中考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)----題型十三數(shù)學(xué)思想類型1  方程思想如圖所示，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，E為BC邊的中點(diǎn)，沿AP折疊使D點(diǎn)落在AE上的點(diǎn)H處，連接PH并延長交BC于點(diǎn)F，則EF的長為（）
A.  B.  C.  D. 第1題圖            第2題圖             第3題圖               第4題圖如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線y=kx（k＞0）分別交反比例函數(shù)y=和y=在第一象限的圖象于點(diǎn)A，B，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，交y=的圖象于點(diǎn)C，連結(jié)AC．若△ABC是等腰三角形，則k的值是______．如圖,直線ABCD,直線l與直線AB、CD相交于點(diǎn)E、F,點(diǎn)P是射線EA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn)E),將EPF沿PF折疊,使頂點(diǎn)E落在點(diǎn)Q處. (1)若PEF=,點(diǎn)Q恰好落在其中的一條平行線上,請(qǐng)直接寫出EFP的度數(shù);(2)若PEF=,CFQ=PFC,求EFP的度數(shù).


類型2  函數(shù)思想如圖，邊長為1的正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．有直角∠MPN，使直角頂點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，直角邊PM、PN分別與OA、OB重合，然后逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠MPN，旋轉(zhuǎn)角為θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分別交AB、BC于E、F兩點(diǎn)，連接EF交OB于點(diǎn)G，則下列結(jié)論中正確的是（）（1）EFOE；（2）S四邊形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；（3）BE+BFOA；（4）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時(shí)，AE；（5）OG?BD＝AE2+CF2．A. （1）（2）（3）（5） B. （1）（3）（4）（5）
C. （2）（3）（4）（5） D. （1）（2）（3）（4）如圖，在，，，，是邊上異于點(diǎn)，的一動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折得到，將沿翻折得到，連接，則四邊形面積的最大值是________．
第5題圖         第6題圖                            第7題圖 如圖，點(diǎn)G是邊長為1的正方形ABCD的邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，以BG為邊長作正方形BEFG，其中A，B，E三點(diǎn)在同一條直線上，連結(jié)A，G，延長AG交CE的連線于點(diǎn)H，則AG×GH的最大值為__________．類型3  數(shù)形結(jié)合思想在矩形ABCD內(nèi)，將兩張邊長分別為a和b（a＞b）的正方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），矩形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2．當(dāng)AD-AB=2時(shí)，S2-S1的值為（　?。?/span>
A. 2a  B. 2b    C. 2a-2b  D. -2b如圖，一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y2=的圖象交于A（1，m），B（4，n）兩點(diǎn)．則不等式kx+b-≥0的解集為______．

     第8題圖                 第9題圖             第11題圖如圖，直線y＝mx＋n與拋物線y＝ax2＋bx＋c交于A（－1，p），B（4，q）兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是________．類型4  分類討論思想已知，，且，則的值為(    )A. 1或7 B. 1或 C.  D. 如圖，直線y=kx-2與x軸，y軸分別交于B，C兩點(diǎn)，其中OB=1．
（1）求k的值；
（2）若點(diǎn)A（x，y）是第一象限內(nèi)的直線y=kx-2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過程中，試寫出△AOB的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）探索：
①當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△AOB的面積是1；
②在①成立的情況下，x軸上是否存在一點(diǎn)P，使△POA是等腰三角形？若存在，請(qǐng)寫出滿足條件的所有P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．



     


 如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=16cm，BC=8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為4cm/s，Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s，那么運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，△ABC和△PCQ相似？

  



類型5  化歸轉(zhuǎn)化思想
 把一些圖書分給某班學(xué)生閱讀，如果每人分3本則剩余20本；如果每人分4本，則還缺25本．這個(gè)班有多少學(xué)生？




 計(jì)算的結(jié)果為  （    ）A. 1 B.  C.  D. 閱讀下列材料：關(guān)于x的方程：
的根是x1＝c，；
(即)的根是x1＝c，；
的根是x1＝c， ……(1)觀察上述方程及其解的特征，直接寫出關(guān)于x的方程(m≠0)的解，并利用“方程的解”的概念進(jìn)行驗(yàn)證．(2)通過(1)中的結(jié)論，你能解出關(guān)于x的方程的解嗎?若能，請(qǐng)求出此方程的解；若不能，請(qǐng)說明理由．







答案和解析1.【答案】A
 【解析】解：連接AF．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=BC=1，∠B=90°，
∵BE=EC=，
∴AE==，
由翻折不變性可知：AD=AH=1，∠AHP=∠D=，
∴EH=AE-AH=-1，
∵∠B=∠AHF=90°，AF=AF，AH=AB，
∴Rt△AFBRt△AFH，
∴BF=FH，設(shè)EF=x，則BF=FH=-x，
在Rt△FEH中，∵EF2=EH2+FH2，
∴x2=（-x）2+（-1）2，
∴x=，
故選A．
首先證明Rt△AFBRt△AFH，推出BF=FH，設(shè)EF=x，則BF=FH=-x，在Rt△FEH中，根據(jù)EF2=EH2+FH2，構(gòu)建方程即可解決問題；
本題考查翻折變換、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．
2.【答案】或
 【解析】【分析】
聯(lián)立y=kx、y=并解得：點(diǎn)A（，2），同理點(diǎn)B（，3），點(diǎn)C（，），分AB=BC、AC=BC兩種情況分別求解即可．
本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，反比例函數(shù)的應(yīng)用，方程思想，當(dāng)有兩個(gè)函數(shù)的時(shí)候，著重使用一次函數(shù)，體現(xiàn)了方程思想，綜合性較強(qiáng)．
【解答】
解：聯(lián)立y=kx、y=并解得：點(diǎn)A（，2），同理點(diǎn)B（，3），
點(diǎn)C（，），∴AB≠AC，
①當(dāng)AB=BC時(shí)，（）2+（3-2）2=（3-）2，解得：k=±（舍去負(fù)值）；
②當(dāng)AC=BC時(shí)，同理可得：（-）2+（3-2）2=（3-）2，解得：k=（舍去負(fù)值）；
故答案為：或．
3.【答案】解：(1)如圖,當(dāng)點(diǎn)Q落在AB上時(shí),FPAB,
所以EFP=-PEF=;如圖,當(dāng)點(diǎn)Q落在CD上時(shí),
因?yàn)閷?/span>EPF沿PF折疊,使頂點(diǎn)E落在點(diǎn)Q處,
所以1=2.
因?yàn)?/span>ABCD,所以QFE=-PEF=,
所以PFE=QFE=.(2)如圖,當(dāng)點(diǎn)Q在平行線AB、CD之間時(shí),設(shè)PFQ=x,
由折疊可得EFP=x,因?yàn)?/span>CFQ=PFC,
所以PFQ=CFQ=x.
因?yàn)?/span>ABCD,所以AEF+CFE=,
所以+x+x+x=,所以x=,
所以EFP=如圖,當(dāng)點(diǎn)Q在CD的下方時(shí),設(shè)CFQ=y,由CFQ=PFC得,PFC=2y,所以PFQ=3y.
由折疊得,PFE=PFQ=3y.
因?yàn)?/span>ABCD,所以AEF+CFE=,
所以2y+3y+=,所以y=,EFP=3y=,
綜上所述,EFP的度數(shù)是或.
 【解析】本題主要考查平行線的性質(zhì)，折疊與對(duì)稱，分類討論的應(yīng)用.
（1）可分兩種情況：如圖，當(dāng)點(diǎn)Q落在AB上時(shí)，FPAB，利用直角三角形的性質(zhì)可求解EFP的度數(shù)；如圖，當(dāng)點(diǎn)Q落在CD上時(shí)，由折疊可知1=2，由平行線的性質(zhì)可得QFE=-PEF=，進(jìn)而可求解PFE的度數(shù)；
（2）可分兩種情況：如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在平行線AB，CD之間時(shí)，設(shè)PFQ=x，則可求EFP=x，PFQ=CFQ=x，由平行線的性質(zhì)可得AEF+CFE=，進(jìn)而可列關(guān)于x的方程，解方程即可求解；如圖,當(dāng)點(diǎn)Q在CD的下方時(shí)，設(shè)CFQ=y，則可求PFC=2y，PFE=PFQ=3y由平行線的性質(zhì)可得AEF+CFE=，進(jìn)而可列關(guān)于y的方程，解方程即可求解.
4.【答案】A
 【解析】【分析】
此題屬于四邊形的綜合題．考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及二次函數(shù)的最值問題．注意掌握轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．
???????（1）由四邊形ABCD是正方形，∠EOF＝90°，易證得△BOE≌△COF（ASA），則可證得結(jié)論；
（2）由（1）易證得S四邊形OEBF＝S△BOCS正方形ABCD，則可證得結(jié)論；
（3）由BE＝CF，可得BE+BF＝BC，然后由等腰直角三角形的性質(zhì)，證得BE+BFOA；
（4）首先設(shè)AE＝x，則BE＝CF＝1﹣x，BF＝x，繼而表示出△BEF與△COF的面積之和，然后利用二次函數(shù)的最值問題，求得答案；
（5）易證得△OEG∽△OBE，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得OG?OB＝OE2，再利用OB與BD的關(guān)系，OE與EF的關(guān)系，即可證得結(jié)論．
【解答】
解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，
∴∠BOF+∠COF＝90°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠BOF+∠BOE＝90°，
∴∠BOE＝∠COF，
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，BE＝CF，
∴EFOE；
故（1）符合題意；
（2）∵S四邊形OEBF＝S△BOE+S△BOF＝S△BOF+S△COF＝S△BOCS正方形ABCD，
∴S四邊形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；
故（2）符合題意；
（3）∵△BOE≌△COF,
∴BE+BF＝BF+CF＝BCOA；
故（3）符合題意；
（4）過點(diǎn)O作OH⊥BC，
∵BC＝1，
∴OHBC，
設(shè)AE＝x，則BE＝CF＝1﹣x，BF＝x，
∴S△BEF+S△COFBE?BFCF?OHx（1﹣x）（1﹣x）（x）2，
∵a0，
∴當(dāng)x時(shí)，S△BEF+S△COF最大；
即在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時(shí)，AE；
故（4）不符合題意；
（5）∵∠EOG＝∠BOE，∠OEG＝∠OBE＝45°，
∴△OEG∽△OBE，
∴OE：OB＝OG：OE，
∴OG?OB＝OE2，
∵OBBD，OEEF，
∴OG?BD＝EF2，
∵在△BEF中，EF2＝BE2+BF2，
∴EF2＝AE2+CF2，
∴OG?BD＝AE2+CF2．
故（5）符合題意．
???????故選：A．
5.【答案】???????
 【解析】【分析】
本題主要考查翻折的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、鄰補(bǔ)角的定義、二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵；解題時(shí)設(shè)CD=x，則，由將沿翻折得到，將沿翻折得到，可知≌，≌，由此可得BE=BD，CF=CD，然后分別過點(diǎn)E、F做EN⊥BC于點(diǎn)N，FM⊥BC于點(diǎn)M，由三角形內(nèi)角和定理、鄰補(bǔ)角的定義易得∠EBN=30°，∠FCM=60°，進(jìn)而可得EN、BN、CM、FM的大小，最后由四邊形面積等于梯形ENMF的面積減去ΔEBN，再減去ΔCFM的面積得出關(guān)于x的函數(shù)，由二次函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
【解答】
解設(shè)CD=x，則，
∵將沿翻折得到，將沿翻折得到，
∴≌，≌，
∴∠ABE=∠ABD，∠ACF=∠ACD=60°，
，CF=CD=x，
如圖，分別過點(diǎn)E、F做EN⊥BC于點(diǎn)N，FM⊥BC于點(diǎn)M，

∵，，
∴∠ABC=75°，∠EBN=30°，∠FCM=60°，
∴

∵NM=NB+BC+CM，
∴NM=
∴




∴當(dāng)x=2時(shí)，四邊形的面積最大，為，
故答案為.
6.【答案】???????
 【解析】【分析】
本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，函數(shù)方程思想.掌握相似三角形的判定和性質(zhì)得二次函數(shù)是解本題的關(guān)鍵.
先根據(jù)正方形的性質(zhì)和SAS證明△EBC△GBA得∠BCE=∠BAG，再證明△BGA△HGC，設(shè)BG=x，則CG=CB-x=1-x，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得AG×GH的函數(shù)解析式，最后根據(jù)二次函數(shù)的最值即可解答.
【解答】
解：∵四邊形ABCD和四邊形BEFG是正方形ABCD，A，B，E三點(diǎn)在同一條直線上，
∴BE=BG，∠EBG=∠GBA=90°，BC=BA,
∴△EBC△GBA,
∴∠BCE=∠BAG,
∵∠BGA+∠BAG=90°，∠BGA=∠HGC，
∴∠HGC+∠BCH=90°,
∴∠GHC=90°,
∴∠GHC=∠GBA=90°，
又∠BGA=∠HGC，
∴△BGA△HGC，
∴,
設(shè)BG=x，則CG=CB-x=1-x，
∴AG×GH=BG×CG=x(1-x)=-x2+x=-
∵a=-1<0,
∴當(dāng)x=時(shí)，AG×GH有最大值，最大值為.
故答案為.
7.【答案】B
 【解析】解：S1=（AB-a）?a+（CD-b）（AD-a）=（AB-a）?a+（AB-b）（AD-a），
S2=AB（AD-a）+（a-b）（AB-a），
∴S2-S1=AB（AD-a）+（a-b）（AB-a）-（AB-a）?a-（AB-b）（AD-a）
=（AD-a）（AB-AB+b）+（AB-a）（a-b-a）
=b?AD-ab-b?AB+ab=b（AD-AB）=2b．
故選：B．
利用面積的和差分別表示出S1和S2，然后利用整式的混合運(yùn)算計(jì)算它們的差．
本題考查了整式的混合運(yùn)算：“整體”思想在整式運(yùn)算中較為常見，適時(shí)采用整體思想可使問題簡(jiǎn)單化，并且迅速地解決相關(guān)問題，此時(shí)應(yīng)注意被看做整體的代數(shù)式通常要用括號(hào)括起來．也考查了正方形的性質(zhì)．
8.【答案】x＜0和1≤x≤4
 【解析】解：從函數(shù)圖象看，當(dāng)x＜0和1≤x≤4時(shí)，y1在y2的上方，
故不等式kx+b-≥0的解集為x＜0和1≤x≤4，
故答案為：x＜0和1≤x≤4．
從函數(shù)圖象看，當(dāng)x＜0和1≤x≤4時(shí)，y1在y2的上方，從而求解．
本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，當(dāng)有兩個(gè)函數(shù)的時(shí)候，著重使用一次函數(shù)，體現(xiàn)了方程思想，綜合性較強(qiáng)．
9.【答案】x＜-1或x＞4
 【解析】【分析】
觀察兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系，即可得出結(jié)論．
本題考查了二次函數(shù)與不等式，根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系找出不等式的解集是解題的關(guān)鍵．
【解答】
解：觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)x＜-1或x＞4時(shí)，直線y=mx+n在拋物線y=ax2+bx+c的上方，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集為x＜-1或x＞4．
故答案為x＜-1或x＞4．
10.【答案】D
 【解析】【分析】
本題主要考查的是有理數(shù)的減法、絕對(duì)值、有理數(shù)的乘法，求得當(dāng)a=3時(shí)，b=-4；當(dāng)a=-3時(shí)，b=4是解題的關(guān)鍵．由絕對(duì)值的性質(zhì)可知a=±3，b=±4，由ab＜0可知a、b異號(hào)，從而判斷出a、b的值，最后代入計(jì)算即可．
【解答】解：∵|a|=3，|b|=4，
∴a=±3，b=±4．
∵ab＜0，
∴當(dāng)a=3時(shí)，b=-4；當(dāng)a=-3時(shí)，b=4．
當(dāng)a=3，b=-4時(shí)，原式=3-（-4）=3+4=7；
當(dāng)a=-3，b=4時(shí)，原式=-3-4=-7．
故選D．
11.【答案】解：（1）∵OB=1，
∴B（1，0），
∵點(diǎn)B在直線y=kx-2上，
∴k-2=0，
∴k=2；
（2）由（1）知，k=2，
∴直線BC解析式為y=2x-2，
∵點(diǎn)A（x，y）是第一象限內(nèi)的直線y=2x-2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴y=2x-2（x＞1），
∴S=S△AOB=×OB×|yA|=×1×|2x-2|=x-1；
（3）①如圖，

由（2）知，S=x-1，
∵△AOB的面積是1；
∴x=2，
∴A（2，2），
∴OA=2；
②設(shè)點(diǎn)P（m，0），
∵A（2，2），
∴OP=|m|，AP=，
當(dāng)OA=OP時(shí)，2=|m|，
∴m=±2，P1（-2，0），P2（2，0）；
當(dāng)OA=AP時(shí)，2=，
∴m=0或m=4，P3（4，0）；
當(dāng)OP=AP時(shí)，|m|=，
∴m=2，P4（2，0）；
即：滿足條件的所有P點(diǎn)的坐標(biāo)為P1（-2，0），P2（2，0），P3（4，0），P4（2，0）．
 【解析】此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了三角形的面積公式，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論的數(shù)學(xué)思想，解本題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（1）先確定出點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式中即可求出k；
（2）借助（1）得出的函數(shù)關(guān)系式，利用三角形的面積公式即可求出函數(shù)關(guān)系式；
（3）①利用三角形的面積求出點(diǎn)A坐標(biāo)；
②設(shè)出點(diǎn)P（m，0），表示出AP，OP，計(jì)算出OA，分三種情況討論計(jì)算即可得出點(diǎn)P坐標(biāo)．
12.【答案】解：設(shè)同時(shí)運(yùn)動(dòng)ts時(shí)兩個(gè)三角形相似，
當(dāng)△PCQ∽△BCA，則，t=0.8；
當(dāng)△PCQ∽△ACB，則，t=2．
答：同時(shí)運(yùn)動(dòng)0.8s或者2s時(shí)兩個(gè)三角形相似．
 【解析】設(shè)同時(shí)運(yùn)動(dòng)ts時(shí)兩個(gè)三角形相似，再分△PCQ∽△BCA或△PCQ∽△ACB兩種情況進(jìn)行討論即可．
本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．
13.【答案】解：設(shè)這個(gè)班有x名學(xué)生，則有：3x+20=4x-25 解得x=45        答：這個(gè)班有45名學(xué)生.      
 【解析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用.解決本題需要讀懂題意，設(shè)這個(gè)班有x名學(xué)生，根據(jù)兩種分書的方案，可得（3x+20），（4x-25）都可以表示圖書的總數(shù)，根據(jù)兩者相等即可得到方程，解出方程，寫好答語即可.
14.【答案】C
 【解析】【分析】
本題考查的知識(shí)點(diǎn)是有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握是解題的關(guān)鍵，將原式整理得，再利用的方法即可得出答案．
【解答】
解：，
=，
=，
=，
=，
=，
故選C.
15.【答案】解：（1）猜想：方程的解為：x1=c，；
驗(yàn)證：
當(dāng)x=c時(shí)，方程左邊=，
方程右邊???????=，
??????????????∴左邊=右邊，
∴x=c是方程的解；
當(dāng)時(shí)，方程左邊=，
方程右邊=，
∴左邊=右邊，
∴是方程的解；
（2）由，得，
∴x-1=a-1或，
∴x1=a，．
 【解析】本題主要考查了分式方程的解法，正確理解已知條件，正確理解閱讀材料中解方程的方法是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)已知方程的特點(diǎn)與解的關(guān)系即可寫出方程的解，然后把方程的解代入原方程看左右兩邊是否相等即可；
（2）原方程可以變形為，把x-1當(dāng)作一個(gè)整體，即可求解．
 

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