(jù)題意首先求出函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的奇偶性和對稱性，利用排除法進行求解即可．
5.【解析】【解答】對于A，高三〔2〕班德智體美勞各項得分依次為9.5，9，9.5，9，8.5，
所以極差為 ，A不符合題意；
對于B，兩班的德育分相等，B不符合題意；
對于C，高三〔1〕班的平均數(shù)為 ，
〔2〕班的平均數(shù)為 ，C符合題意；
對于D，兩班的體育分相差 ，
而兩班的勞育得分相差 ， D不符合題意，
故答案為：C．

【分析】 根據(jù)題意由極差、平均數(shù)的定義和計算公式代入數(shù)值計算出結(jié)果，對選項逐一判斷即可得出答案。
6.【解析】【解答】 的中點到y(tǒng)軸的距離為3，
，即 ，解得 ，
代入拋物線方程可得 ，
因為F點的坐標為 ，所以直線 的斜率為 ．
故答案為：B.

【分析】 由拋物線的方程可得焦點F的坐標，設(shè)P的坐標，由題意可得中點的橫坐標，由題意求出P的橫坐標，代入拋物線的方程可得P的縱坐標，即可求出直線PF的斜率．
7.【解析】【解答】由 ，
不妨設(shè) ， ，
所以 ，所以點 在以 為直徑的圓上，
即 是以 為直角頂點的直角三角形，
故 ，即 ．
又 ，
所以 ，
解得： ，
所以 ．
故答案為：A

【分析】 利用條件求解|OP|，判斷△PF1F2是以P為直角頂點的直角三角形，結(jié)合雙曲線的定義，轉(zhuǎn)化求解三角形的面積即可．
8.【解析】【解答】由題意，排課可分為以下兩大類：
⑴“絲〞被選中，不同的方法總數(shù)為 種；
⑵“絲〞不被選中，不同的方法總數(shù)為 種．
故共有 種．
故答案為：C

【分析】根據(jù)題意由排列組合以及分步計數(shù)原理解條件計算出答案即可。
9.【解析】【解答】因為 ．其圖象向右平移 個單位長度后得到函數(shù) 的圖象．所以 的最小正周期為 ，A符合題意；
當 時， ，所以 的圖象關(guān)于直線 對稱，B符合題意；
當 時， ，所以 在間 上不單調(diào)，C不符合題意；
當 時， ，所以函數(shù) 的圖象關(guān)于點 對稱，D符合題意．
故答案為：C

【分析】 由題意利用三角恒等變換化簡f〔x〕的解析式，利用函數(shù)y=Asin〔ωx+φ〕的圖象變換規(guī)律，得到g〔x〕的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論．
二、多項選擇題
10.【解析】【解答】如圖，在正四棱錐 中，

O為正方形 的中心， 為 的中點，
那么 ，
設(shè)底面邊長為 ．
因為 ，
所以 ．
在 中， ，
所以 ，底面邊長為6米，
平方米．
故答案為：AC.

【分析】根據(jù)題意作出直觀圖，結(jié)合條件求解棱錐的底面邊長，側(cè)面積，判斷選項的正誤即可．
11.【解析】【解答】假設(shè)小華選擇的是家常菜青椒土豆絲，
那么甲對一半，乙對一半，丙對一半，不滿足條件，排除；
假設(shè)小華選擇的是川菜干燒大蝦，那么甲全不對，乙對一半，丙全對，滿足條件；
假設(shè)小華選擇的是烹制西式點心，那么甲對一半，乙全對，丙全對，不滿足條件，排除；
假設(shè)小華選擇的是烹制中式面食，那么甲全對，乙全不對，丙對一半，滿足條件．
故小華選擇的可能是川菜干燒大蝦或者烹制中式面食，
所以選：BD ．

【分析】根據(jù)題意結(jié)合全對的人的情況對選項逐一判斷即可得出答案。
12.【解析】【解答】因為 的兩根為 ，
所以 ，
從而 ．
令 ，
那么 ， ．
因為 ，
所以 ，
所以 在 上恒成立，
從而 在 上單調(diào)遞增．
又 ，
所以 ，
即 的取值范圍是 ，
故答案為：BC．

【分析】首先結(jié)合題意整理得到構(gòu)造函數(shù)， 對其求導結(jié)合導函數(shù)的性質(zhì)即可得出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可轉(zhuǎn)化求解的取值范圍即可。
三、填空題
13.【解析】【解答】設(shè) ，因為 ，所以 ，可取 ．
故答案為：〔4，-3〕

【分析】根據(jù)題意由向量垂直的坐標公式計算出結(jié)果即可。
14.【解析】【解答】因為 ，
當且僅當 ，即 時等號成立，
所以 的最小值為16.
故答案為：16.

【分析】首先整理代數(shù)式再由根本不等式計算出結(jié)果即可。
15.【解析】【解答】由 ，可得 ．
因為 ，所以 ，即 ，那么 ，
所以 ， ．
故答案為：3.

【分析】 根據(jù)題意求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的定義求解a，然后求解切線的斜率即可．
16.【解析】【解答】如下列圖：

作 平面 ，垂足為H ． 連接 ，那么H為 的中點．
設(shè) ，那么 ， ，從而 ，故四棱錐 的體積為 ，解得 ．
由題意可知正四棱錐 外接球的球心O在 上，連接 ．
設(shè)正四棱錐 外接球的半徑為R ，
那么 ，即
解得 ，故該四棱錐外接球的體積為 ．
故答案為：

【分析】 首先利用錐體的體積公式求出錐體的棱長，進一步求出球的半徑，最后求出球的體積．
四、解答題
17.【解析】【分析】 〔1〕利用條件求出首項，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式以及等差數(shù)列的前n項和公式整理即可得到求出首項，然后求解通項公式即可．
〔2〕由(1)的結(jié)論即可求出 數(shù)列 的通項公式，再利用裂項消項法，求解數(shù)列的和即可．
?
?
18.【解析】【分析】(1)結(jié)合條件由余弦定理以及同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式整理即可得出答案。
(2)根據(jù)題意作出輔助線，結(jié)合三角形中的幾何計算關(guān)系計算出結(jié)果即可。
19.【解析】【分析】(1)由分層抽樣的定義代入數(shù)值計算出結(jié)果即可。
(2)根據(jù)題意即可得出X的取值，再由概率的公式求出對應(yīng)的X的概率由此得到X的分布列，結(jié)合數(shù)學期望公式計算出答案即可。
20.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意作出輔助線由中點的性質(zhì)即可得出平行關(guān)系，再結(jié)合工程平行的判定定理即可得證出結(jié)論。
(2)根據(jù)題意結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理即可得出線線垂直，由此建立空間直角坐標系求出各個點的坐標以及向量和平面法向量的坐標，再由數(shù)量積的坐標公式即可求出平面的法向量的坐標，同理即可求出平面的法向量；結(jié)合空間數(shù)量積的運算公式代入數(shù)值即可求出夾角的余弦值，由此得到二面角 的余弦值。
21.【解析】【分析】(1)首先根據(jù)題設(shè)出點的坐標意再把點的坐標代入到橢圓的方程求解出，結(jié)合離心率的公式以及橢圓的 a、b 、c 三者的關(guān)系即可求出a與b的值，從而得出橢圓的方程。
(2)根據(jù)條件即可得出直線的斜率存在由斜截式設(shè)出直線的方程再聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去y等到關(guān)于x的一元二次方程結(jié)合韋達定理即可得到關(guān)于k的兩根之和與兩根之積的代數(shù)式，再把結(jié)果代入到兩點間的距離公式整理得出求解出k的值，由此即可得出從而得出答案。
?
?
22.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意對函數(shù)求導結(jié)合導函數(shù)的性質(zhì)即可得出函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的最值，由此即可得出m的取值范圍。
(2)首先由條件即可把問題轉(zhuǎn)化為 恒成立，即 恒成立，由導函數(shù)的性質(zhì)即可得出函數(shù)的單調(diào)性，由此即可得出即對任意的 恒成立 ，然后討論的單調(diào)性結(jié)合單調(diào)性的性質(zhì)即可得出， 進而得出由此得到n的取值范圍。

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