高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)選擇性必修 第一冊3.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)復(fù)習(xí)練習(xí)題

這是一份高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)選擇性必修 第一冊3.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)復(fù)習(xí)練習(xí)題，共10頁。試卷主要包含了解答題，選擇題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

1. 已知拋物線C:y2＝8x，直線l:y＝kx?4，分別求出滿足下列條件的實數(shù)k的取值范圍：
①直線l與拋物線C有兩個公共點；
②直線l與拋物線C有一個公共點；
③直線l與拋物線C沒有公共點．

2. 已知拋物線y2＝6x，過點P(4, 1)作一條弦，使它恰被點P平分．求：
（1）此弦所在的直線方程；

（2）此弦的長．

3. 已知A，B是拋物線y2＝2px(p>0)上的兩點，且滿足OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點）．求證：
（1）A，B兩點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之積分別為定值；

（2）直線AB恒過一個定點．
二、選擇題

與直線2x?y+4=0平行的拋物線y=x2的切線方程為( )
A.2x?y+3=0B.2x?y?3=0C.2x?y+1=0D.2x?y?1=0

設(shè)拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是（ ）
A.[?12, 12]B.[?2, 2]C.[?1, 1]D.[?4, 4]

拋物線y＝ax2(a>0)與直線y＝kx+b(k≠0)有兩個公共點，其橫坐標(biāo)分別是x1，x2；而直線y＝kx+b與x軸焦點的橫坐標(biāo)是x3，則x1，x2，x3之間的關(guān)系是（ ）
A.x3＝x1+x2B.x3=1x1+1x2
C.x1x3＝x1x2+x2x3D.x1x2＝x1x3+x2x3

經(jīng)過點(0, 1)且與拋物線y2＝mx(m>0)有且只有一個公共點的直線共有（ ）
A.4條B.3條C.2條D.1條

直線y=kx?2與拋物線y2=8x交于A，B兩點，且AB中點的橫坐標(biāo)為2，則k的值為( )
A.?1或2B.2C.?1D.1+3

拋物線y2=12x截直線y=2x+1所得弦長等于( )
A.15B.215C.152D.15
三、解答題

過拋物線y2＝4x的焦點作直線l，交拋物線于A，B兩點，若線段AB中點的橫坐標(biāo)為3，則|AB|等于________．

已知中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的兩條漸近線與拋物線y2＝4x交于A，B兩點（異于原點）．若|AB|＝16，則雙曲線的離心率為________52 ．

若拋物線y2＝4x的一條弦AB以點P(2, 1)為中點，則弦AB所在的直線方程為________．

已知直線l:y＝kx+1，拋物線C:y2＝4x．當(dāng)k為何值時，直線l與拋物線C：
（1）有一個公共點？

（2）有兩個公共點？

（3）沒有公共點？

一頂點在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上的拋物線截直線2x?y?4＝0所得的弦長為35，求拋物線的方程．
四、選擇題

拋物線y2＝9x與直線2x?3y?8＝0交于A，B兩點，則線段AB中點的坐標(biāo)為（ ）
A.(1138, ?274)B.(1138, 274)C.(?1138, ?274)D.(?1138, 274)

已知拋物線y＝ax2的焦點為F，準(zhǔn)線l與對稱軸交于點R，過拋物線上一點P(1, 2)作PQ⊥l，垂足為Q，則梯形PQRF的面積為（ ）
A.74B.118C.1916D.516

已知點A(1, 2)，過點P(5, ?2)的直線與拋物線y2＝4x相交于B，C兩點，則△ABC是（ ）
A.直角三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.不能確定
五、解答題

過拋物線y2＝2x的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|=2512,|AF|0)．過動點M(a, 0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B，|AB|≤2p．
（1）求a的取值范圍；

（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求△NAB面積的最大值．
參考答案與試題解析
人教A版選修2-1《2.4.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)》2020年同步練習(xí)卷（3）
一、解答題（共3小題，滿分0分）
1.
【答案】
聯(lián)立y2=8xy=kx?4 ，得k2x2?8(k+1)x+16＝0(*)．
（1）當(dāng)k2＝0，即k＝0時，直線l與拋物線C的對稱軸平行，方程(*)化為?8x+16＝0，
故方程(*)只有一個實數(shù)根，即直線l與拋物線C相交，且只有一個公共點．
（2）當(dāng)k2≠0，即k≠0時，△＝64(k+1)2?64k2＝64(2k+1)．
(i)當(dāng)△>0，即k>?12，且k≠0時，方程(*)有兩個不同實數(shù)根，即直線l與拋物線C相交，且有兩個公共點．
(ii)當(dāng)△＝0，即k=?12時，方程(*)有兩個相同的實數(shù)根，即直線l與拋物線C相切，且只有一個公共點．
(iii)當(dāng)△?12，且k≠0時，方程(*)有兩個不同實數(shù)根，即直線l與拋物線C相交，且有兩個公共點．
(ii)當(dāng)△＝0，即k=?12時，方程(*)有兩個相同的實數(shù)根，即直線l與拋物線C相切，且只有一個公共點．
(iii)當(dāng)△0，
解得k>?1．
∴ x1+x2=4k+8k2．
∵ A，B中點的橫坐標(biāo)為2，
∴ 4k+8k2=4，解得k=?1（舍）或k=2．
∴ k的值為2．
故選B．
【答案】
A
【考點】
與拋物線有關(guān)的中點弦及弦長問題
【解析】
可將拋物線方程與直線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理與弦長公式即可求得答案．
【解答】
解：由 y2 = 12x, y = 2x + 1 消去y得4x2?8x+1=0，
設(shè)拋物線y2=12x與直線y=2x+1相交于A(x1, y1)，B(x2, y2)兩點，
則x1、x2是方程4x2?8x+1=0的兩根，
∴ 由韋達(dá)定理得：x1+x2=2，x1x2 = 14，
∴ |AB|=k2+1(x1+x2)2?4x1x2
=522?4×14
=15.
故選A.
三、解答題
【答案】
8
【考點】
拋物線的性質(zhì)
【解析】
根據(jù)拋物線方程得它的準(zhǔn)線為l:x＝?1，從而得到線段AB中點M到準(zhǔn)線的距離等于4．過A、B分別作AC、BD與l垂直，垂足分別為C、D，根據(jù)梯形中位線定理算出|AC|+|BD|＝2|MN|＝8，結(jié)合拋物線的定義即可算出AB的長．
【解答】
∵ 拋物線方程為y2＝4x，∴ 拋物線的焦點為F(1, 0)，準(zhǔn)線為l:x＝?1
設(shè)線段AB的中點為M(3, y0)，則M到準(zhǔn)線的距離為：|MN|＝3?(?1)＝4，
過A、B分別作AC、BD與l垂直，垂足分別為C、D
根據(jù)梯形中位線定理，可得|AC|+|BD|＝2|MN|＝8
再由拋物線的定義知：|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|
∴ |AB|＝|AF|+|BF|＝|AC|+|BD|＝8．
【答案】
52
【考點】
雙曲線的離心率
【解析】
利用雙曲線的漸近線方程與拋物線聯(lián)立，求出A、B縱坐標(biāo)，然后轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】
由題意設(shè)雙曲線為：x2a2?y2b2=1，則bx±ay=0y2=4x ，可得y2＝4(±aby)，可得yA=4ab，
yB=?4ab，∴ 8ab=16，∴ a＝2b，則a2＝4(c2?a2)，
即4c2＝5a2，所以e=ca=52．
【答案】
2x?y?3＝0
【考點】
直線與拋物線的位置關(guān)系
【解析】
先設(shè)出直線方程，再聯(lián)立直線方程與拋物線方程整理可得A，B的橫坐標(biāo)與直線的斜率之間的關(guān)系式，結(jié)合弦AB恰好是以P為中點，以及中點坐標(biāo)公式即可求出直線的斜率，進(jìn)而求出直線方程．
【解答】
設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，弦AB所在直線方程為：y?1＝k(x?2)
即y＝kx+1?2k
聯(lián)立y=kx+1?2ky2=4x ，整理得k2x2+[2k(1?2k)?4]x+(1?2k)2＝0．
所以有x1+x2=?2k(1?2k)?4k2
∵ 弦AB恰好是以P為中點，
∴ ?2k(1?2k)?4k2=4
解得k＝2．
所以直線方程為 y＝2x?3，即2x?y?3＝0．
【答案】
當(dāng)△>0，即k0，△＝0和△0，即k0．
故所求的拋物線方程為y2＝4x，或y2＝?36x．
【考點】
拋物線的性質(zhì)
【解析】
設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p≠0)，將直線方程y＝2x?4代入，并整理，利用韋達(dá)定理，結(jié)合弦長公式，即可求拋物線的方程．
【解答】
設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p≠0)，
將直線方程y＝2x?4代入，并整理得2x2?(8+p)x+8＝0．
設(shè)方程的兩個根為x1，x2，則根據(jù)韋達(dá)定理有x1+x2=8+p2，x1x2＝4．
由弦長公式，得(35)2＝(1+22)[(x1+x2)2?4x1x2]，
即9＝(8+p2)2?16．
整理得p2+16p?36＝0，
解得p＝2，或p＝?18，此時△>0．
故所求的拋物線方程為y2＝4x，或y2＝?36x．
四、選擇題
【答案】
B
【考點】
直線與橢圓結(jié)合的最值問題
【解析】
聯(lián)立直線方程與拋物線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程后利用根與系數(shù)關(guān)系求得線段AB中點的橫坐標(biāo)，把橫坐標(biāo)再代入直線方程求得線段AB 中點的縱坐標(biāo)，則答案可求．
【解答】
聯(lián)立2x?3y?8=0y2=9x ，消去y得：4x2?113x+64＝0，
設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，
則x1+x2=1134，故線段AB中點的橫坐標(biāo)為x1+x22=1138，
將其再代入直線方程2x?3y?8＝0，得
y=2x?83=2×1138?83=274．
∴ 線段AB中點的坐標(biāo)為(1138,274)．
【答案】
B
【考點】
拋物線的性質(zhì)
【解析】
由拋物線上一點P(1, 2)得到a的值，即可得到拋物線方程，進(jìn)而得到焦點坐標(biāo)，然后求解面積．
【解答】
由于拋物線y＝ax2過點P(1, 2)，故a＝2
故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=12y，其焦點坐標(biāo)為(0, 18)，
故梯形PQRF的面積為 12×[14?(?14)+2?(?14)]×(1?0)=118．
【答案】
A
【考點】
拋物線的性質(zhì)
【解析】
先討論直線BC斜率不存在時，求出B，C的坐標(biāo)，求出AB、AC斜率，求出kAB?kAC＝?1，得到三角形ABC是直角三角形，當(dāng)BC斜率存在時設(shè)出其方程，聯(lián)立BC的方程與拋物線的方程，利用韋達(dá)定理，表示出AB、AC斜率，求出kAB?kAC＝?1，得到三角形ABC是直角三角形．
【解答】
當(dāng)BC斜率不存在時，方程為x＝5，
代入拋物線方程y2＝4x得
B(5,25)，C(5,?25)
所以AB斜率是kAB=25?25?1=5?12，
AC斜率是kAC=?25?25?1=?5?12
所以kAB?kAC＝?1，
所以AB與AC垂直，
所以三角形ABC是直角三角形當(dāng)BC斜率存在時，顯然不能為0，否則與拋物線只有一個公共點，
所以設(shè)方程為x?5＝a(y+2)（a是斜率的倒數(shù)），
代入拋物線方程化簡得y2?4ay?8a?20＝0 設(shè)B(x1, y1)，C(x2, y2)，
則y1+y2＝4a，y1y2＝?8a?20 x1+x2＝(ay1+2a+5)+(ay2+2a+5)＝a(y1+y2)+4a+10＝4a2+4a+10 x1x2＝(ay1+2a+5)(ay2+2a+5)＝4a2+20a+25 kAB?kAC=y1?2x1?1?y2?2x2?1
因為(y1?2)(y2?2)＝y(tǒng)1y2?2(y1+y2)+4＝?16a?16 (x1?1)(x2?1)＝x1x2?(x1+x2)+1＝16a+16 所以AB和AC斜率乘積等于?1，
即AB垂直于AC．綜上可知，三角形ABC是直角三角形
五、解答題
【答案】
56
【考點】
拋物線的性質(zhì)
【解析】
設(shè)出點的坐標(biāo)與直線的方程，利用拋物線的定義表示出|AF|、|BF|再聯(lián)立直線與拋物線的方程利用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題，即可得到答案．
【解答】
由題意可得：F(12, 0)，設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)．
因為過拋物線y2＝2x的焦點F作直線l交拋物線于A、B兩點，
所以|AF|=12+x1，|BF|=12+x2．
因為|AB|=2512，所以x1+x2=1312
設(shè)直線l的方程為y＝k(x?12)，
聯(lián)立直線與拋物線的方程可得：k2x2?(k2+2)x+k24=0，
所以x1+x2=k2+2k2．
∴ k2+2k2=1312
∴ k2＝24
∴ 24x2?26x+6＝0，
∴ x1=13，x2=34
∴ |AF|=12+x1=56
【答案】
?2
【考點】
拋物線的性質(zhì)
【解析】
先求得拋物線焦點坐標(biāo)，進(jìn)而設(shè)出過焦點的直線方程代入拋物線方程消去x，根據(jù)韋達(dá)定理求得x1+x2和x1x2＝，代入|AB|的表達(dá)式中即可求得k，進(jìn)而根據(jù)三個定點的橫坐標(biāo)求得△OAB的重心的橫坐標(biāo)．
【解答】
由題意知拋物線焦點F(?1, 0)，
設(shè)過焦點F(?1, 0)的直線為y＝k(x+1)(k≠0)，A(x1, y1)，B(x2, y2)．
代入拋物線方程消去y得k2x2+2(k2+2)x+k2＝0．
∵ k2≠0，∴ x1+x2=?2(k2+2)k2，x1x2＝1．
∵ |AB|=(1+k2)2(x1?x2)2=(1+k2)2[4(k2+2)2k4?4]=8，
∴ k2＝1．
∴ △OAB的重心的橫坐標(biāo)為x=0+x1+x23=?2．
【答案】
設(shè)直線l:y=?1mx+b與拋物線交于兩點A(x1, y1)，B(x2, y2)，線段AB的中點為M(x0, y0)，
聯(lián)立y=?1mx+by=x2 ，得mx2+x?mb＝0，則x1+x2=?1mx1x2=?b ，
∴ x0=x1+x22=?12m，y0=?1m?(?12m)+b=12m2+b，
∴ M(?12m, 12m2+b)，
∵ 點M在直線y＝m(x?3)上，
∴ 12m2+b＝m(?12m?3)，解得b=?12m2?3m?12．
又△＝1+4m2b＝1+4m2(?12m2?3m?12)>0，即12m3+2m2+1