1. 已知橢圓x216+y236=1上一點P到橢圓一個焦點的距離是3，則點P到另一個焦點的距離為( )
A.3B.5C.7D.9

2. mn0, b>0)的離心率為2，則點(4, 0)到C的漸近線的距離為（ ）
A.2B.2C.322D.22

5. 若雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0, b>0)的漸近線互相垂直，則該雙曲線的離心率為( )
A.22B.1C.2D.2

6. 過橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于點P，F(xiàn)2為右焦點，若∠F1PF2=60°，則橢圓的離心率為( )
A.22B.33C.12D.13

7. 已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0，斜率為2的直線與雙曲線C相交于點A，B，且弦AB中點坐標為1,1，則雙曲線C的離心率為( )
A.2B.3C.2D.3

8. 已知橢圓： x24+y23=1，直線l：y=x+57，橢圓上任意一點P，則點P到直線l的距離的最大值為( )
A.37B.27C.314D.214

9. 已知雙曲線x2m?y2n=1m>0,n>0和橢圓x25+y22=1有相同的焦點，則4m+1n的最小值為( )
A.2B.3C.4D.5

10. 已知F是橢圓C:x23+y22=1的右焦點，P為橢圓C上一點， A(1,22)，則 |PA|+|PF|的最大值為( )
A.4+2B.42C.4+3D.43

11. 設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0，b>0)的左，右焦點，O是坐標原點．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|=6|OP|，則C的離心率為( )
A.5B.3C.2D.2

12. 已知F1(?c, 0)，F(xiàn)2(c, 0)為橢圓x2a2+y2b2=1的兩個焦點，P（不在x軸上）為橢圓上一點，且滿足PF→1?PF2→=c2，則橢圓離心率的取值范圍是( )
A.[33, 22)B.[13, 12]C.[33, 1)D.(0, 22]
二、填空題

已知方程x25?m+y2m+3=1表示橢圓，則m的取值范圍為________.

若直線y=x+m與雙曲線x24?y2=1有兩個公共點，則實數(shù)m的取值范圍是________.

與圓C1:x+32+y2=9外切且與圓C2:x?32+y2=1內(nèi)切的動圓圓心軌跡方程為________.

已知橢圓C:x22+y2=1，點P是橢圓C上的一個動點，滿足OP→?PF2→≥?1（O為坐標原點，F(xiàn)2為橢圓的右焦點），則點P的橫坐標的取值范圍是________.
三、解答題

求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)焦點在x軸上，a=2，離心率為32；

(2)焦點的坐標為(5, 0)，(?5, 0)，漸近線方程為y=±43x.

已知離心率為22的橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點M(2,1)．
(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(1, 0)作斜率為2的直線l與橢圓相交于A，B兩點，求|AB|的長．

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0, b>0)的離心率為5，虛軸長為4．
(1)求雙曲線的標準方程；

(2)過點(0, 1)，傾斜角為45°的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點，O為坐標原點，求△OAB的面積．

已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22，點(2, 2)在C上．
(1)求C的方程；

(2)直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M．證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值．

已知點A(0, ?2)，橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為233，O為坐標原點．
(1)求E的方程；

(2)設(shè)過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求l的方程．

已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個焦點為(5, 0)，離心率為53．
(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若動點P(x0, y0)為橢圓外一點，且過點P的橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程．
參考答案與試題解析
2020-2021學年河南省濮陽市高二（上）11月月考數(shù)學試卷
一、選擇題
1.
【答案】
D
【考點】
橢圓的定義
【解析】
此題暫無解析
【解答】
解：設(shè)所求距離為d，由題得：a=6．
根據(jù)橢圓的定義：橢圓上任意一點到兩個焦點距離的和等于2a得：
2a=3+d?d=2a?3=9．
故選D．
2.
【答案】
B
【考點】
必要條件、充分條件與充要條件的判斷
雙曲線的標準方程
【解析】
根據(jù)充分必要條件的定義進行判斷：若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若p?q，則p是q的充分必要條件．
【解答】
解：①mn0，n0，n0和橢圓x25+y22=1有相同的焦點，
∴ m+n=5?2=3，
∴ 4m+1n=13m+n4m+1n
=135+4nm+mn≥135+24nm?mn=3，
當且僅當4nm=mn，即m=2n=2時，等號成立，
∴ 4m+1n的最小值為3.
故選B .
10.
【答案】
D
【考點】
直線與橢圓結(jié)合的最值問題
【解析】
此題暫無解析
【解答】
解：根據(jù)題意，設(shè)橢圓的左焦點為F′，
∵ 橢圓的方程為x23+y22=1，其中a=3，P為橢圓C上的一點，
則|PF′|+|PF|=2a=23，
則c=3?2=1，則F(1,0)，F(xiàn)′(?1,0)，
則|PF|=2a?|PF′|=23?|PF′|，
則|PA|+|PF|=|PA|+23?|PF′|=23+|PA|?|PF′|，
分析可得：|PA|?|PF′|≤|AF′|=23，
當P，A，F(xiàn)′三點共線且P在遠離A點的一側(cè)時，等號成立，
則|PA|+|PF|的最大值為43.
故選D.
11.
【答案】
B
【考點】
余弦定理
點到直線的距離公式
雙曲線的離心率
雙曲線的漸近線
【解析】
先根據(jù)點到直線的距離求出|PF2|=b，再求出|OP|=a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2?2|PF2|?|F1F2|cs∠PF2O，代值化簡整理可得3a=c，問題得以解決．
【解答】
解：雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為y=bax，
∴ 點F2到漸近線的距離d=bca2+b2=b，即|PF2|=b，
∴ |OP|=|OF2|2?|PF2|2=c2?b2=a，cs∠PF2O=bc.
∵ |PF1|=6|OP|，
∴ |PF1|=6a.
在三角形F1PF2中，
由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2?2|PF2|?|F1F2|cs∠PF2O，
∴ 6a2=b2+4c2?2×b×2c×bc
=4c2?3b2=4c2?3(c2?a2)，
即3a2=c2，
∴ 3a=c，
∴ e=ca=3.
故選B．
12.
【答案】
A
【考點】
平面向量數(shù)量積的運算
橢圓的離心率
【解析】
設(shè)P(x0, y0)，(?ab>0)的離心率22，
點(2, 2)在C上，
可得a2?b2a=22，4a2+2b2=1，
解得a2=8，b2=4，
所以C的方程為：x28+y24=1．
(2)設(shè)直線l:y=kx+b，(k≠0, b≠0)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，M(xM, yM)，
把直線y=kx+b代入x28+y24=1可得(2k2+1)x2+4kbx+2b2?8=0，
故xM=x1+x22=?2kb2k2+1，yM=kxM+b=b2k2+1，
于是在OM的斜率為：KOM=yMxM=?12k，即KOM?k=?12．
∴ 直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值．
【考點】
橢圓的標準方程
橢圓的離心率
圓錐曲線中的定點與定值問題
【解析】
（1）利用橢圓的離心率，以及橢圓經(jīng)過的點，求解橢圓的幾何量，然后得到橢圓的方程．
（2）設(shè)直線l:y=kx+b，(k≠0, b≠0)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，M(xM, yM)，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，通過韋達定理求解KOM，然后推出直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值．
【解答】
解：(1)由橢圓C:x2a2+y2b2=1，(a>b>0)的離心率22，
點(2, 2)在C上，
可得a2?b2a=22，4a2+2b2=1，
解得a2=8，b2=4，
所以C的方程為：x28+y24=1．
(2)設(shè)直線l:y=kx+b，(k≠0, b≠0)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，M(xM, yM)，
把直線y=kx+b代入x28+y24=1可得(2k2+1)x2+4kbx+2b2?8=0，
故xM=x1+x22=?2kb2k2+1，yM=kxM+b=b2k2+1，
于是在OM的斜率為：KOM=yMxM=?12k，即KOM?k=?12．
∴ 直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值．
【答案】
解：(1)設(shè)F(c, 0)，
∵ 直線AF的斜率為233，
∴ 2c=233，
解得c=3．
又ca=32，b2=a2?c2，
解得a=2，b=1．
∴ 橢圓E的方程為x24+y2=1.
(2)設(shè)P(x1, y1)，Q(x2, y2)．
由題意可設(shè)直線l的方程為：y=kx?2．
聯(lián)立y=kx?2,x2+4y2=4,
化為(1+4k2)x2?16kx+12=0，
當Δ=(?16k)2?4×12(1+4k2)=16(4k2?3)>0時，即k2>34時，
x1+x2=16k1+4k2，x1x2=121+4k2．
∴ |PQ|=(1+k2)[(x1+x2)2?4x1x2]
=(1+k2)[(16k1+4k2)2?481+4k2]
=41+k24k2?34k2+1，
點O到直線l的距離d=21+k2．
∴ S△OPQ=12d?|PQ|=44k2?34k2+1，
設(shè)4k2?3=t>0，
則4k2=t2+3，
∴ S△OPQ=4tt2+4=4t+4t≤424=1，
當且僅當t=2，即4k2?3=2，
解得k=±72時取等號．
滿足Δ>0，
∴ △OPQ的面積最大時直線l的方程為：y=±72x?2．
【考點】
直線與橢圓結(jié)合的最值問題
橢圓的標準方程
【解析】
（1）設(shè)F(c, 0)，利用直線的斜率公式可得2c=233，可得c．又ca=32，b2=a2?c2，即可解得a，b；
（2）設(shè)P(x1, y1)，Q(x2, y2)．由題意可設(shè)直線l的方程為：y=kx?2．與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式即可得出S△OPQ．通過換元再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
【解答】
解：(1)設(shè)F(c, 0)，
∵ 直線AF的斜率為233，
∴ 2c=233，
解得c=3．
又ca=32，b2=a2?c2，
解得a=2，b=1．
∴ 橢圓E的方程為x24+y2=1.
(2)設(shè)P(x1, y1)，Q(x2, y2)．
由題意可設(shè)直線l的方程為：y=kx?2．
聯(lián)立y=kx?2,x2+4y2=4,
化為(1+4k2)x2?16kx+12=0，
當Δ=(?16k)2?4×12(1+4k2)=16(4k2?3)>0時，即k2>34時，
x1+x2=16k1+4k2，x1x2=121+4k2．
∴ |PQ|=(1+k2)[(x1+x2)2?4x1x2]
=(1+k2)[(16k1+4k2)2?481+4k2]
=41+k24k2?34k2+1，
點O到直線l的距離d=21+k2．
∴ S△OPQ=12d?|PQ|=44k2?34k2+1，
設(shè)4k2?3=t>0，
則4k2=t2+3，
∴ S△OPQ=4tt2+4=4t+4t≤424=1，
當且僅當t=2，即4k2?3=2，
解得k=±72時取等號．
滿足Δ>0，
∴ △OPQ的面積最大時直線l的方程為：y=±72x?2．
【答案】
解：(1)依題意知a2?b2=5，ca=5a=53，
解得a=3，b=2，
∴ 橢圓C的標準方程為x29+y24=1．
(2)①當兩條切線中有一條斜率不存在時，
切點分別位于橢圓長軸與短軸的端點處，
此時P點的坐標為(±3, ±2)，符合題意；
②當兩條切線斜率均存在時，
設(shè)過點P(x0, y0)的切線為y=k(x?x0)+y0，
則x29+y24=x29+[k(x?x0)+y0]24=1，
4x2+9[k2(x?x0)2+y02+2ky0(x?x0)]=36，
4x2+9[k2x2+k2x02?2k2x0x+y02+2ky0x?2ky0x0]=36，
整理得(9k2+4)x2+18k(y0?kx0)x+9[(y0?kx0)2?4]=0，
∴ Δ=[18k(y0?kx0)]2?4(9k2+4)×9[(y0?kx0)2?4]=0，
整理得(x02?9)k2?2x0y0k+(y02?4)=0，
∴ k1?k2=y02?4x02?9=?1，
∴ x02+y02=13．
把點(±3, ±2)代入亦成立，
∴ 點P的軌跡方程為：x2+y2=13．
【考點】
橢圓的標準方程
圓錐曲線的軌跡問題
圓錐曲線的切線和法線
【解析】
（1）根據(jù)焦點坐標和離心率求得a和b，則橢圓的方可得．
（2）設(shè)出切線的方程，帶入橢圓方程，整理后利用△＝0，整理出關(guān)于k的一元二次方程，利用韋達定理表示出k1?k2，進而取得x0和y0的關(guān)系式，即P點的軌跡方程．
【解答】
解：(1)依題意知a2?b2=5，ca=5a=53，
解得a=3，b=2，
∴ 橢圓C的標準方程為x29+y24=1．
(2)①當兩條切線中有一條斜率不存在時，
切點分別位于橢圓長軸與短軸的端點處，
此時P點的坐標為(±3, ±2)，符合題意；
②當兩條切線斜率均存在時，
設(shè)過點P(x0, y0)的切線為y=k(x?x0)+y0，
則x29+y24=x29+[k(x?x0)+y0]24=1，
4x2+9[k2(x?x0)2+y02+2ky0(x?x0)]=36，
4x2+9[k2x2+k2x02?2k2x0x+y02+2ky0x?2ky0x0]=36，
整理得(9k2+4)x2+18k(y0?kx0)x+9[(y0?kx0)2?4]=0，
∴ Δ=[18k(y0?kx0)]2?4(9k2+4)×9[(y0?kx0)2?4]=0，
整理得(x02?9)k2?2x0y0k+(y02?4)=0，
∴ k1?k2=y02?4x02?9=?1，
∴ x02+y02=13．
把點(±3, ±2)代入亦成立，
∴ 點P的軌跡方程為：x2+y2=13．

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