?高三下學(xué)期數(shù)學(xué)二模試卷
一、單項選擇題
1.集合 ， ，那么 〔??? 〕
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
2.設(shè) 且 ，假設(shè)復(fù)數(shù) 是實數(shù)，那么 〔??? 〕
A.?9???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?2
3.假設(shè) ， ，那么 〔??? 〕
A.?-2????????????????????????????????????????B.?2????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
4.雙曲線 的一個焦點到漸近線的距離為〔??? 〕
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?2
5.設(shè)平面向量 ，假設(shè) ， ，那么 〔??? 〕
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?9???????????????????????????????????????????D.?6
6.人口問題是當(dāng)今世界各國普遍關(guān)注的問題.認(rèn)識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長提供依據(jù).我國在2021年進行了第七次人口普查登記，到2021年4月以后才能公布結(jié)果.人口增長可以用英國經(jīng)濟學(xué)家馬爾薩斯(T.R.Malthus，1766—1834)提出的模型： ，其中t表示經(jīng)過的時間， 表示 時的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長率.以國家統(tǒng)計局發(fā)布的2000年第五次人口普查登記(已上報戶口)的全國總?cè)丝?2.43億人(不包括香港?澳門和臺灣地區(qū))和2021年第六次人口普查登記(已上報戶口)的全國總?cè)丝?3.33億人(不包括香港?澳門和臺灣地區(qū))為依據(jù)，用馬爾薩斯人口增長模型估計我國2021年末(不包括香港?澳門和臺灣地區(qū))的全國總?cè)丝跀?shù)約為〔??? 〕( ， )

7.在三棱柱 中，側(cè)棱 底面ABC.所有棱長都為1，E，F(xiàn)分別為棱BC和 的中點，假設(shè)經(jīng)過點A，E，F(xiàn)的平面將三棱柱 分割成兩局部，那么這兩局部體積的比值為〔??? 〕
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
8.對于任意 ，總存在三個不同的實數(shù) ，使得 成立，那么實數(shù)a的取值范圍是〔??? 〕
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
二、多項選擇題
9.直線 與圓 ，那么以下說法中正確的選項是〔??? 〕
A.?直線l與圓M一定相交??????????????????????????????????????????B.?假設(shè) ，那么直線l與圓M相切
C.?當(dāng) 時，直線l與圓M的相交弦最長??????????D.?圓心M到直線l的距離的最大值為
10.2021年7月18日，教育部公布了修訂的?國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)?.學(xué)生體測成績到達(dá)或超過良好，才有資格參與評優(yōu)與評獎，中學(xué)男生100米體能測試的良好成績小于14.15秒?某中學(xué)為了解高一男生的體能情況，通過隨機抽樣，獲得了100名男生的100米體能測試的成績(單位：秒)，將數(shù)據(jù)按照[11.5，12)，[12，12.5)，…，[15.5，16]分成9組，制成了如下列圖的頻率分布直方圖.

由直方圖推斷，以下選項正確的選項是〔??? 〕



D.?由直方圖估計本校高一男生100米體能測試成績良好率超過了80%
11. ，那么以下選項一定正確的選項是〔??? 〕
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
12.同余關(guān)系是數(shù)論中的重要概念，在我國南北朝時期的著作?孫子算經(jīng)?中就對同余除法有了較深的研究.設(shè)a，b，m為正整數(shù)，假設(shè)a和b被m除得的余數(shù)相同，那么稱a和b對模m同余，記為 .那么以下選項中正確的選項是〔??? 〕
A.?假設(shè) ，那么
B.?
C.?假設(shè) ，那么
D.?假設(shè) ，那么
三、填空題
13.隨機變量 ，假設(shè) ，那么 ________.
14.已如點 ，F(xiàn)為拋物線 的焦點，過點F且斜率為k的直線l與拋物線C交于A，B兩點，假設(shè) ，那么k2的取值范圍是________.
15.某中學(xué)開展勞動實習(xí)，學(xué)習(xí)加工制作模具，有一個模具的毛坯直觀圖如下列圖，是由一個圓柱體與兩個半球?qū)佣傻慕M合體，其中圓柱體的底面半徑為1，高為2，半球的半徑為1.現(xiàn)要在該毛坯的內(nèi)部挖出一個中空的圓柱形空間，該中空的周柱形空間的上下底面與毛坯的圓柱體底面平行，挖出中空的圓柱形空間后模具制作完成，那么該模其體積的最小值為________.

16.當(dāng) 時，函數(shù) 取得最大值為________，且 ________.
四、解答題
17. 是數(shù)列 的前n項和，且 ， .
〔1〕證明數(shù)列 是等比數(shù)列，并求數(shù)列 的通項.
〔2〕是否存在整數(shù)k，使得 ？假設(shè)存在，求出k的最小值，假設(shè)不存在，請說明理由.
18.在 中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c， .
〔1〕求B；
〔2〕假設(shè) ， ，求 的面積.
19.某中學(xué)的學(xué)習(xí)興趣小組隨機調(diào)查了該校110名學(xué)生的到校形式，整理后得到如下的 列聯(lián)表：

父母接送
單獨到校
合計
男
20
40
60
女
30
20
50
合計
50
60
110
附表：












附：
〔1〕根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)判斷，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為到校形式與性別有關(guān)系？
〔2〕假設(shè)以上述樣本的頻率作為概率，在該校中隨機抽取6人，用X表示6人中“單獨到校〞的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望和方差.
20.如圖，在四棱錐 中，底面ABCD是菱形， ， .

〔1〕證明： ；
〔2〕假設(shè)異面直線PB與CD所成角的余弦值為 ，求二面角 的余弦值.
21.函數(shù) .
〔1〕當(dāng) 時，求曲線 在點 處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；
〔2〕假設(shè) 恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
22. ， ，動點P滿足：直線PM與直線PN的斜率之積為常數(shù) ，設(shè)動點P的軌跡為曲線 .拋物線 與 在第一象限的交點為A，過點A作直線l交曲線 于點B.交拋物線 于點E(點B，E不同于點A).
〔1〕求曲線 的方程.
〔2〕是否存在不過原點的直線l，使點E為線段AB的中點？假設(shè)存在，求出p的最大值；假設(shè)不存在，請說明理由.

答案解析局部
一、單項選擇題
1.【解析】【解答】因為 ，所以 ， ，
故答案為：B.

【分析】解絕對值不等式得出集合B，然后再進行交集的運算即可。
2.【解析】【解答】因為 ，
所以 ，又 ，所以 .
故答案為：C

【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡:， 再由虛部為0求得a2。
3.【解析】【解答】
，所以 ，解得 或 ，又 ，所以 .
故答案為：A

【分析】把等式兩邊平方，然后兩邊同時除以,化為正切函數(shù)，即可求出。
4.【解析】【解答】設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為 ，
右焦點坐標(biāo)為 ，又 ，
那么焦點到漸近線的距離為 ，
故答案為：C.

【分析】先求雙曲線的一條漸近線方程和焦點坐標(biāo)，再根據(jù)點到直線的距離公式計算結(jié)果。
5.【解析】【解答】 .
故答案為：D

【分析】由向量的模長公式計算 ?，再由向量的數(shù)量積公式計算即可。
6.【解析】【解答】由馬爾薩斯模型，得 ，即 ，
所以我國2021年末的全國總?cè)丝跀?shù) (億).
故答案為：A.

【分析】利用馬爾薩斯模型可得：， 可解得， 由此即可求解.
7.【解析】【解答】如圖，平面AEF與 交于點G，且 ，故 為三棱臺，

因為 ，所以 ， ，
所以棱臺 的體積：
，
三棱柱 的體積 ，所以 ，
故答案為：D.

【分析】由題意找出過A、E、F三點的平面，然后求解 三棱柱?體積和棱臺 的體積，進而求得兩局部體積比。
8.【解析】【解答】由 ，得 ，設(shè) ， .
因為 ，故當(dāng) 時， ，
所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，所以 .
因為 ，故當(dāng) 時， ，當(dāng) 時， ，
當(dāng) 時， ，所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，
在 上單調(diào)遞減，且 ，
函數(shù) 在 上的圖象如以下列圖所示：

要總存在三個不同的實數(shù) ，使得 ，
只要 且 ，所以 .
故答案為：B.

【分析】把原方程變形，構(gòu)造函數(shù)?，， 分別利用導(dǎo)數(shù)求最值，結(jié)合題意可得關(guān)于a的不等式，進而求解a的范圍.
二、多項選擇題
9.【解析】【解答】 ，即 ，是以 為圓心，以1為半徑的圓，
A.因為直線 ，直線l過原點， ，原點在圓外，所以直線l與圓M不一定相交，故錯誤；
B.假設(shè) ，那么直線 ，直線l與圓M相切，故正確；
C.當(dāng) 時，直線l的方程為 ，過圓M的圓心，故正確；
D.由點到直線距高公式，知 (當(dāng) 時，等號成立).故正確，
故答案為：BCD.

【分析】求出圓心和半徑，比較圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系，可判斷A,B。
關(guān)于C項，可驗證K=-1時直線過圓心，此時相交弦最長。
關(guān)于D項，將圓心到直線的距離公式整理， 利用均值定理求解最值。
10.【解析】【解答】A：由概率統(tǒng)計相關(guān)知識，可知各組頻率之和為1.
頻率=(頻率/組距)×組距，
，解得 ，A符合題意；
B：直方圖的眾數(shù)是頻率最高組的中點，即 ，B符合題意；
C：直方圖的中位數(shù)是頻率相等的分點，設(shè)為x，
那么 ，
解得 ，C不符合題意；
D：由圖可知.成績小于14.15秒的人數(shù)所占百分比為：
，
D不符合題意.
故答案為：AB

【分析】利用頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)信息，結(jié)合概率統(tǒng)計相關(guān)知識，眾數(shù)，中位數(shù)的知識逐一分析選項即可。
11.【解析】【解答】由 ，得 ， ， ，
所以 ， ，又 ，所以 ，A符合題意；
因為 ，
所以 ，B不符合題意；
因為 ，又 ，所以 ，C符合題意；
因為 ，又 ，所以 ，D符合題意，
故答案為：ACD.

【分析】先求出， 然后利用根本不等式判斷ACD,再把變形，得,再用根本不等式判斷B。
12.【解析】【解答】假設(shè) ，那么 或 ，故 ，A符合題意；
因為 ，所以 被3除得的余數(shù)為1，56被除得的余數(shù)為2，B不符合題意；
由 得 ，由 得 ，
， 被m除得的余數(shù)為2，而 被m除得的余數(shù)為3，C不符合題意；
假設(shè) ，那么 ，
，
，
所以 ，D符合題意，
故答案為：AD

【分析】利用a和b對模m同余的定義，對四個選項中的命題進行逐一分析判斷即可。
三、填空題
13.【解析】【解答】由 ，得 ， ，
所以 .


【分析】由正態(tài)分布曲線的對稱性，容易求出結(jié)果。
14.【解析】【解答】由題意，知 ，設(shè) ， ，直線l的方程為 ，
由 得 ，
所以 ， .
由 ，得

又 ， ，所以 ，所以 .
又 ，所以 ，故 .
故答案為：(0，4]

【分析】 由題意知，F(xiàn)?(1,?0)，設(shè)A?(X1,y1)，B?(x2 ， y2)?，直線l的方程為x=my+1,聯(lián)立直線方程與拋物線方程,化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系.數(shù)的關(guān)系及數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得關(guān)于m的不等式，求得m的范圍，進一步?可得k2的取值范圍.
15.【解析】【解答】設(shè)中空圓柱的底面半徑為 ，圓柱的高為 ，
那么 ， ，

中空圓柱的體積 ．
，可得當(dāng) 時， ，當(dāng) ， 時， ，
那么當(dāng) 時， 取得最大值為 ，
又毛坯的體積為 ，
該模具體積的最小值為 ．
故答案為： ．

【分析】設(shè)中空圓柱的底面半徑為 ，圓柱的高為， ?利用，得出?，把圓柱的體積用含h的代數(shù)式表示，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，即可求得模具體積的最小值。
16.【解析】【解答】 ， ，
當(dāng) ，即 時， 的函數(shù)值最大，
故 ，
.
故答案為： ；2

【分析】化簡， 當(dāng) ，即 時， 的函數(shù)值最大，可得?， 再求 ?值。
四、解答題
17.【解析】【分析】 (1)、首先利用關(guān)系式的變換和等比數(shù)列的定義的應(yīng)用求出數(shù)列?公比?進而求得
通項公式。
(2)、利用?(1)?的結(jié)論，進-步求出數(shù)列的和，求解S9? ,S10值，進一步求出k的最小值.
18.【解析】【分析】 由正弦定理及 ?可得， 利用兩角和的正弦公式得tanB=-1，可得B角值。由余弦定理求解c值，進而利用面積公式求解結(jié)果。
19.【解析】【分析】?〔1〕根據(jù)列表中的數(shù)據(jù) 求出K2,進行比較判斷。
〔2〕轉(zhuǎn)化為獨立重復(fù)試驗，根據(jù)二項分布求均值和方差，可得出結(jié)果。
20.【解析】【分析】〔1〕證明AD垂直于PB所在的平面即可證明 。
〔2〕利用法向量和向量的數(shù)量積計算二面角的平面角的余弦值。
21.【解析】【分析】 (1)代入a的值，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f?(1),?f'(1)，求出切線方程及切線與坐標(biāo)軸的交點，從而求出三角形的面積;
(2)將問題轉(zhuǎn)化為 ex+e-x?-ax2-2≥0恒成立，令,?根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,?在?? ?和??范圍內(nèi)討論 ??是否成立，求出a的取值范圍即可.
22.【解析】【分析】 (1)設(shè)動點P(x,y),由 ? ， ?? 得???,化簡即可得出答案.
(2)設(shè)A(x1 ， y1),?B(x2,?y2)，E(x0 ， y0),直線l:y=?kx?+?m(k≠0,m≠0),聯(lián)立直線L與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得x1+?x2,進而可得線段AB的中點E的橫坐標(biāo) ?，聯(lián)立直線l與拋物線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得 ??,解得?,聯(lián)立橢圓與拋物線的方程，得 ?，再求出p的最大值.

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