?《中考壓軸題全揭秘》
專題18 綜合問題
一、單選題
1．有一天，兔子和烏龜賽跑．比賽開始后，兔子飛快地奔跑，烏龜緩慢的爬行．不一會兒，烏龜就被遠遠的甩在了后面．兔子想：“這比賽也太輕松了，不如先睡一會兒．”而烏龜一刻不停地繼續(xù)爬行．當兔子醒來跑到終點時，發(fā)現(xiàn)烏龜已經到達了終點．正確反映這則寓言故事的大致圖象是（　?。?br />
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
烏龜運動的圖象是一條直線，兔子運動的圖象路程先增大，而后不變，再增大，并且烏龜所用時間最短．
故選D．
【關鍵點撥】
本題考查了函數(shù)圖象問題，本題需先讀懂題意，根據實際情況找出正確函數(shù)圖象即可．
2．如圖，在平面直角坐標系中，直線l1：y=﹣x+1與x軸，y軸分別交于點A和點B，直線l2：y=kx（k≠0）與直線l1在第一象限交于點C．若∠BOC=∠BCO，則k的值為（　?。?br />
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】
如圖，過C作CD⊥OA于D．

直線l1：yx+1中，令x＝0，則y＝1，令y＝0，則x＝2，即A（2，0），B（0，1），∴Rt△AOB中，AB3．
∵∠BOC＝∠BCO，∴CB＝BO＝1，AC＝2．
∵CD∥BO，∴ODAO，CDBO，即C（），把C（）代入直線l2：y＝kx，可得：k，即k．
故選B．
【關鍵點撥】
本題考查了兩直線相交或平行問題，兩條直線的交點坐標，就是由這兩條直線相對應的一次函數(shù)表達式所組成的二元一次方程組的解．
3．如圖，點A，B在雙曲線y=（x＞0）上，點C在雙曲線y=（x＞0）上，若AC∥y軸，BC∥x軸，且AC=BC，則AB等于（　　）

A． B．2 C．4 D．3
【答案】B
【解析】
點C在雙曲線y=上，AC∥y軸，BC∥x軸，
設C（a，），則B（3a，），A（a，），
∵AC=BC，
∴﹣=3a﹣a，
解得a=1，（負值已舍去）
∴C（1，1），B（3，1），A（1，3），
∴AC=BC=2，
∴Rt△ABC中，AB=2，
故選B．
【關鍵點撥】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，注意反比例函數(shù)圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy=k．
4．如圖，直角三角形的直角頂點在坐標原點，∠OAB=30°，若點A在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，則經過點B的反比例函數(shù)解析式為（　?。?br />
A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=
【答案】C
【解析】
過點B作BC⊥x軸于點C，過點A作AD⊥x軸于點D，
∵∠BOA=90°，
∴∠BOC+∠AOD=90°，
∵∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BOC=∠OAD，
又∵∠BCO=∠ADO=90°，
∴△BCO∽△ODA，
∵=tan30°=，
∴，
∵×AD×DO=xy=3，
∴S△BCO=×BC×CO=S△AOD=1，
∵經過點B的反比例函數(shù)圖象在第二象限，
故反比例函數(shù)解析式為：y=﹣．
故選：C．

【關鍵點撥】
此題主要考查了相似三角形的判定與性質，反比例函數(shù)數(shù)的幾何意義，正確得出S△AOD=2是解題關鍵．
5．如圖，點A的坐標為（0，1），點B是x軸正半軸上的一動點，以AB為邊作Rt△ABC，使∠BAC=90°，∠ACB=30°，設點B的橫坐標為x，點C的縱坐標為y，能表示y與x的函數(shù)關系的圖象大致是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如圖所示：過點C作CD⊥y軸于點D，

∵∠BAC=90°，
∴∠DAC+∠OAB=90°，
∵∠DCA+∠DAC=90°，
∴∠DCA=∠OAB，
又∵∠CDA=∠AOB=90°，
∴△CDA∽△AOB，
∴=tan30°，
則，
故y=x+1（x＞0），
則選項C符合題意．
故選：C．
【關鍵點撥】此題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象，正確利用相似得出函數(shù)關系式是解題關鍵．
6．如圖，在?ABCD中，AB=6，BC=10，AB⊥AC，點P從點B出發(fā)沿著B→A→C的路徑運動，同時點Q從點A出發(fā)沿著A→C→D的路徑以相同的速度運動，當點P到達點C時，點Q隨之停止運動，設點P運動的路程為x，y=PQ2，下列圖象中大致反映y與x之間的函數(shù)關系的是（　?。?br />
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，∴AC==8，
當0≤x≤6時，AP=6﹣x，AQ=x，∴y=PQ2=AP2+AQ2=2x2﹣12x+36；
當6≤x≤8時，AP=x﹣6，AQ=x，∴y=PQ2=（AQ﹣AP）2=36；
當8≤x≤14時，CP=14﹣x，CQ=x﹣8，∴y=PQ2=CP2+CQ2=2x2﹣44x+260，
故選B．
【關鍵點撥】本題考查了二次函數(shù)的應用，動點問題的函數(shù)圖象，結合圖形正確地分三種情況進行討論是解題的關鍵.
7．在同一直角坐標系中，二次函數(shù)y＝x2與反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象如圖所示，若兩個函數(shù)圖象上有三個不同的點A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m為常數(shù)，令ω＝x1+x2+x3，則ω的值為（　　）

A．1 B．m C．m2 D．
【答案】D
【解析】
設點A、B在二次函數(shù)y＝x2的圖象上，點C在反比例函數(shù)y(x＞0)的圖象上，
因為A、B兩點縱坐標相同，則A、B關于y軸對稱，則x1+x2 =0，
因為點C(x3，m)在反比例函數(shù)圖象上，則x3=，
∴ω＝x1+x2+x3=，
故選D.
【關鍵點撥】
本題考查了二次函數(shù)圖象的軸對稱性，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟知二次函數(shù)圖象上點縱坐標相同時，對應點關于拋物線對稱軸對稱是解題的關鍵.
8．如圖，菱形ABCD的邊AD與x軸平行，A、B兩點的橫坐標分別為1和3，反比例函數(shù)y=的圖象經過A、B兩點，則菱形ABCD的面積是（　?。?br />
A．4 B．4 C．2 D．2
【答案】A
【解析】
如圖，作AH⊥BC交CB的延長線于H，
∵反比例函數(shù)y=的圖象經過A、B兩點，A、B兩點的橫坐標分別為1和3，
∴A、B兩點的縱坐標分別為3和1，即點A的坐標為（1，3），點B的坐標為（3，1），
∴AH=3﹣1=2，BH=3﹣1=2，
由勾股定理得，AB=，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=AB=2，
∴菱形ABCD的面積=BC×AH=4，
故選A．

【關鍵點撥】
本題考查的是反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義、菱形的性質，根據反比例函數(shù)解析式求出A的坐標、點B的坐標是解題的關鍵．
9．如圖，在平面直角坐標系中，將正方形OABC繞點O逆時針旋轉45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，繞點O連續(xù)旋轉2018次得到正方形OA2018B2018C2018，如果點A的坐標為（1，0），那么點B2018的坐標為（　　）

A．（1，1） B．（0，） C．（） D．（﹣1，1）
【答案】D
【解析】
∵四邊形OABC是正方形，且OA=1，
∴B（1，1），
連接OB，

由勾股定理得：OB=，
由旋轉得：OB=OB1=OB2=OB3=…=，
∵將正方形OABC繞點O逆時針旋轉45°后得到正方形OA1B1C1，
相當于將線段OB繞點O逆時針旋轉45°，依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°，
∴B1（0，），B2（-1，1），B3（-，0），…，
發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，所以2018÷8=252…余2，
∴點B2018的坐標為（-1，1）
故選：D．
【關鍵點撥】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角．也考查了坐標與圖形的變化、規(guī)律型：點的坐標等知識，解題的關鍵是學會從特殊到一般的探究規(guī)律的方法
10．如圖，平面直角坐標系中，點A是x軸上任意一點，BC平行于x軸，分別交y=（x＞0）、y=（x＜0）的圖象于B、C兩點，若△ABC的面積為2，則k值為（　　）

A．﹣1 B．1 C． D．
【答案】A
【解析】
連接OC、OB，如圖，
∵BC∥x軸，
∴S△ACB=S△OCB，
而S△OCB=×|3|+?|k|，
∴×|3|+?|k|=2，
而k＜0，
∴k=﹣1，
故選A．

【關鍵點撥】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)y=圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．在反比例函數(shù)的圖象上任意一點向坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構成的三角形的面積是|k|，且保持不變．
11．如圖，一個長方體鐵塊放置在圓柱形水槽容器內，向容器內按一定的速度均勻注水，60秒后將容器內注滿.容器內水面的高度h（cm）與注水時間t（s）之間的函數(shù)關系圖象大致是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
已知一個長方體鐵塊放置在圓柱形水槽容器內，向容器內按一定的速度均勻注水，60秒后將容器內注滿.因為長方體是均勻的，所以初期的圖像應是直線，當水越過長方體后，注水需填充的體積變大，因此此時的圖像也是直線，但斜率小于初期，綜上所述答案選D.
【關鍵點撥】
能夠根據條件分析不同時間段的圖像是什么形狀是解答本題的關鍵.
12．如圖，菱形ABCD的邊AD⊥y軸，垂足為點E，頂點A在第二象限，頂點B在y軸的正半軸上，反比例函數(shù)y=（k≠0，x＞0）的圖象同時經過頂點C，D．若點C的橫坐標為5，BE=3DE，則k的值為（　?。?br />
A． B．3 C． D．5
【答案】C
【解析】
過點D做DF⊥BC于F，

由已知，BC=5，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴DC=5，
∵BE=3DE，
∴設DE=x，則BE=3x，
∴DF=3x，BF=x，F(xiàn)C=5-x，
在Rt△DFC中，
DF2+FC2=DC2，
∴（3x）2+（5-x）2=52，
∴解得x=1，
∴DE=1，F(xiàn)D=3，
設OB=a，
則點D坐標為（1，a+3），點C坐標為（5，a），
∵點D、C在雙曲線上，
∴1×（a+3）=5a，
∴a=，
∴點C坐標為（5，）
∴k=.
故選C．
【關鍵點撥】
本題是代數(shù)幾何綜合題，考查了數(shù)形結合思想和反比例函數(shù)k值性質．解題關鍵是通過勾股定理構造方程．
13．如圖，曲線C2是雙曲線C1：y=（x＞0）繞原點O逆時針旋轉45°得到的圖形，P是曲線C2上任意一點，點A在直線l：y=x上，且PA=PO，則△POA的面積等于（　?。?br />
A． B．6 C．3 D．12
【答案】B
【解析】
如圖，將C2及直線y=x繞點O逆時針旋轉45°，則得到雙曲線C3，直線l與y軸重合．
雙曲線C3，的解析式為y=-，
過點P作PB⊥y軸于點B，
∵PA=PO，
∴B為OA中點．
∴S△PAB=S△POB，
由反比例函數(shù)比例系數(shù)k的性質，S△POB=3，
∴△POA的面積是6.

故選：B．
【關鍵點撥】本題為反比例函數(shù)綜合題，考查了反比例函數(shù)的軸對稱性以及反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義．
14．如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點O與坐標原點重合，頂點A、C分別在x軸、y軸上，反比例函數(shù)y=（k≠0，x＞0）的圖象與正方形OABC的兩邊AB、BC分別交于點M、N，ND⊥x軸，垂足為D，連接OM、ON、MN，則下列選項中的結論錯誤的是（　?。?br />
A．△ONC≌△OAM
B．四邊形DAMN與△OMN面積相等
C．ON=MN
D．若∠MON=45°，MN=2，則點C的坐標為（0，+1）
【答案】C
【解析】
∵點M、N都在y=的圖象上，
∴S△ONC=S△OAM=k，即OC?NC=OA?AM，
∵四邊形ABCO為正方形，
∴OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°，
∴NC=AM，
∴△OCN≌△OAM，
∴A正確；
∵S△OND=S△OAM=k，
而S△OND+S四邊形DAMN=S△OAM+S△OMN，
∴四邊形DAMN與△MON面積相等，
∴B正確；
∵△OCN≌△OAM，
∴ON=OM，
∵k的值不能確定，
∴∠MON的值不能確定，
∴△ONM只能為等腰三角形，不能確定為等邊三角形，
∴ON≠MN，
∴C錯誤；
作NE⊥OM于E點，如圖所示：

∵∠MON=45°，∴△ONE為等腰直角三角形，
∴NE=OE，
設NE=x，則ON=x，
∴OM=x，
∴EM=x-x=（ -1）x，
在Rt△NEM中，MN=2，
∵MN2=NE2+EM2，即22=x2+[（ -1）x]2，
∴x2=2+，
∴ON2=（x）2=4+2，
∵CN=AM，CB=AB，
∴BN=BM，
∴△BMN為等腰直角三角形，
∴BN=MN=，
設正方形ABCO的邊長為a，則OC=a，CN=a-，
在Rt△OCN中，∵OC2+CN2=ON2，
∴a2+（a-）2=4+2，解得a1=+1，a2=-1（舍去），
∴OC=+1，
∴C點坐標為（0，+1），
∴D正確．
故選：C．
【關鍵點撥】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、比例系數(shù)的幾何意義和正方形的性質；本題難度較大，綜合性強；熟練運用勾股定理和等腰直角三角形的性質進行推理計算．
15．已知拋物線y=x2+1具有如下性質：該拋物線上任意一點到定點F（0，2）的距離與到x軸的距離始終相等，如圖，點M的坐標為（，3），P是拋物線y=x2+1上一個動點，則△PMF周長的最小值是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
過點M作ME⊥x軸于點E，交拋物線y=x2+1于點P，此時△PMF周長最小值，

∵F（0，2）、M（ ，3），
∴ME=3，F(xiàn)M==2，
∴△PMF周長的最小值=ME+FM=3+2=5．
故選C．
【關鍵點撥】
本題求線段和的最值問題，把需要求和的線段，找到相等的線段進行轉化，轉化后的線段共線時為最值情況.
16．如圖，∠AOB=90°，且OA、OB分別與反比例函數(shù)y=（x＞0）、y=﹣（x＜0）的圖象交于A、B兩點，則tan∠OAB的值是（　　）

A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】
過點A作AC⊥x軸于C，過點B作BD⊥x軸于D，

∴∠ACO=∠ODB=90°，
∴∠OBD+∠BOD=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠AOC=90°，
∴∠OBD=∠AOC，
∴△OBD∽△AOC，
∴ ，
∵點A在反比例函數(shù)y=的圖象上，點B在反比例函數(shù)y=﹣的圖象上，
∴S△OBD=，S△AOC=2，
∴，
∴tan∠OAB=．
故選A．
【關鍵點撥】
本題是反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有相似三角形的判定與性質、反比例函數(shù)k的幾何意義，證明△OBD∽△AOC是解決本題的關鍵．
17．如圖，拋物線y=（x+2）（x﹣8）與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，頂點為M，以AB為直徑作⊙D．下列結論：①拋物線的對稱軸是直線x=3；②⊙D的面積為16π；③拋物線上存在點E，使四邊形ACED為平行四邊形；④直線CM與⊙D相切．其中正確結論的個數(shù)是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
∵在y=（x+2）（x﹣8）中，當y=0時，x=﹣2或x=8，
∴點A（﹣2，0）、B（8，0），
∴拋物線的對稱軸為x==3，故①正確；
∵⊙D的直徑為8﹣（﹣2）=10，即半徑為5，
∴⊙D的面積為25π，故②錯誤；
在y=（x+2）（x﹣8）=x2﹣x﹣4中，當x=0時y=﹣4，
∴點C（0，﹣4），
當y=﹣4時，x2﹣x﹣4=﹣4，
解得：x1=0、x2=6，
所以點E（6，﹣4），
則CE=6，
∵AD=3﹣（﹣2）=5，
∴AD≠CE，
∴四邊形ACED不是平行四邊形，故③錯誤；
∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣3）2﹣，
∴點M（3，﹣），
∴DM=，

如圖，連接CD，過點M作MN⊥y軸于點N，則有N（0，﹣），MN=3，
∵C（0，-4），∴CN=，∴CM2=CN2+MN2=，
在Rt△ODC中，∠COD=90°，∴CD2=OC2+OD2=25，∴CM2+CD2=，
∵DM2=，
∴CM2+CD2=DM2，
∴∠DCM=90°，即DC⊥CM，
∵CD是半徑，
∴直線CM與⊙D相切，故④正確，
故選B．
【關鍵點撥】本題考查了二次函數(shù)與圓的綜合題，涉及到拋物線的對稱軸、圓的面積、平行四邊形的判定、待定系數(shù)法、兩直線垂直、切線的判定等，綜合性較強，有一定的難度，運用數(shù)形結合的思想靈活應用相關知識是解題的關鍵.
18．如圖，是函數(shù)上兩點，為一動點，作軸，軸，下列說法正確的是( )

①；②；③若，則平分；④若，則
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
【答案】B
【解析】
①顯然AO與BO不一定相等，故△AOP與△BOP不一定全等，故①錯誤；
②延長BP，交x軸于點E，延長AP，交y軸于點F，
∵AP//x軸，BP//y軸，∴四邊形OEPF是矩形，S△EOP=S△FOP，
∵S△BOE=S△AOF=k=6，∴S△AOP=S△BOP，故②正確；
③過P作PM⊥BO，垂足為M，過P作PN⊥AO，垂足為N，
∵S△AOP=OA?PN，S△BOP=BO?PM，S△AOP=S△BOP，AO=BO，
∴PM=PN，∴PO平分∠AOB，即OP為∠AOB的平分線，故③正確；
④設P（a，b），則B（a，）、A（，b），
S△BOP=BP?EO==4，
∴ab=4，
S△ABP=AP?BP==8，
故④錯誤，
綜上，正確的為②③，
故選B.

【關鍵點撥】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，正確添加輔助線、熟知反比例函數(shù)k的幾何意義是解題的關鍵.
19．如圖，直線都與直線l垂直，垂足分別為M，N，MN=1，正方形ABCD的邊長為，對角線AC在直線l上，且點C位于點M處，將正方形ABCD沿l向右平移，直到點A與點N重合為止，記點C平移的距離為x，正方形ABCD的邊位于之間部分的長度和為y，則y關于x的函數(shù)圖象大致為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由正方形的性質，已知正方形ABCD的邊長為，易得正方形的對角線AC=2，∠ACD=45°，
如圖，當0≤x≤1時，y=2，

如圖，當1

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