專題06 三角函數(shù)一、單選題1. 【2020屆河北省衡水中學(xué)高三下學(xué)期第一次模擬數(shù)學(xué)（理）】若，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題可得，解得.，，因此，.故選：B.2. 【2020屆河北省衡水中學(xué)高三下學(xué)期第一次模擬數(shù)學(xué)（理）】已知函數(shù)和（）圖象的交點(diǎn)中，任意連續(xù)三個(gè)交點(diǎn)均可作為一個(gè)等腰直角三角形的頂點(diǎn).為了得到的圖象，只需把的圖象（    ）A．向左平移1個(gè)單位 B．向左平移個(gè)單位C．向右平移1個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位【答案】A【解析】如圖所示：，故，.取靠近原點(diǎn)的三個(gè)交點(diǎn)，，，，為等腰直角三角形，故，故，故，，故為了得到的圖象，只需把的圖象向左平移1個(gè)單位    .故選：.3. 【河北省衡水第一中學(xué)2021屆全國高三第二次聯(lián)合考試（1）】已知函數(shù)，則（    ）A．B．是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心C．任取方程的兩個(gè)根，，則是的整數(shù)倍D．對(duì)于任意的，恒成立【答案】D【解析】因?yàn)?/span>，所以，所以既不是最大值也不是最小值，所以直線不是其圖象的對(duì)稱軸，故A錯(cuò)誤；因?yàn)閳D象整體向上平移了一個(gè)單位長度，所以對(duì)稱中心也向上平移了一個(gè)單位長度，且，所以點(diǎn)是其對(duì)稱中心，故B錯(cuò)誤；任取方程得到的兩個(gè)根，即為方程的任意兩根，它們之間相差為的整數(shù)倍，且，所以它們彼此之間相差的是的整數(shù)倍，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的最小值為，最大值為，所以對(duì)于任意的，恒成立，故D正確.故選：D.4. 【河北省衡水中學(xué)2021屆高三上學(xué)期七調(diào)】若，，，關(guān)于函數(shù)的以下結(jié)論：①        ②對(duì)稱軸方程為，③值域?yàn)?/span>        ④在區(qū)間單調(diào)遞減其中正確的是（    ）A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④【答案】D【解析】解:.因?yàn)?/span>都是周期為的函數(shù)，所以的周期為，①錯(cuò)誤；如下圖所示（一個(gè)周期內(nèi)圖象）：的對(duì)稱軸方程為：，，②正確；由圖直接得知③正確；當(dāng)，在區(qū)間單調(diào)遞減，④正確.故選：D.5. 【河北省衡水中學(xué)2021屆高三上學(xué)期期中】在中，分別是角的對(duì)邊，若，則的值為A． B．1 C．0 D．2014【答案】A【解析】∵a2+b2=2014c2，∴a2+b2﹣c2=2013c2=2abcosC．∴====2013．故答案為：A6. 【河北省衡水中學(xué)2021屆高三上學(xué)期四調(diào)】17世紀(jì)德國著名的天文學(xué)家開普勒曾經(jīng)這樣說過：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個(gè)是勾股定理，另一個(gè)是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦.”黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形，它是一個(gè)頂角為的等腰三角形(另一種是頂角為的等腰三角形).例如，五角星由五個(gè)黃金三角形與一個(gè)正五邊形組成，如圖所示，在其中一個(gè)黃金中，.根據(jù)這些信息，可得（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得：，且，所以，所以，故選：C7. 【河北省衡水中學(xué)2021屆高三下學(xué)期三調(diào)（新高考）】密位制是度量角的一種方法．把一周角等分為份，每一份叫做密位的角．以密位作為角的度量單位，這種度量角的單位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四個(gè)數(shù)碼表示角的大小，單位名稱密位二字可以省去不寫．密位的寫法是在百位數(shù)與十位數(shù)字之間畫一條短線，如密位寫成“”，密位寫成“”，周角等于密位，記作周角，直角．如果一個(gè)半徑為的扇形，它的面積為，則其圓心角用密位制表示為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)扇形所對(duì)的圓心角為，所對(duì)的密位為，則，解得，由題意可得，解得，因此，該扇形圓心角用密位制表示為.故選：B.8. 【河北省衡水中學(xué)2021屆全國高三第一次聯(lián)合考試（全國卷）】如圖，A，B，C，D四點(diǎn)共圓，，M，N在線段上，且，N是的中點(diǎn).設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】連接，如圖所示，易知是圓的直徑.因?yàn)?/span>，所以.在中，，故選項(xiàng)A不正確；在中，.又因?yàn)?/span>，所以，故選項(xiàng)D不正確；，故選項(xiàng)B不正確；因?yàn)?/span>，所以.又因?yàn)?/span>，易知與全等，所以，所以.又因?yàn)?/span>N是的中點(diǎn)，所以，所以，所以，所以，故選項(xiàng)C正確.故選：C9. 【河北省衡水中學(xué)2021屆全國高三下學(xué)期第二次聯(lián)合考試（II卷）】已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由知，為第二象限角，所以為第一或第三象限角，所以．故選：C. 二、多選題1. 【河北省衡水中學(xué)2021屆高三上學(xué)期四調(diào)】已知函數(shù)，下列結(jié)論不正確的是（    ）A．函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．若，則D．函數(shù)f(x)的最小值為－2【答案】BCD【解析】解：由題意可得：，函數(shù)圖象如下所示故對(duì)稱軸為，，故A正確；顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)函數(shù)取得最小值，故D錯(cuò)誤；要使，則，則或，或，所以或， ，故C錯(cuò)誤．故選：BCD．2. 【河北省衡水中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)第一次聯(lián)合考試】已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】AD【解析】解: 因?yàn)?/span>，所以，．所以．故選: AD3. 【河北省衡水中學(xué)2021屆全國高三第二次聯(lián)合考試（新高考）】將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再將得到的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的有（    ）A．為奇函數(shù)B．的周期為C．，都有D．在區(qū)間上單調(diào)遞增，且是小值為【答案】ABC【解析】將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得再將得到的圖象向左平移個(gè)單位長度，得，因?yàn)?/span>，所以為奇函數(shù)，故A正確；由周期公式，所以的周期為，故正確；又在時(shí)取得最小值，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；令，解得所以在區(qū)間)上單調(diào)遞增，取得所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以最小值為，故錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題1. 【2020屆河北省衡水中學(xué)高三下學(xué)期第一次模擬數(shù)學(xué)（理）】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，且為銳角，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為___________.【答案】【解析】由正弦定理將變形可得，即，由可得，而是銳角，所以，則由余弦定理可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，故，故，所以.故答案為: 2. 【河北省衡水中學(xué)2021屆高三上學(xué)期期中】在中，分別是角的對(duì)邊，已知，，的面積為，則的值為_______________.【答案】2【解析】∵，A∈（0，π）∴2A+=，可得A=∵b=1，△ABC的面積為，∴S=bcsinA=，即，解之得c=2由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA=1+4﹣2×=3∴a=（舍負(fù)）根據(jù)正弦定理，得===2故答案為23. 【河北省衡水中學(xué)2021屆高三下學(xué)期三調(diào)（新高考）】已知均為銳角，且，若，則________.【答案】5【解析】由，可得2sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]所以2[sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]＝3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]從而sin(α＋β)cos α＝5cos(α＋β)sin α，所以tan(α＋β)＝5tan α，所以.故答案為：.4. 【河北省衡水中學(xué)2021屆高三下學(xué)期三調(diào)（新高考）】對(duì)任意兩實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“”：，則函數(shù)的值域?yàn)?/span>______.【答案】【解析】由，則函數(shù)整理可得：由，得，即所以的值域?yàn)?/span>.故答案為：5. 【河北省衡水中學(xué)2021屆全國高三第一次聯(lián)合考試（全國卷）】在中，，則的外接圓的半徑等于___________.【答案】【解析】在中，易求.又，由余弦定理可得，解得.設(shè)外接圓的半徑為r，則由正弦定理，得，所以.故答案為：四、解答題1. 【河北省衡水第一中學(xué)2021屆全國高三第二次聯(lián)合考試（1）】如圖，在平面四邊形中，，，，，連接.（1）求；（2）設(shè)，，求的值.【答案】（1）2；（2）．【解析】解：（1）在中，由余弦定理可得，所以；（2）由題意可得，在中，由正弦定理，在中，由正弦定理，兩式相除可得：，所以．所以的值為．2. 【河北省衡水中學(xué)2021屆高三上學(xué)期七調(diào)】在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，且.（1）求角；（2）若，求的面積的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題設(shè)及正弦定理得化簡(jiǎn)得，，可得：（2）由已知（1），根據(jù)余弦定理得，即，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取號(hào)）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取號(hào)）3. 【河北省衡水中學(xué)2021屆高三上學(xué)期期中】在中，角的對(duì)邊分別是，已知向量，，且滿足.(1)求角的大??；(2)若，試判斷的形狀.【答案】(1)(2)直角三角形【解析】(1)∵，代入，，有，∴，即，∴，.(2)∵，∴①又∵②聯(lián)立①②有，，即，解得或，又∵，若，則，∴，為直角三角形，同理，若，則也為直角三角形.4. 【河北省衡水中學(xué)2021屆高三上學(xué)期四調(diào)】在①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問題中，并解決該問題.已知△中，，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，，，___________，求角及△的面積.【答案】選擇見解析；，.【解析】選①，因?yàn)?/span>，所以由正弦定理得，即，所以，因?yàn)?/span>，所以或.若，由，而，，從而，矛盾，舍去.故，接下來求△的面積.法一：設(shè)△外接圓的半徑為，則由正弦定理得，，，，.法二：由（1）得，即，，，，，或，當(dāng)時(shí)，又，，，由正弦定理得，，當(dāng)時(shí)，同理可得，故△的面積為.選②，因?yàn)?/span>，所以，即，，所以或（舍），因?yàn)?/span>，所以.以下同解法同①，選③，由及正弦定理得，即，由余弦定理得，，，以下解法同①.5. 【河北省衡水中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)第一次聯(lián)合考試】如圖，在四邊形中，與相交于點(diǎn)，，，．（1）求；（2）若，求四邊形的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）在中，，，，由余弦定理得，所以．由正弦定理得，．在中，由正弦定理得，即，同理，在中，．又因?yàn)?/span>，所以．所以．（2）在中，由正弦定理得，即，所以．又由余弦定理得，即，解得．S四邊形ABCD．6. 【河北省衡水中學(xué)2021屆高三下學(xué)期三調(diào)（新高考）】如圖，在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設(shè)有一個(gè)觀察站P，上午11時(shí)，測(cè)得一輪船在島北偏東30°，俯角為30°的B處，到11時(shí)10分又測(cè)得該船在島北偏西60°，俯角為60°的C處．(1)求船的航行速度是每小時(shí)多少千米？(2)又經(jīng)過一段時(shí)間后，船到達(dá)海島的正西方向的D處，問此時(shí)船距島A有多遠(yuǎn)？【答案】（1）（2）【解析】(1)在Rt△PAB中，∠APB＝60°，PA＝1，∴AB＝.在Rt△PAC中，∠APC＝30°，∴AC＝.在△ACB中，∠CAB＝30°＋60°＝90°，∴BC＝則船的航行速度為 (千米/時(shí))．(2)在△ACD中，∠DAC＝90°－60°＝30°，sin∠DCA＝sin(180°－∠ACB)＝sin∠ACB＝，sin∠CDA＝sin(∠ACB－30°)＝sin∠ACB·cos30°－cos∠ACB·sin30°由正弦定理得AD＝7. 【河北省衡水中學(xué)2021屆全國高三第二次聯(lián)合考試（新高考）】在①的外接圓面積為②的面積為，③的周長為這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并給出解答.問題：在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，是邊上一點(diǎn)已知，，，若___________，求的長.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】條件選擇見解析；.【解析】解：因?yàn)?/span>，所以解得或舍去，所以在中.因?yàn)?/span>所以所以由余弦定理得又所以即，所以為等邊三角形.因?yàn)?/span>所以在中，由余弦定理得選擇條件①：由的外接圓面積為得所以所以故.選擇條件②：由的面積為，得的面積為，所以解得故.選擇條件③：由的周長為，得所以故.8. 【河北省衡水中學(xué)2021屆全國高三下學(xué)期第二次聯(lián)合考試（II卷）】在四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)E，為等邊三角形，．（1）求的大??；（2）求的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，，由余弦定理得． 因?yàn)?/span>，所以，從而．            （2）由知，，所以，            所以，所以．因?yàn)?/span>，所以．      所以．  

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