目錄
TOC \ "1-3" \h \u 一、題型全歸納1
題型一 三角函數(shù)的定義域和值域1
題型二 三角函數(shù)的單調(diào)性3
類型一 求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間3
類型二 根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)4
題型三 三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性7
類型一 三角函數(shù)的周期性7
類型二 三角函數(shù)的奇偶性8
類型三 三角函數(shù)的對稱性9
題型四 三角函數(shù)中ω值的求法11
類型一、利用三角函數(shù)的單調(diào)性求解11
類型二、利用三角函數(shù)的對稱性求解11
類型三、利用三角函數(shù)的最值求解12
二、高效訓(xùn)練突破13
一、題型全歸納
題型一 三角函數(shù)的定義域和值域
【題型要點】1．三角函數(shù)定義域的求法
求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解．
2.求解三角函數(shù)的值域(最值)常見到以下幾種類型
(1)形如y＝asin x＋bcs x＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)sin x＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)．
(3)形如y＝asin3x＋bsin2x＋csin x＋d，類似于(2)進行換元，然后用導(dǎo)數(shù)法求最值．
【例1】函數(shù)y＝eq \r(sin x－cs x)的定義域為________．
【答案】：{x|2kπ＋eq \f(π,4)≤x≤2kπ＋eq \f(5π,4)，k∈Z}
【解析】：法一：要使函數(shù)有意義，必須使sin x－cs x≥0.利用圖象，在同一坐標(biāo)系中畫出[0，2π]上y＝sin x和y＝cs x的圖象，如圖所示．
在[0，2π]內(nèi)，滿足sin x＝cs x的x為eq \f(π,4)，eq \f(5π,4)，再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2π，所以原函數(shù)的定義域為{x|2kπ＋eq \f(π,4)≤x≤2kπ＋eq \f(5π,4)，k∈Z}．
法二：利用三角函數(shù)線，畫出滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)．
所以定義域為{x|2kπ＋eq \f(π,4)≤x≤2kπ＋eq \f(5π,4)，k∈Z}．
法三：sin x－cs x＝eq \r(2)sin(x－eq \f(π,4))≥0，
將x－eq \f(π,4)視為一個整體，由正弦函數(shù)y＝sin x的圖象和性質(zhì)可知2kπ≤x－eq \f(π,4)≤π＋2kπ(k∈Z)，
解得2kπ＋eq \f(π,4)≤x≤2kπ＋eq \f(5π,4)(k∈Z)．
所以定義域為{x|2kπ＋eq \f(π,4)≤x≤2kπ＋eq \f(5π,4)，k∈Z}．
【例2】．(2020·長沙質(zhì)檢)函數(shù)y＝sinx－csx＋sinxcsx的值域為________．
【答案】
【解析】令t＝sinx－csx，則t＝eq \r(2)sin∈[－eq \r(2)，eq \r(2)]．由(sinx－csx)2＝1－2sinxcsx得sinxcsx＝eq \f(1,2)(1－t2)，
所以y＝t＋eq \f(1,2)(1－t2)，t∈[－eq \r(2)，eq \r(2)]的值域即為所求．
因為y＝t＋eq \f(1,2)(1－t2)＝－eq \f(1,2)(t－1)2＋1，
當(dāng)t＝－eq \r(2)時，ymin＝－eq \f(1,2)－eq \r(2)，
當(dāng)t＝1時，ymax＝1，
所以原函數(shù)的值域為
題型二 三角函數(shù)的單調(diào)性
類型一 求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
【題型要點】三角函數(shù)單調(diào)性的求法
(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)的函數(shù)的單調(diào)性問題，一般是將ωx＋φ看成一個整體，再結(jié)合圖象利用y＝sin x的單調(diào)性求解；
(2)如果函數(shù)中自變量的系數(shù)為負值，要根據(jù)誘導(dǎo)公式把自變量系數(shù)化為正值，再確定其單調(diào)性．
【例1】(2019·全國卷Ⅱ)下列函數(shù)中，以eq \f(π,2)為周期且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是( )
A．f(x)＝|cs2x| B．f(x)＝|sin2x|
C．f(x)＝cs|x| D．f(x)＝sin|x|
【答案】A
【解析】作出函數(shù)f(x)＝|cs2x|的圖象，如圖．
由圖象可知f(x)＝|cs2x|的周期為eq \f(π,2)，在區(qū)間上單調(diào)遞增．同理可得f(x)＝|sin2x|的周期為eq \f(π,2)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，f(x)＝cs|x|的周期為2π.f(x)＝sin|x|不是周期函數(shù)，排除B，C，D.故選A.
【例2】．已知eq \f(π,3)為函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)的零點，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由于eq \f(π,3)為函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)的零點，則＝0，所以sin＝0，
解得φ＝eq \f(π,3)，故f(x)＝sin，令－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
解得kπ－eq \f(5π,12)≤x≤kπ＋eq \f(π,12)(k∈Z)，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為．
類型二 根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)
【題型要點】已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的取值范圍的三種方法
(1)子集法：求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組)求解；
(2)反子集法：由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某個單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解；
(3)周期法：由所給區(qū)間的兩個端點到其相應(yīng)對稱中心的距離不超過eq \f(1,4)周期列不等式(組)求解．
【易錯提醒】要注意求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時ω的符號，若ω0)在區(qū)間[－eq \f(π,2)，eq \f(2π,3)]上是增函數(shù)，則ω的取值范圍是________．
【答案】(0，eq \f(3,4)]
【解析】法一：因為x∈[－eq \f(π,2)，eq \f(2π,3)](ω>0)，
所以ωx∈[－eq \f(ωπ,2)，eq \f(2πω,3)]，
因為f(x)＝2sin ωx在[－eq \f(π,2)，eq \f(2π,3)]上是增函數(shù)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)ω≥－\f(π,2)，,\f(2π,3)ω≤\f(π,2)，,ω>0，))故00)的圖象如圖所示．
要使f(x)在[－eq \f(π,2)，eq \f(2π,3)]上是增函數(shù)，需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2ω)≤－\f(π,2)，,\f(2π,3)≤\f(π,2ω)))
(ω>0)，即00)，
從而有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2ω)≤－\f(π,2)，,\f(π,2ω)≥\f(2π,3)，))即00，函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋eq \f(π,4))在(eq \f(π,2)，π)上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是________．
【答案】：[eq \f(1,2)，eq \f(5,4)]
【解析】：法一：由eq \f(π,2)

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