2021年高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題4.2 簡單的三角恒等變換 題型全歸納與高效訓(xùn)練突破

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目錄
TOC \ "1-3" \h \u 一、題型全歸納1
題型一 兩角和、差及倍角公式的直接應(yīng)用1
題型二 三角函數(shù)公式的逆用與變形用3
題型三 和差公式的靈活運用4
類型一 角的變換4
類型二 變名問題6
題型四 三角函數(shù)式的化簡6
題型五 三角函數(shù)的求值8
類型一 給角求值8
類型二 給值求值8
類型三 給值求角10
題型六 三角恒等變換的綜合應(yīng)用11
類型一 研究三角函數(shù)的圖象問題11
類型二 研究三角函數(shù)的性質(zhì)問題11
二、高效訓(xùn)練突破12
一、題型全歸納
題型一 兩角和、差及倍角公式的直接應(yīng)用
【題型要點】1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
(1)C(α－β)：cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ.
C(α＋β)：cs(α＋β)＝csαcsβ－sinαsinβ.
(2)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ.
S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcsβ－csαsinβ.
(3)T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)
T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)S2α：sin2α＝2sinαcsα.
(2)C2α：cs2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
(3)T2α：tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α).
3.三角函數(shù)公式的應(yīng)用策略
(1)使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征．
(2)使用公式求值，應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值．
【例1】(2020·山西大學(xué)附中模擬)已知＝2cs(π－α)，則＝( )
A．－4 B．4
C．－eq \f(1,3) D.eq \f(1,3)
【答案】C
【解析】因為＝2cs(π－α)，所以－sinα＝－2csα，所以tanα＝2，所以＝eq \f(1－tanα,1＋tanα)＝－eq \f(1,3).
【例2】．(2020·長沙模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角θ的頂點在原點，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點，則＝________.
【答案】－1
【解析】由已知條件，得csθ＝eq \f(1,2)，sinθ＝eq \f(\r(3),2)，所以cs2θ＝cs2θ－sin2θ＝－eq \f(1,2)，sin2θ＝2sinθcsθ＝eq \f(\r(3),2)，所以＝cs2θcseq \f(π,3)－sin2θsineq \f(π,3)＝－eq \f(1,2)×eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＝－1.
題型二 三角函數(shù)公式的逆用與變形用
【題型要點】(1)和差角公式的常見變形
①sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β；
②cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β；
③tan α±tan β＝tan(α±β)·(1?tan αtan β)．
(2)二倍角正、余弦公式的常見變換方式
①配方變換：1±sin 2α＝sin2α＋cs2α±2sin αcs α＝(sin α±cs α)2；
②因式分解變換：cs 2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α＝cs2 α－sin2α＝(cs α＋sin α)(cs α－sin α)；
③降冪擴(kuò)角變換：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)；
④升冪縮角變換：1＋cs α＝2cs2eq \f(α,2)，
1－cs α＝2sin2eq \f(α,2)；
⑤公式變換：cs α＝eq \f(sin 2α,2sin α)，sin α＝eq \f(sin 2α,2cs α).
【例1】已知sinα＋csα＝eq \f(\r(5),2)，則cs4α＝________.
【答案】eq \f(7,8)
【解析】由sinα＋csα＝eq \f(\r(5),2)，得sin2α＋cs2α＋2sinαcsα＝1＋sin2α＝eq \f(5,4)，所以sin2α＝eq \f(1,4)，從而cs4α＝1－2sin22α＝1－2×＝eq \f(7,8).
【例2】(2020·四川樂山二模)化簡sin2＋sin2－sin2α的結(jié)果是________．
【答案】eq \f(1,2)
【解析】原式＝eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3))),2)＋eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3))),2)－sin2α
＝1－eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3)))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))))－sin2α＝1－cs 2α·cs eq \f(π,3)－sin2α＝1－eq \f(cs 2α,2)－eq \f(1－cs 2α,2)＝eq \f(1,2).
題型三 和差公式的靈活運用
類型一 角的變換
【題型要點】角的變換：明確各個角之間的關(guān)系(包括非特殊角與特殊角、已知角與未知角)，熟悉角的變換技巧及半角與倍角的相互轉(zhuǎn)化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，＋＝eq \f(π,2)，eq \f(α,2)＝2×eq \f(α,4)等．
【例1】(2020·南開區(qū)模擬)已知0