8 空間向量與立體幾何  例1．在平行六面體中，設，，，E，F分別是AD1，BD的中點．（1）用向量表示，；（2）若，求實數(shù)x，y，z的值．           例2．如圖，長方體的底面ABCD是正方形，點E為棱AA1的中點，，．（1）求點B到平面B1C1E的距離；（2）求二面角的正弦值．        一、選擇題．1．如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點．若，，，則下列向量中與相等的向量是（）A． B． C． D．2．若向量，，且與的夾角余弦為，則λ等于（）A． B． C．或 D．2 二、填空題．3．下列關于空間向量的命題中，正確的有________．①若向量，與空間任意向量都不能構成基底，則；②若非零向量，，滿足，，則有；③若，，是空間的一組基底，且，則，，，四點共面；④若向量，，，是空間一組基底，則，，也是空間的一組基底．4．在空間直角坐標系中，若點，，則_______．5．點關于平面xOz的對稱點是________，關于z軸的對稱點是________，關于的對稱點是________． 三、解答題．6．如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，已知AB∥DC，AB⊥AD，△SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，AD＝AB＝2DC＝2，F為SB的中點．（1）求異面直線SA與FC所成角的大小；（2）在棱SB上是否存在點Q，使平面SAC與平面QAC所成的銳二面角為？若存在，求出的大??；若不存在，請說明理由．          7．如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，點O為AB中點，點D為AA1中點．（1）求平面ABC與平面B1CD所成銳二面角的大??；（2）已知點E滿足，當異面直線DE與CB1所成角最小時，求實數(shù)λ的值．                    
 例1．【答案】（1），；（2）．【解析】（1），．（2），所以．例2．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）如圖，以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標系，則B(1，0，0），B1(1，0，2），C1(1，1，2），E(0，0，1），∴，，，設平面B1C1E的法向量，則，取u＝1，得，∴點B到平面B1C1E的距離為．（2）∵C1(1，1，2），E(0，0，1），C(1，1，0），∴，，設平面CC1E的法向量，則，取x＝1，得，設二面角B1﹣EC1﹣C的平面角為θ，則，∴，∴二面角B1﹣EC1﹣C的正弦值為．  一、選擇題．1．【答案】A【解析】，故選A．2．【答案】A【解析】∵向量，，∴，解得，故選A． 二、填空題．3．【答案】①③④【解析】對于①：若向量，與空間任意向量都不能構成基底，只能兩個向量為共線向量，即，故①正確；對于②：若非零向量，，滿足，，則與不確定，可能共線，故②錯誤；對于③：若，，是空間的一組基底，且，則，即，可得到四點共面，故③正確；對于④：若向量，，，是空間一組基底，則空間任意一個向量，存在唯一實數(shù)組，使得，由的唯一性，則，，也是唯一的，則，，也是空間的一組基底，故④正確，故答案為①③④．4．【答案】【解析】空間直角坐標系中，點，，則，故答案為．5．【答案】，，【解析】點關于平面xOz的對稱點是，關于z軸的對稱點是，設點關于的對稱點為，則，解得，故點關于點的對稱點為，故答案為，，． 三、解答題．6．【答案】（1）90°；（2）存在，．【解析】（1）∵在四棱錐S﹣ABCD中，已知AB∥DC，AB⊥AD，△SAD是正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，AD＝AB＝2DC＝2，F為SB的中點，∴以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，過A作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，設異面直線SA與FC所成角為，則，∴θ＝90°，∴異面直線SA與FC所成角的大小為90°．（2）假設在棱SB上存在點Q（a，b，c），，(0≤λ≤1)，使平面SAC與平面QAC所成的銳二面角為，則，即，解得a＝2λ，b＝1﹣λ，，∴，，，，設平面ACQ的法向量，則，取x＝2，得；設平面ASC的法向量，則，取p＝2，得，∵平面SAC與平面QAC所成的銳二面角為，∴，整理得，解得或（舍去），故在棱SB上存在點Q，使平面SAC與平面QAC所成的銳二面角為，此時．7．【答案】（1）；（2）．【解析】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CA，取A1B1的中點O1，連接OO1，則OO1AA1，AB⊥OC，又直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，而AB，OC?平面ABC，故AA1⊥OC，AA1⊥AB，所以OO1⊥OC，OO1⊥AB，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系O﹣xyz，則，，，，，，所以．（1）∵AA1⊥平面ABC，∴平面ABC的一個法向量為，設平面B1CD的一個法向量為，則，故可取，∴，∴平面ABC與平面B1CD所成銳二面角為．（2）∵，∴，則，設異面直線DE與CB1所成角為θ，則，令，則，當時，cosθ取得最大值，∵y＝cosθ在上遞減，∴θ取得最小值，此時．  

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