1.集合 ， ，那么 〔 〕
A. B. 〔0，+∞〕 C. D.
2.數(shù)列 為等差數(shù)列，數(shù)列 的前5項和為 ， ，那么 〔 〕
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
3.一個大于1的自然數(shù)，除了1和它自身外，不能被其它正整數(shù)整除的數(shù)叫做素數(shù)．我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和〞，如 ．在不超過20的素數(shù)中，隨機地取兩個不同的數(shù)，其和等于20的概率是〔 〕
A. B. C. D.
4.中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓 ，其長軸長為4，焦距為2，那么 的方程為〔 〕
A.
B. 或
C.
D. 或
5.數(shù)列 為等比數(shù)列，函數(shù) 過定點 ， ，數(shù)列 的前 項和為 ，那么 〔 〕
A. 44 B. 45 C. 46 D. 50
6.命題 實數(shù) 、 滿足 ，命題 ，那么命題 是 的〔 〕條件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
7.高三模擬考試常常劃定的總分各批次分?jǐn)?shù)線，通過一定的數(shù)學(xué)模型，確定不同學(xué)科在一本、二本等各批次“學(xué)科上線有雙分〞的分?jǐn)?shù)線．考生總成績到達總分各批次分?jǐn)?shù)線的稱為總分上線；考生某一單科成績到達及學(xué)科上線有雙分的稱為單科上線．學(xué)科對總分的奉獻或匹配程度評價有很大的意義．利用“學(xué)科對總分上線奉獻率〞 和“學(xué)科有效分上線命中率〞 這兩項評價指標(biāo)，來反映各學(xué)科的單科成績對考生總分上線的奉獻與匹配程度，這對有效安排備考復(fù)習(xí)方案具有十分重要的意義．某州一診考試劃定總分一本線為465分，數(shù)學(xué)一本線為104分，某班一小組的總分和數(shù)學(xué)成績?nèi)绫?，那么該小組“數(shù)學(xué)學(xué)科對總分上線奉獻率、有效分上線命中率〞分別是〔 〕〔結(jié)果保存到小數(shù)點后一位有效數(shù)字〕
A. 41.7%，71.4% B. 60%，71.4% C. 41.7%，35% D. 60%，35%
8.函數(shù) ，假設(shè) 在 內(nèi)沒有零點，那么 的取值范圍是〔 〕
A. B. C. D.
9.函數(shù) ，那么 的值為〔 〕
A. 1 B. 2 C. 2021 D. 2021
10.集合 ， 是 到 的函數(shù)，方程 恰好有兩個不同的根，且 ，那么函數(shù) 的零點個數(shù)為〔 〕
A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 4
11.、 分別為雙曲線 的焦點，以 為直徑的圓依次與雙曲線的漸近線交于 、 、 、 四點， ，假設(shè)直線 ， 的斜率之積為 ，那么雙曲線的離心率 〔 〕
A. B. C. D.
12.在 中， ，假設(shè) ， ， ，且 ， ，那么有〔 〕
A. B. C. D.
二、填空題
13.在 的展開式中常數(shù)項為________(用數(shù)字作答).
14.復(fù)數(shù)z滿足 ，且 ，那么 ________．
15.在平面直角坐標(biāo)系中， 為坐標(biāo)原點， ， ，那么 在 上的投影為________．
16.三棱柱 ， 面 ， 為 內(nèi)的一點〔含邊界〕，且 為邊長為2的等邊三角形， ， 、 分別為 、 的中點，以下命題正確的有________．
①假設(shè) 為 的中點時，那么過 、 、 三點的平面截三棱柱外表的圖形為等腰梯形；
②假設(shè) 為 的中點時，三棱錐 的體積 ；
③假設(shè) 為 的中點時， ；
④假設(shè) 與平面 所成的角與 的二面角相等，那么滿足條件的 的軌跡是橢圓的一局部．
三、解答題
17.為進一步提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，學(xué)校舉行了數(shù)學(xué)學(xué)科知識競賽．為了解學(xué)生對數(shù)學(xué)競賽的喜愛程度是否與性別有關(guān)，對高中部200名學(xué)生進行了問卷調(diào)查，得到如下 列聯(lián)表：
在這200名學(xué)生中隨機抽取1人，抽到喜歡數(shù)學(xué)競賽的概率為0.6．
參考公式及數(shù)據(jù)：
〔1〕將 列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為喜歡數(shù)學(xué)競賽與性別有關(guān)？
〔2〕從上述不喜歡數(shù)學(xué)競賽的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取8名學(xué)生，再在這8人中抽取3人調(diào)查其喜歡的活動類型，用 表示3人中女生的人數(shù)，求 的分布列及數(shù)學(xué)期望．
18.如圖，在四棱錐 中，棱 ， ， 兩兩垂直且長度分別為1，2，2，假設(shè) ，且向量 與 夾角的余弦值為 ．
〔1〕求 的值；
〔2〕求二面角 的正弦值．
19.如圖在銳角 中，內(nèi)角 的對邊分別是 ，假設(shè) ．
〔1〕求角 ；
〔2〕假設(shè)在線段 上存在一點 ，使得 ， 為 延長線上一點， ， ， ，求 的面積．
20.拋物線 ，過 的焦點 的直線 與拋物線交于 兩點，當(dāng) 軸時， ．
〔1〕求拋物線 的方程；
〔2〕如圖，過點 的另一條直線 與 交于 兩點，設(shè) 的斜率分別為 ，假設(shè) ，且 ，求直線 的方程．
21.函數(shù) ， ．
〔1〕討論函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
〔2〕是否存在正數(shù) 使得關(guān)于 的方程 在區(qū)間 上恰有兩個不等實數(shù)根？如果有，求出 的取值范圍；如果沒有，請說明理由．
22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線 〔 為參數(shù)， 〕，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 的極坐標(biāo)方程為 ．
〔1〕求曲線 的普通方程和曲線 的直角坐標(biāo)方程；
〔2〕在直角坐標(biāo)系xOy中，傾斜角為 的直線過點 ，分別與 ， 交于A，B兩點，求 ．
23.函數(shù) ．
〔1〕解不等式 ；
〔2〕 〔 、 、 均為正實數(shù)〕，求 的最小值．
答案解析局部
一、單項選擇題
1.【解析】【解答】解：由題意得集合 ，集合 ，
所以 ，
故答案為：D．

【分析】利用一元一次不等式求解集的方法求出集合A，再利用一次函數(shù)求值域的方法求出集合B,再結(jié)合交集的運算法那么，進而求出集合A和集合B的交集。
2.【解析】【解答】解：設(shè)等差數(shù)列 的公差為 ， ， ，
， ，
解得 ， ，那么 。
故答案為：C．

【分析】利用條件結(jié)合等差數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的前n項和公式，進而求出等差數(shù)列的首項和公差，再利用等差數(shù)列的通項公式，進而求出等差數(shù)列第十項的值。
3.【解析】【解答】解：在不超過20的素數(shù)2，3，5，7，11，13，17，19中，
隨機地取兩個不同的數(shù)，根本領(lǐng)件總數(shù) ，
其和等于20包含的根本領(lǐng)件有： ， ，
其和等于20的概率是 。
故答案為：C．

【分析】利用條件結(jié)合組合數(shù)公式，再結(jié)合古典概型求概率公式，進而求出在不超過20的素數(shù)中，隨機地取兩個不同的數(shù)，其和等于20的概率 。
4.【解析】【解答】因橢圓 中心在原點，其長軸長為4，焦距為2，那么 ， ， ，
當(dāng)橢圓的焦點在 軸上時，橢圓方程為： ，
當(dāng)橢圓的焦點在 軸上時，橢圓方程為： 。
故答案為：D

【分析】利用條件結(jié)合長軸長的定義和焦距的定義，進而求出a,c的值，再利用橢圓中a,b,c三者的關(guān)系式，進而求出c的值，再利用分類討論的方法結(jié)合焦點的位置，進而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
5.【解析】【解答】 函數(shù) 過定點 ，
， ， 等比數(shù)列 的公比 ，
， ，
數(shù)列 的前 項和為 ，那么 。
故答案為：B

【分析】利用條件結(jié)合對數(shù)型函數(shù)的圖像恒過定點的性質(zhì)，進而求出定點坐標(biāo)，再利用等比數(shù)列的定義求出公比，再利用等比數(shù)列的通項公式求出數(shù)列 的通項公式，再利用對數(shù)的運算法那么求出數(shù)列 的通項公式，再利用等差數(shù)列前n項和公式，進而求出等差數(shù)列前十項的和。
6.【解析】【解答】 對應(yīng)的平面區(qū)域為：陰影局部 ，
表示的區(qū)域在直線 的下方，
由圖象知陰影局部 都在 的下方，即 是 的充分不必要條件。
故答案為：A．

【分析】利用條件結(jié)合充分條件、必要條件的判斷方法，進而推出 是 的充分不必要條件。
7.【解析】【解答】解：由圖表知雙過線人數(shù)為5人，單過線人數(shù)為7人，總分過線人數(shù)為12人；
“學(xué)科對總分上線奉獻率〞為 ，
“學(xué)科有效分上線命中率〞為 。
故答案為：A．

【分析】利用條件結(jié)合古典概型求概率公式，進而求出該小組“數(shù)學(xué)學(xué)科對總分上線奉獻率和有效分上線命中率〞 。
8.【解析】【解答】 函數(shù)
，
， ，
在 內(nèi)沒有零點， ,
,
①，或 ②，
由①得 ，由②得 ．
綜上可得， ，或 。
故答案為：D．

【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)為正弦型函數(shù)，再利用零點存在性定理結(jié)合條件函數(shù) 在 內(nèi)沒有零點， 進而求出實數(shù) 的取值范圍 。
9.【解析】【解答】解：函數(shù) ，設(shè) ，那么有 ，
所以 ，
所以當(dāng) 時， ，
令 ，
所以 ，
故 。
故答案為：C

【分析】因為函數(shù) ，設(shè) ，那么有 ，所以 ，所以當(dāng) 時， ，再利用求和法結(jié)合當(dāng) 時， ，進而化簡求出 的值 。
10.【解析】【解答】解：函數(shù) 是 到 的函數(shù)，意思為 ， ， ， 分別與 ， ， ， 中的某一個對應(yīng)，
又 ，
①當(dāng)是 或 或 這三種情況，
比方1對2，2對2，3對3，4對3，
即 ， ，有 ， 兩個零點，
②當(dāng)是 或 這兩種情況，
比方1對4，2對2，3對2，4對2，那么 ， ，
此時只有 一個零點。
故答案為：C．

【分析】利用集合 ， 是 到 的函數(shù)，方程 恰好有兩個不同的根，且 ， 再結(jié)合函數(shù)的定義中的對應(yīng)關(guān)系，再結(jié)合分類討論的方法，進而求出函數(shù) 的零點個數(shù)。
11.【解析】【解答】如下列圖：
如圖， ， ，
因為 ，
所以 ，
，
聯(lián)立圓 與雙曲線的漸近線方程，
可得 ， ， ， ，
， ， ， ，
， ，
由題意， ，即 ，
。
故答案為：C．

【分析】利用條件結(jié)合三角形法那么和平行四邊形法那么，從而利用平面向量根本定理得出，聯(lián)立圓 與雙曲線的漸近線方程，可得 、 、 、 四個交點坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)表示求出向量的坐標(biāo)，再結(jié)合兩點求斜率公式結(jié)合求積法，再利用條件直線 ， 的斜率之積為 ， 得出， 再利用雙曲線中a,b,c三者的關(guān)系式和雙曲線的離心率公式變形，從而求出雙曲線的離心率。
12.【解析】【解答】解：因為 ，
所以 ，
整理得 ，即 ，
由 為三角形內(nèi)角得 ， ，
因為 ，
所以 ， ，
又因為
，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因為 ， ， ，
所以 ， ，
那么 ，所以A符合題意，B不符合題意；
，D不符合題意；
又因為 ，
所以 ，C不符合題意．
故答案為：A．

【分析】利用條件結(jié)合同角三角函數(shù)根本關(guān)系式，從而解一元二次方程求出，由角 為三角形內(nèi)角，得 ，再利用三角形內(nèi)角和為180度的性質(zhì)，得出 ，因為 ，所以 ， ，又因為 ， 再利用同角三角函數(shù)根本關(guān)系式結(jié)合輔助角公式，所以 ， ，那么 ，再利用兩角和的正弦公式結(jié)合兩角差的余弦公式，得出， 又因為 ，所以 ，從而找出正確的選項。
二、填空題
13.【解析】【解答】 的展開式的通項為：
，
當(dāng) ，
解得 ，
的展開式中常數(shù)項是： ，
故答案為：160。
【分析】利用二項式定理求出展開式中的通項公式，再利用通項公式求出展開式中的常數(shù)項。
14.【解析】【解答】解：設(shè)復(fù)數(shù) ，那么 ，解得 ，
又因為 ，且 ，
所以 ，解得 ，
所以 。
故答案為：1-i。

【分析】設(shè)復(fù)數(shù) ，再利用復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系，進而求出復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，進而求出復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的和結(jié)合條件 ， 進而求出a的值，再利用復(fù)數(shù)加法運算法那么結(jié)合復(fù)數(shù)求模公式，進而結(jié)合條件求出b的值，從而求出復(fù)數(shù)z。
15.【解析】【解答】解：由題意得， ， ，
那么 在 上的投影為= 。
故答案為： 。

【分析】利用向量的坐標(biāo)表示結(jié)合條件求出向量的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)運算求出向量的坐標(biāo)，再利用向量投影的求解公式，進而結(jié)合數(shù)量積的定義，進而求出向量 在 上的投影 。
16.【解析】【解答】解：對于①，取 的中點 ，連結(jié) ， ， ，如圖〔1〕所示，
那么 為 的中位線，所以 ，
因為 ，所以 ，
故梯形 即為過 ， ， 三點的截面，
在 中， ，
在 中， ，
所以 ，故梯形 為等腰梯形，故答案為：項①正確；
對于②，過點 作 ，垂足為 ，如圖〔1〕所示，
因為 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ，所以 平面 ，
所以 到平面 的距離即為 ，
所以 ，
那么 ，故答案為：項②正確；
對于③，設(shè) 的中點為 ，如圖〔2〕所示，
那么 為 的中位線，所以 ，
因為 ， 平面 ，那么 與 不平行，故答案為：項③錯誤；
對于④，過點 作 平面 ，垂足為 ，連結(jié) ，
過 作 與點 ，連結(jié) ，
過點 作 于點 ，連結(jié) ，
因為四邊形 為矩形，所以 ，
四邊形 為矩形，所以 ，
因為 ， ，且 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
所以 即為二面角 的平面角，
因為 平面 ，所以 即為 與平面 所成的角，
所以 ，因為 ， ，
所以 ，那么有 ，
所以點 到定點 的距離等于點 到定直線 的距離，
所以點 的軌跡為拋物線〔 為焦點， 為準(zhǔn)線〕，故答案為：項④錯誤．
故正確的選項是①②．
故答案為：①②．

【分析】對于①，取 的中點 ，連結(jié) ， ， ，那么 為 的中位線，再利用中位線的性質(zhì)推出線線平行，所以 ，因為 ，再利用平行的傳遞性，所以 ，故梯形 即為過 ， ， 三點的截面，在 中， 結(jié)合勾股定理求出的長， 在 中， 結(jié)合勾股定理求出BQ的長，所以 ，故梯形 為等腰梯形，所以命題①正確；對于②，過點 作 ，垂足為 ，因為 平面 ，再利用線面垂直的定義證出線線垂直，所以 ，再利用線線垂直證出線面垂直，所以 平面 ，所以 到平面 的距離即為 ，再利用三角形面積公式求出三角形 的面積 ，再利用三棱錐的體積公式，進而求出三棱錐 的體積 ，所以命題②正確；對于③，設(shè) 的中點為 ，那么 為 的中位線，再利用中位線的性質(zhì)推出線線平行，所以 ，因為 ， 平面 ，那么 與 不平行，所以命題③錯誤；對于④，過點 作 平面 ，垂足為 ，連結(jié) ，過 作 與點 ，連結(jié) ，過點 作 于點 ，連結(jié) ，因為四邊形 為矩形，所以 ，四邊形 為矩形，所以 ，因為 ， ，再利用線線垂直證出線面垂直，所以 平面 ，再利用線面垂直的定義推出線線垂直，所以 ，所以 即為二面角 的平面角，因為 平面 ，所以 即為 與平面 所成的角，所以 ，再利用正切函數(shù)的定義，所以 ，那么有 ，所以點 到定點 的距離等于點 到定直線 的距離，所以點 的軌跡為拋物線〔 為焦點， 為準(zhǔn)線〕，所以命題④錯誤，進而選出正確的命題序號。
三、解答題
17.【解析】【分析】〔1〕利用條件補充完整 列聯(lián)表，再利用獨立性檢驗的方法判斷出沒有90%的把握認(rèn)為喜歡數(shù)學(xué)競賽與性別有關(guān)。
〔2〕利用條件求出隨機變量X可能的取值，再利用組合數(shù)公式結(jié)合古典概型求概率公式，進而求出隨機變量X的分布列，再利用隨機變量X的分布列結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式，進而求出隨機變量X的數(shù)學(xué)期望。
18.【解析】【分析】〔1〕 因為棱 ， ， 兩兩垂直，故以 為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，因為 ， ， ， 進而求出點的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)表示求出向量的坐標(biāo)，再結(jié)合數(shù)量積求向量夾角公式，進而結(jié)合條件向量 與 夾角的余弦值為 ， 進而求出的值。
〔2〕 由〔1〕可知， ， ， ， 設(shè)平面 的法向量為 ， 再利用數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關(guān)系，再結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示，進而求出平面 的法向量的坐標(biāo)， 設(shè)平面 的法向量為 ， 再利用數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關(guān)系，再結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示，進而求出平面 的法向量的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積求向量夾角公式，進而結(jié)合同角三角函數(shù)根本關(guān)系式求出二面角 的正弦值。
19.【解析】【分析】〔1〕利用條件結(jié)合正弦定理得出 ，再利用余弦定理變形得出 ，再利用同角三角函數(shù)根本關(guān)系式，得出角B的正切值，再利用銳角三角形中角B的取值范圍，進而求出角B的值。
〔2〕 在 中， 利用條件結(jié)合正弦函數(shù)的定義求出 的值 ， 再利用誘導(dǎo)公式求出 的值 ， 在 中， 再利用余弦定理求出BC的長，再利用正弦定理求出 的值 ，再利用 為銳角結(jié)合同角三角函數(shù)根本關(guān)系式，進而求出 的值 ， 再結(jié)合兩角和的正弦公式求出角A的正弦值， 在 中，由正弦定理求出AB的長，再利用三角形面積公式求出三角形 的面積 。
20.【解析】【分析】〔1〕利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點的位置，進而設(shè)出焦點坐標(biāo)， 當(dāng) 軸時，直線 的方程為 ，聯(lián)立直線與拋物線的方程求出交點A,B的坐標(biāo)，再利用條件結(jié)合兩點距離公式，進而求出p的值，從而求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
〔2〕 由〔1〕可知焦點的坐標(biāo)，再利用點斜式設(shè)出過點 的另一條直線 的方程為 ，再利用直線與橢圓相交，聯(lián)立二者方程結(jié)合判別式法和韋達定理，得出 ， ， 因為 ，所以 ，直線 與拋物線交于點 ， 與 關(guān)于 軸對稱， 與 關(guān)于 軸對稱，因為， ， 所以，即 ，再利用三角形面積公式得出，
由拋物線定義得出，代入 得出 ，進而解一元二次方程求出 或〔舍去〕，進而求出的值，從而求出的值，進而求出直線 的斜率，從而求出直線 的方程。
21.【解析】【分析】(1)利用函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)的解析式求出函數(shù)h(x)的解析式，再利用分類討論的方法結(jié)合求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而討論出函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間。
〔2〕 方程 在區(qū)間 上恰有兩個不等實數(shù)根，等價于方程 在區(qū)間 上恰有兩個不等實數(shù)根，因為 ，即等價于方程 在區(qū)間 上恰有兩個不等實數(shù)根，令函數(shù) ，再利用導(dǎo)數(shù)的運算法那么求出函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)，那么 ，令 ，再利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)G(x)的單調(diào)性，進而判斷函數(shù)F(x)的單調(diào)性，故方程 在區(qū)間 上恰有兩個不等實數(shù)根，等價于方程 在區(qū)間 上恰有兩個不等實數(shù)根，等價于方程 在區(qū)間 上恰有兩個不等實數(shù)根，令 ，再利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)m(x)的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)m(x)的圖象可得存在正數(shù) 使得關(guān)于 的方程 在區(qū)間 上恰有兩個不等實數(shù)根，進而求出實數(shù)a的取值范圍。
22.【解析】【分析】〔1〕利用條件結(jié)合參數(shù)方程與普通方程的互化公式，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，進而求出曲線 的普通方程和曲線 的直角坐標(biāo)方程。
〔2〕利用直線的傾斜角求出直線的斜率，再利用點斜式求出傾斜角為 且過點 的直線方程，再利用直線分別與 ， 交于A，B兩點，分別聯(lián)立直線與曲線 的方程、直線與曲線 的方程，進而求出交點A,B的坐標(biāo)，再利用兩點距離公式求出A,B兩點的距離。
23.【解析】【分析】〔1〕利用零點分段法求出絕對值不等式的解集。
〔2〕利用分類討論的方法結(jié)合絕對值的定義，從而將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，再利用分段函數(shù)的圖像求出分段函數(shù)的最小值， 又因為 、 、 是正實數(shù)，由柯西不等式求出 的最小值 。學(xué)生編號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
數(shù)學(xué)成績
120
117
122
101
100
112
99
111
102
100
89
98
92
84
94
113
97
104
85
85
總分成績
495
494
493
485
483
483
482
480
479
475
471
470
463
457
454
453
448
448
441
440
喜歡數(shù)學(xué)競賽
不喜歡數(shù)學(xué)競賽
合計
男生
70
女生
30
合計
P〔K2≥k〕
k

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