1．（3分）下列運(yùn)算，結(jié)果為正數(shù)的是（ ）
A．﹣1+1B．﹣1﹣1C．﹣1×1D．（﹣1）2
2．（3分）一組數(shù)據(jù)﹣2，a，5，3，1有唯一的眾數(shù)5，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ）
A．﹣2B．1C．3D．5
3．（3分）已知3x＝4y（y≠0），則（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
4．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（m，2）與點(diǎn)B（3，n）關(guān)于x軸對(duì)稱，則（ ）
A．m＝3，n＝﹣2B．m＝﹣3，n＝2C．m＝3，n＝2D．m＝﹣2，n＝3
5．（3分）如圖，以點(diǎn)P為圓心作圓恰好與直線l相切，則與半徑相等的線段是（ ）
A．PAB．PBC．PCD．PD
6．（3分）若x＞y，a＜1，則（ ）
A．x﹣a＞y+1B．x+1＞y+aC．a(chǎn)x＞ayD．x+a＞y﹣1
7．（3分）某商鋪促銷，單價(jià)80元的襯衫按照8折銷售仍可獲利10元，若這款襯衫的成本價(jià)為x元/件，則（ ）
A．80×0.8﹣x＝10B．（80﹣x）0.8﹣x＝10
C．80×0.8＝x﹣10D．（80﹣x）×0.8＝x﹣10
8．（3分）點(diǎn)A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是反比例函數(shù)圖象上的三個(gè)點(diǎn)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y2
9．（3分）在菱形ABCD中，記∠ABC＝∠α（0°＜∠α＜90°），菱形的面積記作S，菱形的周長(zhǎng)記作C，若AD＝2，則（ ）
A．C與∠α的大小有關(guān)
B．當(dāng)∠α＝45°時(shí)，S＝
C．A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)可以在同一個(gè)圓上
D．S隨∠α的增大而增大
10．（3分）已知平面直角坐標(biāo)系中的動(dòng)點(diǎn)A（x，y），x，y滿足x＝1+2a，y＝1﹣a，其中﹣3≤x＜3，給出下列說法：①動(dòng)點(diǎn)A（x，y）可以運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)；②動(dòng)點(diǎn)A（x，y）可以運(yùn)動(dòng)到第一象限；③動(dòng)點(diǎn)A（x+y，0）在x軸正半軸上；④動(dòng)點(diǎn)A（xy﹣3y，﹣3）在第三象限，其中正確說法的序號(hào)是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
二、填空題：本題有6個(gè)小題，每小題4分，共24分
11．（4分）9的平方根是 ．
12．（4分）不透明袋子中有1個(gè)紅球和2個(gè)綠球，這些球除顏色外無(wú)其他差別．從袋子中隨機(jī)取出1個(gè)球，恰好是紅球的概率為 ．
13．（4分）分解因式：a3﹣a＝ ．
14．（4分）如圖，PA，PB切⊙O于點(diǎn)A，B，若OA＝2，∠APB＝60°，則PB＝ ．
15．（4分）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在邊長(zhǎng)相同的小正方形組成的網(wǎng)格頂點(diǎn)上，AB，CD相交于點(diǎn)P，則tan∠APD＝ ．
16．（4分）如圖，點(diǎn)E是平行四邊形ABCD邊AB上一點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F恰好落在∠ABC的角平分線BG上，若AB＝3，AD＝2，∠ABC＝120°，則DG＝ ，BE＝ ．
三、解答題：本題有7小題，共66分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（6分）下面是圓圓同學(xué)計(jì)算一道題的過程：
2÷（﹣+）×（﹣3）
＝[2÷（﹣）+2÷]×（﹣3）
＝2×（﹣3）×（﹣3）+2×4×（﹣3）
＝18﹣24
＝6．
圓圓同學(xué)這樣算正確嗎？如果正確請(qǐng)解釋理由；如果不正確，請(qǐng)你寫出正確的計(jì)算過程．
18．（8分）如圖，直線l1：y＝x+1與直線l2：y＝mx+n相交于點(diǎn)P（1，b）．
（1）直接寫出不等式x+1＞mx+n的解集；
（2）直接寫出方程組的解；
（3）直線l3：y＝nx+m是否也經(jīng)過點(diǎn)P？請(qǐng)說明理由．
19．（8分）文具店購(gòu)進(jìn)了20盒“2B”鉛筆，但在銷售過程中，發(fā)現(xiàn)其中混入了若干“HB”鉛筆．店員進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，發(fā)現(xiàn)每盒鉛筆中最多混入了2支“HB”鉛筆，具體數(shù)據(jù)見下表：
（1）用等式寫出m，n所滿足的數(shù)量關(guān)系 ；
（2）從20盒鉛筆中任意選取1盒：
①“盒中沒有混入‘HB’鉛筆”是 事件（填“必然”、“不可能”或“隨機(jī)”）；
②若“盒中混入1支‘HB’鉛筆”的概率為，求m和n的值．
20．（10分）某司機(jī)駕駛汽車從甲地去乙地，他以70km/h的平均速度用3h到達(dá)目的地．
（1）當(dāng)他按原路勻速返回時(shí)，汽車的速度v與時(shí)間t有怎樣的函數(shù)關(guān)系？
（2）如果該司機(jī)返回到甲地的時(shí)間不超過2.5h，那么返程的平均速度不能小于多少？
21．（10分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠BDC．
（1）求證：△ABD∽△DCB；
（2）若AB＝12，AD＝8，CD＝15，求DB的長(zhǎng)．
22．（12分）二次函數(shù)y＝2x2+bx+c的頂點(diǎn)M是直線y1＝﹣x和直線y2＝x+m的交點(diǎn)．
（1）當(dāng)x≥2時(shí)，y＝2x2+bx+c的值均隨x的增大而增大，求m的取值范圍．
（2）若直線y1與y2交于點(diǎn)（2，n）．
①當(dāng)t≤x≤t+1時(shí)，二次函數(shù)的最小值為﹣3，求t的取值范圍．
②P（x0，p）和Q（3，q）為二次函數(shù)上的兩個(gè)點(diǎn)，當(dāng)p＜q時(shí)，求x0的取值范圍．
23．（12分）如圖，已知等邊△ABC，在AC，BC邊分別取點(diǎn)P，Q，使AP＝CQ，連接AQ，BP相交于點(diǎn)O．
（1）求證：△ABP≌△CAQ．
（2）若AP＝AC．
①求的值．
②設(shè)△ABC的面積為S1，四邊形CPOQ的面積為S2，求的值．
2021年浙江省杭州市余杭區(qū)中考數(shù)學(xué)三模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題有10個(gè)小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)最符合題目要求.
1．（3分）下列運(yùn)算，結(jié)果為正數(shù)的是（ ）
A．﹣1+1B．﹣1﹣1C．﹣1×1D．（﹣1）2
【分析】各式計(jì)算得到結(jié)果，即可作出判斷．
【解答】解：A、原式＝0，不符合題意；
B、原式＝﹣2，不符合題意；
C、原式＝﹣1，不符合題意；
D、原式＝1，符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
2．（3分）一組數(shù)據(jù)﹣2，a，5，3，1有唯一的眾數(shù)5，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ）
A．﹣2B．1C．3D．5
【分析】根據(jù)眾數(shù)的意義求出a的值，再根據(jù)中位數(shù)的意義求解即可．
【解答】解：由于這組數(shù)據(jù)﹣2，a，5，3，1有唯一的眾數(shù)5，
所以a＝5，
將這組數(shù)據(jù)從小到大排列處在中間位置的一個(gè)數(shù)是3，因此中位數(shù)是3，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查中位數(shù)、眾數(shù)，理解中位數(shù)、眾數(shù)的意義是解決問題的前提．
3．（3分）已知3x＝4y（y≠0），則（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)：內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積，可得答案．
【解答】解：A、由比例的性質(zhì)得4x＝3y，與3x＝4y不一致，故A不符合題意；
B、由比例的性質(zhì)得xy＝12，與3x＝4y不一致，故B不符合題意；
C、由比例的性質(zhì)得4x＝3y，與3x＝4y不一致，故C不符合題意；
D、由比例的性質(zhì)得3x＝4y，與3x＝4y一致，故D符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，利用比例的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
4．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（m，2）與點(diǎn)B（3，n）關(guān)于x軸對(duì)稱，則（ ）
A．m＝3，n＝﹣2B．m＝﹣3，n＝2C．m＝3，n＝2D．m＝﹣2，n＝3
【分析】直接利用關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出答案．
【解答】解：∵點(diǎn)A（m，2）與點(diǎn)B（3，n）關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴m＝3，n＝﹣2，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確掌握關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)是解題關(guān)鍵．
5．（3分）如圖，以點(diǎn)P為圓心作圓恰好與直線l相切，則與半徑相等的線段是（ ）
A．PAB．PBC．PCD．PD
【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：∵以點(diǎn)P為圓心作圓恰好與直線l相切，PB⊥l，
∴PB是圓的半徑，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的性質(zhì)，熟練掌握“圓的切線，垂直于過切點(diǎn)的半徑“是解決問題的關(guān)鍵．
6．（3分）若x＞y，a＜1，則（ ）
A．x﹣a＞y+1B．x+1＞y+aC．a(chǎn)x＞ayD．x+a＞y﹣1
【分析】不等式的基本性質(zhì)①不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，不等號(hào)的方向不變；②不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；③不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，據(jù)此逐一判斷即可．
【解答】解：A．不妨設(shè)x＝2，y＝1，a＝，
則x﹣a＜y+1，故本選項(xiàng)不合題意；
B．∵x＞y，a＜1，
∴x+1＞y+a，故本選項(xiàng)符合題意；
C．不妨設(shè)a＝﹣1，
則ax＜ay，故本選項(xiàng)不合題意；
D．不妨設(shè)x＝2，y＝1，a＝﹣3，
則x+a＜y﹣1，故本選項(xiàng)不合題意；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
7．（3分）某商鋪促銷，單價(jià)80元的襯衫按照8折銷售仍可獲利10元，若這款襯衫的成本價(jià)為x元/件，則（ ）
A．80×0.8﹣x＝10B．（80﹣x）0.8﹣x＝10
C．80×0.8＝x﹣10D．（80﹣x）×0.8＝x﹣10
【分析】利用利潤(rùn)＝標(biāo)價(jià)×折扣率﹣成本價(jià)，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．
【解答】解：依題意得：80×0.8﹣x＝10．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
8．（3分）點(diǎn)A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是反比例函數(shù)圖象上的三個(gè)點(diǎn)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y2
【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)各點(diǎn)橫坐標(biāo)的特點(diǎn)進(jìn)行解答即可
【解答】解：∵中，k＝2＞0，
∴反比例函數(shù)圖象在一、三象限，并且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，
∵﹣1＜0，
∴A點(diǎn)在第三象限，
∴y1＜0，
∵2＞1＞0，
∴B、C兩點(diǎn)在第一象限，
∴y2＞y3＞0，
∴y1＜y3＜y2．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知反比例函數(shù)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
9．（3分）在菱形ABCD中，記∠ABC＝∠α（0°＜∠α＜90°），菱形的面積記作S，菱形的周長(zhǎng)記作C，若AD＝2，則（ ）
A．C與∠α的大小有關(guān)
B．當(dāng)∠α＝45°時(shí)，S＝
C．A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)可以在同一個(gè)圓上
D．S隨∠α的增大而增大
【分析】根據(jù)菱形的周長(zhǎng)公式、菱形的面積公式、銳角三角函數(shù)的定義判斷即可．
【解答】解：A、錯(cuò)誤．菱形的周長(zhǎng)＝8，與∠α 的大小無(wú)關(guān)；
B、錯(cuò)誤，∠α＝45°時(shí)，菱形的面積＝2?2?sin45°＝2；
C、錯(cuò)誤，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)不在同一個(gè)圓上；
D、正確．∵0°＜α＜90°，S＝2?2?sinα，
∴菱形的面積S隨α的增大而增大．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)定理、四點(diǎn)共圓的知識(shí)以及菱形的面積公式．
10．（3分）已知平面直角坐標(biāo)系中的動(dòng)點(diǎn)A（x，y），x，y滿足x＝1+2a，y＝1﹣a，其中﹣3≤x＜3，給出下列說法：①動(dòng)點(diǎn)A（x，y）可以運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)；②動(dòng)點(diǎn)A（x，y）可以運(yùn)動(dòng)到第一象限；③動(dòng)點(diǎn)A（x+y，0）在x軸正半軸上；④動(dòng)點(diǎn)A（xy﹣3y，﹣3）在第三象限，其中正確說法的序號(hào)是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
【分析】將x＝1+2a變形為a＝，把a(bǔ)＝代入y中，可得y＝﹣+，x＝0時(shí)，y＝，即①錯(cuò)誤；令y＞0時(shí)，y＝﹣+中，x＜3，根據(jù)x的范圍即可以在一象限，②正確；x+y＝+，由x的范圍可知，當(dāng)x＝﹣3時(shí)，x+y＝0，即不在正半軸上，即③錯(cuò)誤；xy﹣3y＝﹣+3x﹣，由對(duì)稱軸公式x＝﹣，得x＝3時(shí)有最大值，把x＝3代入：﹣+3x﹣中得最大值為9，即x＜3時(shí)，xy﹣3y＜0，故④正確．
【解答】解：A（x，y）滿足x＝1+2a，y＝1﹣a，其中﹣3≤x＜3，
由x＝1+2a，
得：a＝，
將a＝代入y＝1﹣a，
得：y＝1﹣＝1﹣+＝﹣+，
x＝0時(shí)，y＝，
故①錯(cuò)誤；
∵﹣3≤x＜3，
∴當(dāng)﹣+＞0時(shí)，
解得：x＜3，
故當(dāng)0＜x＜3時(shí)可以在第一象限，
故②正確；
x+y＝x+（﹣+）＝+，
∵當(dāng)x＝﹣3時(shí)，x+y＝0，即不在正半軸上，
故③不正確；
xy﹣3y＝x?（﹣+）﹣3（﹣+）＝﹣+x+x﹣＝﹣+3x﹣，
x＝﹣時(shí)即x＝﹣＝3，
開口向下有最大值：﹣+9﹣＝0，
∵x＜3，
∴﹣+3x﹣＜0，
即xy﹣3y＜0，
則A（xy﹣3y，﹣3），
故④正確；
綜上②④正確，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)．解本題關(guān)鍵要掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，和轉(zhuǎn)化未知數(shù)的方法以及坐標(biāo)內(nèi)點(diǎn)的特點(diǎn)．
二、填空題：本題有6個(gè)小題，每小題4分，共24分
11．（4分）9的平方根是 ±3 ．
【分析】直接利用平方根的定義計(jì)算即可．
【解答】解：∵±3的平方是9，
∴9的平方根是±3．
故答案為：±3．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平方根的定義，要注意：一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根有兩個(gè)，互為相反數(shù)，正值為算術(shù)平方根．
12．（4分）不透明袋子中有1個(gè)紅球和2個(gè)綠球，這些球除顏色外無(wú)其他差別．從袋子中隨機(jī)取出1個(gè)球，恰好是紅球的概率為 ．
【分析】讓紅球的個(gè)數(shù)除以球的總數(shù)即為摸到紅球的概率．
【解答】解：共有球1+2＝3個(gè)，紅球有1個(gè)，
因此摸出的球是紅球的概率為：．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率公式：隨機(jī)事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．
13．（4分）分解因式：a3﹣a＝ a（a+1）（a﹣1） ．
【分析】先提取公因式a，再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用平方差公式繼續(xù)分解．
【解答】解：a3﹣a，
＝a（a2﹣1），
＝a（a+1）（a﹣1）．
故答案為：a（a+1）（a﹣1）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式進(jìn)行二次分解，注意要分解徹底．
14．（4分）如圖，PA，PB切⊙O于點(diǎn)A，B，若OA＝2，∠APB＝60°，則PB＝ 2 ．
【分析】由切線長(zhǎng)定理可得：∠APO＝∠BPO＝∠APB＝30°，AO⊥AP，PA＝PB，在Rt△PAO中，由勾股定理可求PA，即為PB的長(zhǎng)度．
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的兩條切線，∠APB＝60°，OA＝OB＝2，
∴∠APO＝∠APB＝30°，AO⊥PA，PA＝PB，
∴PO＝2AO＝4，
在Rt△PAO中，
∴PA＝＝＝2，
∴PB＝2，
故答案是2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，熟練運(yùn)用切線的性質(zhì)的解題的關(guān)鍵．
15．（4分）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在邊長(zhǎng)相同的小正方形組成的網(wǎng)格頂點(diǎn)上，AB，CD相交于點(diǎn)P，則tan∠APD＝ 2 ．
【分析】首先連接BE，由題意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，繼而求得答案．
【解答】解：如圖，連接BE，
∵四邊形BCED是正方形，
∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD，
∴BF＝CF，
根據(jù)題意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，
∴DP：DF＝1：2，
∴DP＝PF＝CF＝BF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2，
∵∠APD＝∠BPF，
∴tan∠APD＝2，
故答案為2．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)的定義．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，注意轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
16．（4分）如圖，點(diǎn)E是平行四邊形ABCD邊AB上一點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F恰好落在∠ABC的角平分線BG上，若AB＝3，AD＝2，∠ABC＝120°，則DG＝ 1 ，BE＝ 12﹣6 ．
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)∠A＝∠C＝60°，由角平分線性質(zhì)得∠GBC＝60°，即△BCG為等邊三角形，即DG＝1，由折疊性質(zhì)得△DEF≌△DEA，過F作FH⊥AB交AB于點(diǎn)H，在直角三角形中30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，得BH＝FH，設(shè)AE＝a，在Rt△EFH和Rt△FHB中，由勾股定理得EH、BH、FH、EB用a來(lái)表示EB＝AB﹣AE＝EH+BE，即可得EB的值．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝DC＝3，AD＝BC＝2，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠A＝60°，
∴∠C＝∠A＝60°，
∵BG是∠ABC的角平分線，
∴∠CBG＝∠GBA＝ABC＝60°，
∴△BCG是等邊三角形，
∴CG＝BC＝2，
∴DG＝DC﹣CG＝3﹣2＝1；
設(shè)AE＝a，
∵△ADE沿直線DE翻折得△FDE，
∴EF＝AE＝a，
∵∠FHB＝90°，∠FBH＝60°，
∴∠FHB＝30°，
∴BH＝FH，
∠EFB＝90°，∠EFH＝90°，EF＝a，F(xiàn)H＝a，BH＝a，EH＝a，EB＝EH+HB＝a，3﹣a＝a，a＝3（2﹣3），
EB＝a＝12﹣6，
故答案為：1；12﹣6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形，折疊的性質(zhì)等基本知識(shí)點(diǎn)．
三、解答題：本題有7小題，共66分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（6分）下面是圓圓同學(xué)計(jì)算一道題的過程：
2÷（﹣+）×（﹣3）
＝[2÷（﹣）+2÷]×（﹣3）
＝2×（﹣3）×（﹣3）+2×4×（﹣3）
＝18﹣24
＝6．
圓圓同學(xué)這樣算正確嗎？如果正確請(qǐng)解釋理由；如果不正確，請(qǐng)你寫出正確的計(jì)算過程．
【分析】根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算順序計(jì)算即可．
【解答】解：2÷（﹣+）×（﹣3）
＝×（﹣3）
＝2×（﹣12）×（﹣3）
＝72．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟記有理數(shù)的乘除法法則是解答本題的關(guān)鍵．
18．（8分）如圖，直線l1：y＝x+1與直線l2：y＝mx+n相交于點(diǎn)P（1，b）．
（1）直接寫出不等式x+1＞mx+n的解集；
（2）直接寫出方程組的解；
（3）直線l3：y＝nx+m是否也經(jīng)過點(diǎn)P？請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)P（1，b）即可得到結(jié)論；
（2）直接把（1，b）代入y＝x+1可得b的值方程組的解就是兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)；
（3）根據(jù)l2：y＝mx+n過點(diǎn)P（1，2）可得2＝m+n，如果y＝nx+m經(jīng)過點(diǎn)P則點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，代入可得m+n＝2，進(jìn)而可得答案．
【解答】解：（1）∵直線l1：y＝x+1與直線l2：y＝mx+n相交于點(diǎn)P（1，b），
∴x+1＞mx+n的解集為x＞1；
（2）把（1，b）代入y＝x+1可得：b＝1+1＝2，
∵直線l1：y＝x+1與直線l2：y＝mx+n相交于點(diǎn)P（1，2），
∴方程組的解為；
（3）直線l3：y＝nx+m經(jīng)過點(diǎn)P，
理由：∵l2：y＝mx+n過點(diǎn)P（1，2），
∴2＝m+n，
將P（1，2）代入l3：y＝nx+m，可得，m+n＝2，
因此直線l3：y＝nx+m經(jīng)過點(diǎn)P．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二元一次方程組和一次函數(shù)的關(guān)系，以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，關(guān)鍵是掌握方程組的解就是兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)．
19．（8分）文具店購(gòu)進(jìn)了20盒“2B”鉛筆，但在銷售過程中，發(fā)現(xiàn)其中混入了若干“HB”鉛筆．店員進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，發(fā)現(xiàn)每盒鉛筆中最多混入了2支“HB”鉛筆，具體數(shù)據(jù)見下表：
（1）用等式寫出m，n所滿足的數(shù)量關(guān)系 m+n＝14 ；
（2）從20盒鉛筆中任意選取1盒：
①“盒中沒有混入‘HB’鉛筆”是 隨機(jī) 事件（填“必然”、“不可能”或“隨機(jī)”）；
②若“盒中混入1支‘HB’鉛筆”的概率為，求m和n的值．
【分析】（1）根據(jù)表格確定m，n滿足的數(shù)量關(guān)系即可；
（2）①根據(jù)事件的性質(zhì)進(jìn)行解答即可；
②利用概率公式列式計(jì)算即可．
【解答】解：（1）觀察表格發(fā)現(xiàn)：6+m+n＝20，
∴用等式寫出m，n所滿足的數(shù)量關(guān)系為m+n＝14，
故答案為：m+n＝14；
（2）①“盒中沒有混入‘HB’鉛筆”是隨機(jī)事件，
故答案為：隨機(jī)；
②∵“盒中混入1支‘HB’鉛筆”的概率為，
∴＝，
∴m＝5，n＝9．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查概率的求法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）＝．
20．（10分）某司機(jī)駕駛汽車從甲地去乙地，他以70km/h的平均速度用3h到達(dá)目的地．
（1）當(dāng)他按原路勻速返回時(shí)，汽車的速度v與時(shí)間t有怎樣的函數(shù)關(guān)系？
（2）如果該司機(jī)返回到甲地的時(shí)間不超過2.5h，那么返程的平均速度不能小于多少？
【分析】（1）直接求出總路程，再利用路程除以時(shí)間＝速度，進(jìn)而得出關(guān)系式；
（2）由題意可得v＝≤2.5，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：（1）由題意得，兩地路程為70×3＝210（km），
故汽車的速度v與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為：v＝．
（2）由v＝，得t＝，
又由題知：t≤2.5，
∴≤2.5．
∵v＞0
∴210≤2.5v．
∴v≥84．
答：返程時(shí)的平均速度不能低于84km/h．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，正確得出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．
21．（10分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠BDC．
（1）求證：△ABD∽△DCB；
（2）若AB＝12，AD＝8，CD＝15，求DB的長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠ADB與∠DBC的關(guān)系，根據(jù)兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，可得答案；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得答案．
【解答】（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC．
∵∠A＝∠BDC，
∴△ABD∽△DCB；
（2）∵△ABD∽△DCB，AB＝12，AD＝8，CD＝15，
∴＝，即＝，
解得DB＝10，
DB的長(zhǎng)10．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用了兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解題關(guān)鍵．
22．（12分）二次函數(shù)y＝2x2+bx+c的頂點(diǎn)M是直線y1＝﹣x和直線y2＝x+m的交點(diǎn)．
（1）當(dāng)x≥2時(shí)，y＝2x2+bx+c的值均隨x的增大而增大，求m的取值范圍．
（2）若直線y1與y2交于點(diǎn)（2，n）．
①當(dāng)t≤x≤t+1時(shí)，二次函數(shù)的最小值為﹣3，求t的取值范圍．
②P（x0，p）和Q（3，q）為二次函數(shù)上的兩個(gè)點(diǎn)，當(dāng)p＜q時(shí)，求x0的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)兩直線相交可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)閽佄锞€開口方向向上，根據(jù)圖象的變化與對(duì)稱軸的關(guān)心可求出m值得范圍；
（2）①根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)可以求出函數(shù)解析式，根據(jù)圖象可判斷t的取值；
②根據(jù)函數(shù)解析式求出q值，再根據(jù)函數(shù)值小于q求出x0的取值范圍．
【解答】解：（1）∵M(jìn)是直線y1＝﹣x和直線y2＝x+m的交點(diǎn)，
聯(lián)立兩解析式解得，
即M（﹣m，m），
∴二次函數(shù)y＝2x2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x＝﹣m，且開口方向向上
又∵當(dāng)x≥2時(shí)，y＝2x2+bx+c的值均隨x的增大而增大，
∴﹣m≤2，
解得m≥﹣5，
∴m的取值范圍為m≥﹣5；
（2）∵直線y1與y2交于點(diǎn)M（2，n），
∴﹣m＝2，
解得m＝﹣5，
∴M（2，﹣3），
∴函數(shù)解析式為：y＝2（x﹣2）2﹣3，對(duì)稱軸為直線x＝2，
①∵當(dāng)t≤x≤t+1時(shí)，二次函數(shù)的最小值為﹣3，
∴t≤2且t+1≥2，
∴1≤t≤2，
即t的取值為1≤t≤2；
②∵Q（3，q）為二次函數(shù)上的點(diǎn)，
∴q＝2（3﹣2）2﹣3＝﹣1，
當(dāng)p＜q時(shí)，
即P＜﹣1時(shí)，
即2（x0﹣2）2﹣3＜﹣1，
解得1＜x0＜3，
即x0的取值范圍為1＜x0＜3．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的綜合知識(shí)，熟練掌握并應(yīng)用二次函數(shù)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
23．（12分）如圖，已知等邊△ABC，在AC，BC邊分別取點(diǎn)P，Q，使AP＝CQ，連接AQ，BP相交于點(diǎn)O．
（1）求證：△ABP≌△CAQ．
（2）若AP＝AC．
①求的值．
②設(shè)△ABC的面積為S1，四邊形CPOQ的面積為S2，求的值．
【分析】（1）由等邊△ABC，可得∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，已知AP＝CQ，利用SAS判定可得結(jié)論；
（2）①過點(diǎn)P作PD∥BC，交AO于點(diǎn)D，利用平行線分線段成比例定理可得結(jié)論；
②設(shè)△ABC的面積為a，連接PQ，四邊形CPOQ的面積等于△OPQ的面積與△CPQ的面積之和，利用等高的三角形的面積比等于它們底的比，分別用a表示△OPQ的面積與△CPQ的面積，通過計(jì)算，結(jié)論可得．
【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．
在△ABP和△CAQ中，
．
∴△ABP≌△CAQ（SAS）．
解（2）①過點(diǎn)P作PD∥BC，交AO于點(diǎn)D，如圖，
∵PD∥BC，
∴．
∴PD＝CQ．
∵AB＝AC＝BC，AP＝CQ＝AC，
∴CQ＝BC．
∴BQ＝2CQ．
∴PD＝BQ．
∵PD∥BC，
∴．
②如圖，連接PQ，設(shè)S1＝a，
∵AP＝AC，
∴CP＝AC．
∴．
∵CQ＝BC，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，利用高相同的三角形的面積的比等于底的比的性質(zhì)表示出兩個(gè)三角形的面積比是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布
日期：2021/6/15 12:26:21；用戶：朱文磊；郵箱：fywgy23@xyh.cm；學(xué)號(hào)：21522783混入“HB”鉛筆數(shù)
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