1.絕對值三角不等式(1)定理1:若a,b是實數(shù),則|a+b|≤|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時,等號成立;(2)性質(zhì):|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|;(3)定理2:若a,b,c是實數(shù),則|a-c|≤|a-b|+|b-c|,當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)≥0時,等號成立.
2.絕對值不等式的解法(1)含絕對值的不等式|x|a(a>0)的解法:①|(zhì)x|0)型不等式的解法:①|(zhì)ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c;②|ax+b|≥c?ax+b≥c或ax+b≤-c.(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:①利用絕對值不等式的幾何意義求解,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想;②利用“零點分段法”求解,體現(xiàn)了分類討論的思想.③通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解,體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.
3.基本不等式定理1:設(shè)a,b∈R,則a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.
4.不等式的證明方法證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等.(1)比較法:求差比較法,求商比較法.①求差比較法:由于a>b?a-b>0,a0即可.
(2)分析法:從待證不等式出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直到將待證不等式歸結(jié)為一個已成立的不等式(已知條件、定理等).(3)綜合法:從已知條件出發(fā),利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或定理,經(jīng)過推理論證,推導(dǎo)出所要證明的不等式成立,即“由因?qū)す钡姆椒?這種證明不等式的方法稱為綜合法.
解絕對值不等式、求參數(shù)范圍解題策略一　分離參數(shù)法求參數(shù)范圍?例1已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范圍.
當(dāng)x2時,由f(x)≥1解得x>2.所以f(x)≥1的解集為{x|x≥1}.
(2)由f(x)≥x2-x+m得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.
解題心得1.解含有兩個以上絕對值符號的不等式,一般解法是零點分段法.即令各個絕對值式子等于0,求出各自零點,把零點在數(shù)軸上從小到大排列,然后按零點分?jǐn)?shù)軸形成的各區(qū)間去絕對值,進(jìn)而將絕對值不等式轉(zhuǎn)化為常規(guī)不等式.2.在不等式恒成立的情況下,求參數(shù)的取值范圍,可以采取分離參數(shù),通過求對應(yīng)函數(shù)最值的方法獲得.
對點訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)=|x+m|+|2x-1|(m>0).(1)當(dāng)m=1時,解不等式f(x)≥3;(2)當(dāng)x∈[m,2m2]時,不等式 f(x)≤|x+1|恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
解:(1)m=1時,f(x)=|x+1|+|2x-1|,
∴f(x)≥3,解得x≤-1或x≥1.
解題策略二　求函數(shù)最值構(gòu)造不等式求參數(shù)范圍?例2已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)當(dāng)a=1時,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范圍.
解:(1)當(dāng)a=1時,不等式f(x)≥g(x)等價于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①當(dāng)xa恒成立?f(x)min>a;f(x)a;f(x)0,a3+b3=2.證明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.
證明:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因為(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.
解題心得不等式證明的常用方法是:比較法、綜合法與分析法.其中運用綜合法證明不等式時,主要是運用基本不等式證明,與絕對值有關(guān)的不等式證明常用絕對值三角不等式.證明過程中一方面要注意不等式成立的條件,另一方面要善于對式子進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化、變形.
對點訓(xùn)練3設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d,證明:
(2)①若|a-b|

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