1下列四個圖形分別是四屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，其中不屬于中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2下列說法正確的是（ ）
A．可能性很大的事情是必然發(fā)生的
B．可能性很小的事情是不可能發(fā)生的
C．“擲一次骰子，向上一面的點數(shù)是6”是不可能事件
D．“任意畫出一個平行四邊形，它是中心對稱圖形”是必然事件
3方程3x（x﹣1）＝2（x﹣1）的解是（ ）
A．x＝1B．x＝
C．x1＝1，x2＝D．x1＝1，x2＝﹣
4將拋物線y＝（x+1）2+3向右平移1個單位，再向下平移2個單位后，所得拋物線的解析式為（ ）
A．y＝（x+2）2B．y＝x2+1C．y＝（x+2）2﹣5D．y＝x2+5
5已知拋物線y＝x2﹣x﹣1與x軸的一個交點為（m，0），則代數(shù)式m2﹣m+2021的值為（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
6如圖，AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，連接PO并延長交⊙O于點C，連接AC，AB＝10，∠P＝30°，則AC的長度是（ ）
A．B．C．5D．
7某種品牌運(yùn)動服經(jīng)過兩次降價，每件零售價由560元降為315元，已知兩次降價的百分率相同，求每次降價的百分率．設(shè)每次降價的百分率為x，下面所列的方程中正確的是（ ）
A．560（1+x）2＝315B．560（1﹣x）2＝315
C．560（1﹣2x）2＝315D．560（1﹣x2）＝315
8如圖，在同一平面內(nèi)，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)40°到△AED的位置，恰好使得DC∥AB，則∠CAB的大小為（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
9如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象的一部分，它與x軸的一個交點A在點（2，0）和點（3，0）之間，圖象的對稱軸是直線x＝1，在下列說法中：①ab＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④當(dāng)﹣1＜x＜3時，y＞0．其中正確的說法有（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②④
10如圖，在扇形紙片OAB中，OA＝10，∠AOB＝36°，OB在桌面內(nèi)的直線l上．現(xiàn)將此扇形在直線l上按順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過程中無滑動），當(dāng)OA落在l上時，停止旋轉(zhuǎn)，則點O所經(jīng)過的路線長為（ ）
A．13πB．12πC．11πD．10π
二、填空題（本題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11關(guān)于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有實數(shù)根，則a滿足 ．
12如圖，A、B、C、D均在⊙O上，E為BC延長線上的一點，若∠A＝102°，則∠DCE＝ ．
13已知拋物線y1＝a（x﹣m）2+k與y2＝﹣a（x+m）2﹣k（m≠0）關(guān)于原點對稱，我們稱y1與y2互為“和諧拋物線”．請寫出拋物線y＝﹣4x2+6x+7的“和諧拋物線” ．
14如圖，點A、B、C、D分別在正方形網(wǎng)格的格點上，其中A點的坐標(biāo)為（﹣1，5），B點的坐標(biāo)為（3，3），小明發(fā)現(xiàn)，線段AB與線段CD存在一種特殊關(guān)系，即其中一條線段繞著某點旋轉(zhuǎn)一個角度可以得到另一條線段，則這個旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是 ．
三、解答題（共90分）
15解方程：﹣4x（3x+1）＝3（3x+1）．
16如圖，在⊙O中，直徑AB⊥弦CD于點M，AM＝18，BM＝8，求CD的長．
17已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+c的圖象經(jīng)過點A（﹣2，0）、B（3，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求此拋物線的對稱軸和頂點坐標(biāo)．
18如圖，已知在⊙O中，AB＝4，AC是⊙O的直徑，AC⊥BD于F，∠A＝30°．
（1）求圖中陰影部分的面積；
（2）若用陰影扇形OBD圍成一個圓錐側(cè)面，請求出這個圓錐的底面圓的半徑．
19在下列網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長均為1個單位，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．
（1）在圖中畫出△ABC以A為旋轉(zhuǎn)中心，沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后的圖形△AB1C1；
（2）若點B的坐標(biāo)為（﹣3，5），點C的坐標(biāo)為（﹣3，1），在圖中建立直角坐標(biāo)系，并畫出△ABC關(guān)于原點對稱的圖形△A2B2C2．
20某學(xué)校為了美化校園環(huán)境，向園林公司購買一批樹苗．公司規(guī)定：若購買樹苗不超過60棵，則每棵樹苗售價120元；若購買樹苗超過60棵，則每增加1棵，每棵樹苗售價均降低0.5元，且每棵樹苗的售價降到100元后，不管購買多少棵樹苗，每棵樹苗售價均為100元．如果該學(xué)校向園林公司支付樹苗款8800元，那么這所學(xué)校購買了多少棵樹苗？
21在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，李燕和劉凱兩位同學(xué)設(shè)計了如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤做游戲（每個轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個扇形，并在每個扇形區(qū)域內(nèi)標(biāo)上數(shù)字）．游戲規(guī)則如下：兩人分別同時轉(zhuǎn)動甲、乙轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)兩數(shù)和小于12，則李燕獲勝；若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)兩數(shù)和等于12，則為平局；若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)兩數(shù)和大于12，則劉凱獲勝（若指針停在等分線上，重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一份內(nèi)為止）．
（1）請用列表或畫樹狀圖的方法表示出上述游戲中兩數(shù)和的所有可能的結(jié)果；
（2）分別求出李燕和劉凱獲勝的概率．
22如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三點，點P是直線BC下方拋物線上一動點．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）是否存在點P，使△POC是以O(shè)C為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）動點P運(yùn)動到什么位置時，△PBC面積最大，求出此時P點坐標(biāo)和△PBC的最大面積．
23通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可以達(dá)到解一題知一類題的目的．下面是一個案例，請補(bǔ)充完整．
原題；如圖①，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF＝45°，連接EF，則EF＝BE+DF，試說明理由．
（1）【思路梳理】
∵AB＝AD，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，∵∠ADG＝∠B＝90°，∴∠FDG＝180°，即：點F、D、G共線，根據(jù)“SAS”，易證△AFG≌ ，得EF＝FG＝BE+DF；
（2）【類比引申】
如圖②，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，點E、F分別在BC、CD上，∠EAF＝45°，若∠B，∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系 時，仍有EF＝BE+DF；
（3）【聯(lián)想拓展】
如圖③，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D、E均在邊BC上，且∠DAE＝45°，猜想BD，DE，EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程．
2020-2021學(xué)年安徽省合肥市廬江縣九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，滿分40分．請將每小題唯一正確選項前的代號填入下面的答題欄內(nèi)）
1下列四個圖形分別是四屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，其中不屬于中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【考點】中心對稱圖形．
【答案】A
【分析】根據(jù)把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心進(jìn)行分析即可．
【解答】解：A、不是中心對稱圖形，故此選項正確；
B、是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
C、是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
D、是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
故選：A．
2下列說法正確的是（ ）
A．可能性很大的事情是必然發(fā)生的
B．可能性很小的事情是不可能發(fā)生的
C．“擲一次骰子，向上一面的點數(shù)是6”是不可能事件
D．“任意畫出一個平行四邊形，它是中心對稱圖形”是必然事件
【考點】平行四邊形的性質(zhì)；隨機(jī)事件；可能性的大小．
【專題】概率及其應(yīng)用；推理能力．
【答案】D
【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．
【解答】解：A、可能性很大的事情不一定是必然發(fā)生的，本選項說法錯誤；
B、可能性很小的事情是可能發(fā)生的，本選項說法錯誤；
C、“擲一次骰子，向上一面的點數(shù)是6”是隨機(jī)事件，本選項說法錯誤；
D、“任意畫出一個平行四邊形，它是中心對稱圖形”是必然事件，本選項說法正確；
故選：D．
3方程3x（x﹣1）＝2（x﹣1）的解是（ ）
A．x＝1B．x＝
C．x1＝1，x2＝D．x1＝1，x2＝﹣
【考點】解一元二次方程﹣因式分解法．
【答案】C
【分析】首先提取公因式（x﹣1），進(jìn)而得到（x﹣1）（3x﹣2）＝0，再解兩個一元一次方程即可．
【解答】解：∵方程3x（x﹣1）＝2（x﹣1），
∴（x﹣1）（3x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或3x﹣2＝0，
∴x1＝1，x2＝．
故選：C．
4將拋物線y＝（x+1）2+3向右平移1個單位，再向下平移2個單位后，所得拋物線的解析式為（ ）
A．y＝（x+2）2B．y＝x2+1C．y＝（x+2）2﹣5D．y＝x2+5
【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換．
【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運(yùn)算能力．
【答案】B
【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的規(guī)律進(jìn)行解答即可．
【解答】解：將拋物線y＝（x+1）2+3向右平移1個單位，再向下平移2個單位后，所得拋物線的解析式為：y＝（x+1﹣1）2+3﹣2，即y＝x2+1．
故選：B．
5已知拋物線y＝x2﹣x﹣1與x軸的一個交點為（m，0），則代數(shù)式m2﹣m+2021的值為（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【考點】拋物線與x軸的交點．
【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；數(shù)據(jù)分析觀念．
【答案】C
【分析】先求出m2﹣m的值，再代入代數(shù)式進(jìn)行計算即可．
【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣x﹣2與x軸的一個交點為（m，0），
∴m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴m2﹣m+2021＝1+2021＝2022．
故選：C．
6如圖，AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，連接PO并延長交⊙O于點C，連接AC，AB＝10，∠P＝30°，則AC的長度是（ ）
A．B．C．5D．
【考點】切線的性質(zhì)．
【答案】A
【分析】方法1、過點O作OD⊥AC于點D，由已知條件和圓的性質(zhì)易求OD的長，再根據(jù)勾股定理即可求出AD的長，進(jìn)而可求出AC的長．
方法2、先求出∠AOP＝60°，進(jìn)而求出∠ACP＝∠P，即可得出AC＝AP，求出AC即可．
【解答】解：
方法1、過點O作OD⊥AC于點D，
∵AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，
∴AB⊥AP，
∴∠BAP＝90°，
∵∠P＝30°，
∴∠AOP＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵OA＝OC，
∴∠OAD＝30°，
∵AB＝10，
∴OA＝5，
∴OD＝AO＝2.5，
∴AD＝＝，
∴AC＝2AD＝5，
故選A，
方法2、如圖，
連接BC，∵AP是⊙O的切線，
∴∠BAP＝90°，
∵∠P＝30°，
∴∠AOP＝60°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠ACP＝∠BAC＝∠BOC＝30°＝∠P，
∴AP＝AC，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝10，
∴AC＝5，
故選：A．
7某種品牌運(yùn)動服經(jīng)過兩次降價，每件零售價由560元降為315元，已知兩次降價的百分率相同，求每次降價的百分率．設(shè)每次降價的百分率為x，下面所列的方程中正確的是（ ）
A．560（1+x）2＝315B．560（1﹣x）2＝315
C．560（1﹣2x）2＝315D．560（1﹣x2）＝315
【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．
【專題】增長率問題．
【答案】B
【分析】設(shè)每次降價的百分率為x，根據(jù)降價后的價格＝降價前的價格（1﹣降價的百分率），則第一次降價后的價格是560（1﹣x），第二次后的價格是560（1﹣x）2，據(jù)此即可列方程求解．
【解答】解：設(shè)每次降價的百分率為x，由題意得：
560（1﹣x）2＝315，
故選：B．
8如圖，在同一平面內(nèi)，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)40°到△AED的位置，恰好使得DC∥AB，則∠CAB的大小為（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【考點】平行線的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運(yùn)算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AC＝AD，∠CAD＝40°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACD＝∠ADC＝70°，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)40°到△AED的位置，
∴AC＝AD，∠CAD＝40°，
∴∠ACD＝∠ADC＝70°，
∵DC∥AB，
∴∠CAB＝∠ACD＝70°，
故選：D．
9如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象的一部分，它與x軸的一個交點A在點（2，0）和點（3，0）之間，圖象的對稱軸是直線x＝1，在下列說法中：①ab＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④當(dāng)﹣1＜x＜3時，y＞0．其中正確的說法有（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②④
【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；拋物線與x軸的交點．
【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力．
【答案】A
【分析】由拋物線的圖象可判斷a、b、c的符號，則可判斷①正確；由拋物線的對稱軸為x＝1可得到b＝﹣2a，則可判斷②正確；當(dāng)x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＜0，結(jié)合b＝﹣2a可判斷③錯誤；根據(jù)圖象可看出當(dāng)x取何值時y＞0，可判斷④錯誤．
【解答】解：由圖象可知a＜0，b＞0，c＞0，
故ab＜0，則①正確；
∵對稱軸直線為x＝＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，則②正確；
由圖象可得圖象與x軸的另一個交點在（﹣1，0）和（0，0）之間，
則當(dāng)x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＜0，
又a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，
則③錯誤；
觀察圖象可知，當(dāng)﹣1＜x＜3時，y不只是大于0，
則④錯誤．
綜上，只有①②正確．
故選：A．
10如圖，在扇形紙片OAB中，OA＝10，∠AOB＝36°，OB在桌面內(nèi)的直線l上．現(xiàn)將此扇形在直線l上按順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過程中無滑動），當(dāng)OA落在l上時，停止旋轉(zhuǎn)，則點O所經(jīng)過的路線長為（ ）
A．13πB．12πC．11πD．10π
【考點】軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運(yùn)算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】點O經(jīng)過的路徑為依次為一條以點B圓心、10為半徑、圓心角為90°的??；一條和AB弧一樣長的線段；以點A為圓心、10為半徑、圓心角為90°的?。謩e累加求和，便可得答案．
【解答】解：點O經(jīng)過的路徑長為：
l總路線長＝
＝
＝12π．
故選：B．
二、填空題（本題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11關(guān)于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有實數(shù)根，則a滿足 ．
【考點】根的判別式．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】由于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有實數(shù)根，那么分兩種情況：（1）當(dāng)a﹣5＝0時，方程一定有實數(shù)根；（2）當(dāng)a﹣5≠0時，方程成為一元二次方程，利用判別式即可求出a的取值范圍．
【解答】解：（1）當(dāng)a﹣5＝0即a＝5時，方程變?yōu)椹?x﹣1＝0，此時方程一定有實數(shù)根；
（2）當(dāng)a﹣5≠0即a≠5時，
∵關(guān)于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有實數(shù)根
∴16+4（a﹣5）≥0，
∴a≥1．
所以a的取值范圍為a≥1．
故答案為：a≥1．
12如圖，A、B、C、D均在⊙O上，E為BC延長線上的一點，若∠A＝102°，則∠DCE＝ ．
【考點】圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．
【專題】與圓有關(guān)的計算．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】連接OB，OD，利用圓周角定理得到∠DOB＝2∠A，∠DOB（大于平角的角）＝2∠BCD，再由周角定義及等式的性質(zhì)得到∠A與∠BCD互補(bǔ)，利用鄰補(bǔ)角性質(zhì)及同角的補(bǔ)角相等即可求出所求角的度數(shù)．
【解答】解：連接OB，OD，
∵∠DOB與∠A都對，∠DOB（大于平角的角）與∠BCD都對，
∴∠DOB＝2∠A，∠DOB（大于平角的角）＝2∠BCD，
∵∠DOB+∠DOB（大于平角的角）＝360°，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠DCE+∠BCD＝180°，
∴∠DCE＝∠A＝102°，
故答案為：102°
13已知拋物線y1＝a（x﹣m）2+k與y2＝﹣a（x+m）2﹣k（m≠0）關(guān)于原點對稱，我們稱y1與y2互為“和諧拋物線”．請寫出拋物線y＝﹣4x2+6x+7的“和諧拋物線” ．
【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換．
【專題】函數(shù)思想．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)規(guī)律：縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，可得答案．
【解答】解：拋物線y＝﹣4x2+6x+7的“和諧拋物線”是y＝﹣4（﹣x）2﹣6（﹣x）﹣7，
化簡，得y＝4x2+6x﹣7，
故答案為：y＝4x2+6x﹣7．
14如圖，點A、B、C、D分別在正方形網(wǎng)格的格點上，其中A點的坐標(biāo)為（﹣1，5），B點的坐標(biāo)為（3，3），小明發(fā)現(xiàn)，線段AB與線段CD存在一種特殊關(guān)系，即其中一條線段繞著某點旋轉(zhuǎn)一個角度可以得到另一條線段，則這個旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是 ．
【考點】坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)．
【專題】作圖題．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】分兩種情形畫出旋轉(zhuǎn)中心即可解決問題．
【解答】解：如圖所示，分兩種情形，旋轉(zhuǎn)中心分別為（1，1）或（4，4）；
故答案為（1，1）或（4，4）．
三、解答題（共90分）
15解方程：﹣4x（3x+1）＝3（3x+1）．
【考點】解一元二次方程﹣因式分解法．
【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【答案】，．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵﹣4x（3x+1）＝3（3x+1），
∴3（3x+1）+4x（3x+1）＝0，
則（3x+1）（3+4x）＝0，
∴3x+1＝0或3+4x＝0，
解得，．
16如圖，在⊙O中，直徑AB⊥弦CD于點M，AM＝18，BM＝8，求CD的長．
【考點】勾股定理；垂徑定理．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】連接OC，求出半徑OC和OM，根據(jù)勾股定理求出CM，根據(jù)垂徑定理得出CD＝2CM，即可求出答案．
【解答】解：連接OC，
∵AM＝18，BM＝8，
∴半徑OC＝OA＝OB＝13，
∴OM＝5，
∵直徑AB⊥弦CD于點M，
∴CD＝2CM＝2DM，
在Rt△OCM中，由勾股定理得：CM＝＝12，
∴CD＝24．
17已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+c的圖象經(jīng)過點A（﹣2，0）、B（3，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求此拋物線的對稱軸和頂點坐標(biāo)．
【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．
【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運(yùn)算能力．
【答案】（1）y＝2x2﹣2x﹣12；
（2）對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為．
【分析】（1）分別將點A和點B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，然后即可得出a和c的值；
（2）把求得的函數(shù)解析式化成頂點式即可得出對稱軸和頂點的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+c的圖象經(jīng)過點A（﹣2，0）、B（3，0）．
∴，
∴，
∴二次函數(shù)的解析式為：y＝2x2﹣2x﹣12；
（2）∵，
∴拋物線的對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為．
18如圖，已知在⊙O中，AB＝4，AC是⊙O的直徑，AC⊥BD于F，∠A＝30°．
（1）求圖中陰影部分的面積；
（2）若用陰影扇形OBD圍成一個圓錐側(cè)面，請求出這個圓錐的底面圓的半徑．
【考點】弧長的計算；扇形面積的計算．
【專題】幾何綜合題．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）先利用同弧所對的圓周角等于所對的圓心角的一半，求出扇形的圓心角為120度，在Rt△ABF中根據(jù)勾股定理可求出半徑的長，利用扇形的面積公式即可求解；
（2）直接根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長等于圓錐底面周長可得圓錐的底面圓的半徑．
【解答】解：（1）法一：過O作OE⊥AB于E，則
BF＝AB＝2．
在Rt△AEO中，∠BAC＝30°，cs30°＝．
∴OA＝＝＝4．
又∵OA＝OB，
∴∠ABO＝30度．
∴∠BOC＝60度．
∵AC⊥BD，∴．
∴∠COD＝∠BOC＝60度．
∴∠BOD＝120度．
∴S陰影＝＝．
法二：連接AD．
∵AC⊥BD，AC是直徑，
∴AC垂直平分BD．
∴AB＝AD，BF＝FD，．
∴∠BAD＝2∠BAC＝60°，
∴∠BOD＝120度．
∵BF＝AB＝2，sin60°＝，
AF＝AB?sin60°＝4×＝6．
∴OB2＝BF2+OF2．即．
∴OB＝4．
∴S陰影＝S圓＝．
法三：連接BC．
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ABC＝90度．
∵AB＝4，
∴．
∵∠A＝30°，AC⊥BD，
∴∠BOC＝60°，∴∠BOD＝120度．
∴S陰影＝π?OA2＝×42?π＝．
以下同法一；
（2）設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，則周長為2πr，
∴．
∴．
19在下列網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長均為1個單位，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．
（1）在圖中畫出△ABC以A為旋轉(zhuǎn)中心，沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后的圖形△AB1C1；
（2）若點B的坐標(biāo)為（﹣3，5），點C的坐標(biāo)為（﹣3，1），在圖中建立直角坐標(biāo)系，并畫出△ABC關(guān)于原點對稱的圖形△A2B2C2．
【考點】作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換．
【專題】作圖題；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，在圖中畫出△ABC以A為旋轉(zhuǎn)中心，沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后的圖形△AB1C1即可；
（2）根據(jù)點B的坐標(biāo)為（﹣3，5），點C的坐標(biāo)為（﹣3，1），在圖中建立直角坐標(biāo)系，即可畫出△ABC關(guān)于原點對稱的圖形△A2B2C2．
【解答】解：如圖，
（1）△AB1C1即為所求；
（2）直角坐標(biāo)系及△A2B2C2即為所求．
20某學(xué)校為了美化校園環(huán)境，向園林公司購買一批樹苗．公司規(guī)定：若購買樹苗不超過60棵，則每棵樹苗售價120元；若購買樹苗超過60棵，則每增加1棵，每棵樹苗售價均降低0.5元，且每棵樹苗的售價降到100元后，不管購買多少棵樹苗，每棵樹苗售價均為100元．如果該學(xué)校向園林公司支付樹苗款8800元，那么這所學(xué)校購買了多少棵樹苗？
【考點】一元二次方程的應(yīng)用．
【專題】一元二次方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識．
【答案】80棵．
【分析】設(shè)這所學(xué)校購買了x棵樹苗（60＜x＜100），則每棵樹苗的售價為（150﹣0.5x）元，利用總價＝單價×數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵60×120＝7200（元），（120﹣100）÷0.5+60＝100（棵），100×100＝10000（元），7200＜8800＜10000，
∴購買的樹苗棵樹超過60棵，且不足100棵．
設(shè)這所學(xué)校購買了x棵樹苗（60＜x＜100），則每棵樹苗的售價為120﹣0.5（x﹣60）＝（150﹣0.5x）元，
依題意得：x（150﹣0.5x）＝8800，
整理得：x2﹣300x+17600＝0，
解得：x1＝80，x2＝220（不合題意，舍去）．
答：這所學(xué)校購買了80棵樹苗．
21在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，李燕和劉凱兩位同學(xué)設(shè)計了如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤做游戲（每個轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個扇形，并在每個扇形區(qū)域內(nèi)標(biāo)上數(shù)字）．游戲規(guī)則如下：兩人分別同時轉(zhuǎn)動甲、乙轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)兩數(shù)和小于12，則李燕獲勝；若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)兩數(shù)和等于12，則為平局；若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)兩數(shù)和大于12，則劉凱獲勝（若指針停在等分線上，重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一份內(nèi)為止）．
（1）請用列表或畫樹狀圖的方法表示出上述游戲中兩數(shù)和的所有可能的結(jié)果；
（2）分別求出李燕和劉凱獲勝的概率．
【考點】列表法與樹狀圖法．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）根據(jù)題意畫出樹狀圖，得出游戲中兩數(shù)和的所有可能的結(jié)果數(shù)；
（2）根據(jù)（1）得出兩數(shù)和共有的情況數(shù)和其中和小于12的情況、和大于12的情況數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）根據(jù)題意列表如下：
可見，兩數(shù)和共有12種等可能結(jié)果；
（2）由（1）可知，兩數(shù)和共有12種等可能的情況，其中和小于12的情況有6種，和大于12的情況有3種，
∴李燕獲勝的概率為＝；
劉凱獲勝的概率為＝．
22如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三點，點P是直線BC下方拋物線上一動點．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）是否存在點P，使△POC是以O(shè)C為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）動點P運(yùn)動到什么位置時，△PBC面積最大，求出此時P點坐標(biāo)和△PBC的最大面積．
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）由A、B、C三點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（2）由題意可知點P在線段OC的垂直平分線上，則可求得P點縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得P點坐標(biāo)；
（3）過P作PE⊥x軸，交x軸于點E，交直線BC于點F，用P點坐標(biāo)可表示出PF的長，則可表示出△PBC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得△PBC面積的最大值及P點的坐標(biāo)．
【解答】解：
（1）設(shè)拋物線解析式為y＝ax2+bx+c，
把A、B、C三點坐標(biāo)代入可得，解得，
∴拋物線解析式為y＝x2﹣3x﹣4；
（2）作OC的垂直平分線DP，交OC于點D，交BC下方拋物線于點P，如圖1，
∴PO＝PC，此時P點即為滿足條件的點，
∵C（0，﹣4），
∴D（0，﹣2），
∴P點縱坐標(biāo)為﹣2，
代入拋物線解析式可得x2﹣3x﹣4＝﹣2，解得x＝（小于0，舍去）或x＝，
∴存在滿足條件的P點，其坐標(biāo)為（，﹣2）；
（3）∵點P在拋物線上，
∴可設(shè)P（t，t2﹣3t﹣4），
過P作PE⊥x軸于點E，交直線BC于點F，如圖2，
∵B（4，0），C（0，﹣4），
∴直線BC解析式為y＝x﹣4，
∴F（t，t﹣4），
∴PF＝（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t，
∴S△PBC＝S△PFC+S△PFB＝PF?OE+PF?BE＝PF?（OE+BE）＝PF?OB＝（﹣t2+4t）×4＝﹣2（t﹣2）2+8，
∴當(dāng)t＝2時，S△PBC最大值為8，此時t2﹣3t﹣4＝﹣6，
∴當(dāng)P點坐標(biāo)為（2，﹣6）時，△PBC的最大面積為8．
23通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可以達(dá)到解一題知一類題的目的．下面是一個案例，請補(bǔ)充完整．
原題；如圖①，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF＝45°，連接EF，則EF＝BE+DF，試說明理由．
（1）【思路梳理】
∵AB＝AD，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，∵∠ADG＝∠B＝90°，∴∠FDG＝180°，即：點F、D、G共線，根據(jù)“SAS”，易證△AFG≌ ，得EF＝FG＝BE+DF；
（2）【類比引申】
如圖②，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，點E、F分別在BC、CD上，∠EAF＝45°，若∠B，∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系 時，仍有EF＝BE+DF；
（3）【聯(lián)想拓展】
如圖③，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D、E均在邊BC上，且∠DAE＝45°，猜想BD，DE，EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程．
【考點】四邊形綜合題．
【專題】幾何綜合題；推理能力．
【答案】（1）△AFE；
（2）∠B+∠D＝180°；
（3）DE2＝BD2+EC2，推理過程見解答．
【分析】（1）由題中提供的思路，通過證明兩次三角形全等，即可得到結(jié)論，并且得到填空題所要求的結(jié)果；
（2）類比（1）中的解題思路，關(guān)鍵的條件是點F、D、G共線，可知∠B與∠D滿足的等量關(guān)系是∠B+∠D＝180°；
（3）仍然用（1）中的方法，將BD、DE、EC轉(zhuǎn)化為同一直角三角形的三條邊，即可得到所猜想的結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°，
把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△ADG，則∠DAG＝∠BAE，AG＝AE，
∵∠ADG＝∠B＝90°，
∴∠ADC+∠ADG＝180°，
∴點F、D、G在同一條直線上；
∵∠EAF＝45°，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠GAF＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴EF＝GF＝DG+DF＝BE+DF，
故答案為：△AFE．
（2）如圖2，由題意得，AB＝AD，∠BAD＝90°，
把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△ADG，則∠DAG＝∠BAE，∠ADG＝∠B，AG＝AE，
當(dāng)∠B+∠ADC＝180°，即∠B+∠D＝180°時，則∠ADG+∠ADC＝180°，
∴點F、D、G在同一條直線上；
∵∠EAF＝45°，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠GAF＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴EF＝GF＝DG+DF＝BE+DF，
故答案為：∠B+∠D＝180°.
（3）DE2＝BD2+EC2，
證明：如圖3，由題意得，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°；
把△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△ACG，則∠CAG＝∠BAD，∠ACG＝∠B＝45°，AG＝AD，CG＝BD，
∴∠ECG＝∠ACB+∠ACG＝90°；
∵∠DAE＝45°，
∵∠GAE＝∠CAG+∠CAE＝∠BAD+∠CAE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠GAE＝∠DAE，
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AED（SAS），
∴GE＝DE，
∵GE2＝CG2+EC2，
∴DE2＝BD2+EC2．

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