一、選擇題（共8小題；共40分）
1. 下列四個騰訊軟件圖標中，屬于軸對稱圖形的是
A. B.
C. D.

2. 在實數(shù) ?25，0，?3，2019，π，?3?27，0.121121112?（每相鄰兩個 1 之間依次增加一個 2）中，無理數(shù)的個數(shù)是
A. 2 個B. 3 個C. 4 個D. 5 個

3. 如圖，點 E，F(xiàn) 在 AC 上，AD=BC，DF=BE，要使 △ADF≌△CBE，還需要添加的一個條件是
A. ∠A=∠CB. ∠D=∠BC. AD∥BCD. DF∥BE

4. 到 △ABC 的三條邊距離相等的點是 △ABC 的
A. 三條中線的交點B. 三條邊的垂直平分線的交點
C. 三條高的交點D. 三條角平分線的交點

5. 由下列條件不能判定 △ABC 為直角三角形的是
A. ∠A+∠B=∠CB. ∠A:∠B:∠C=1:3:2
C. a=13，b=14，c=15D. b+cb?c=a2

6. 如圖，在長方形紙片 ABCD 中，AD=4 cm，把紙片沿直線 AC 折疊，點 B 落在 E 處，AE 交 DC 于點 O，若 OC=5 cm，則 CD 的長為
A. 6 cmB. 7 cmC. 8 cmD. 10 cm

7. 如圖，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，BD 是 ∠ABC 的平分線，若 P，Q 分別是 BD 和 AB 上的動點，則 PA+PQ 的最小值是
A. 2.4B. 4.8C. 4D. 5

8. 如圖，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，AB=8，點 D 為 AB 的中點，若直角 EDF 繞點 D 旋轉，分別交 AC 于點 E，交 BC 于點 F，則下列說法正確的個數(shù)有
① AE=CF；
② EC+CF=2AD；
③ DE=DF；
④若 △ECF 的面積為一個定值，則 EF 的長也是一個定值．
A. 1 個B. 2 個C. 3 個D. 4 個

二、填空題（共10小題；共50分）
9. ?27 的立方根是 ；16 的算術平方根是 ．

10. 如圖，以直角三角形各邊向外作正方形，其中兩個正方形的面積分別為 225 和 144，則正方形 A 的面積為 ．

11. 某公路急轉彎處設立了一面大鏡子，從鏡子中看到汽車的車輛的號碼如圖所示，則該汽車的號碼是 ．

12. 比較大小：39 2（填“>”，“0；
④兩個無理數(shù)的和一定為無理數(shù)；
⑤ 6.9×103 精確到十分位；
⑥如果一個數(shù)的算術平方根等于它本身，那么這個數(shù)是 0．
其中正確的說法有 （填序號）．

17. 如圖，AE⊥AB，且 AE=AB，BC⊥CD，且 BC=CD，請按照圖中所標注的數(shù)據(jù)計算圖中實線所圍成的圖形的面積 S= ．

18. 如圖，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，點 D，E 分別在邊 AC，AB 上，點 D 與點 A，點 C 都不重合，點 F 在邊 CB 的延長線上，且 AE=ED=BF，連接 DF 交 AB 于點 G．若 BC=4，則線段 EG 的長為 ．

三、解答題（共8小題；共104分）
19. 求下列各式中的 x．
（1）4x2?9=0；
（2）2x+13=?64．

20. 計算：
（1）?32?3?64+1?3+7?10；
（2）已知實數(shù) a，b 互為相反數(shù)，c，d 互為倒數(shù)，e 是 13 的整數(shù)部分，f 是 5 的小數(shù)部分，求代數(shù)式 a+b?3cd+e?f 的值．

21. 如圖，點 E，C，D，A 在同一條直線上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．試說明：△ABC≌△DEF．

22. 如圖，方格紙中每個小方格都是邊長為 1 個單位的正方形，已知 △ABC 的三個頂點在格點上．
（1）以 C 為頂點，畫一個 △CDE，使 △CDE 三邊長分別為 2，5，13；
（2）畫出 △A1B1C1，使它與 △ABC 關于直線 a 對稱；
（3）寫出 △A1B1C1 的面積，即 S△A1B1C1= ；
（4）在直線 a 上畫出點 P，使 PA+PC 最小，最小值為 ．

23. 中日釣魚島爭端持續(xù)，我國海監(jiān)船加大釣魚島海域的巡航維權力度．如圖，OA⊥OB，OA=45 海里，OB=15 海里，釣魚島位于 O 點，我國海監(jiān)船在點 B 處發(fā)現(xiàn)有一不明國籍的漁船自 A 點出發(fā)沿著 AO 方向勻速駛向釣魚島所在地點 O，我國海監(jiān)船立即從 B 處出發(fā)以相同的速度沿某直線去攔截這艘漁船，結果在點 C 處截住了漁船．
（1）請用直尺和圓規(guī)作出 C 處的位置．（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）求我國海監(jiān)船行駛的航程 BC 的長．

24. 如圖，在 △ACB 和 △DCE 中，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，連接 AE，BD 交于點 O，AE 與 DC 交于點 M，BD 與 AC 交于點 N．
（1）試判斷 AE，BD 之間的關系，并說明理由；
（2）連接 CO，從下面兩個結論中選擇你認為正確的一個，并說明理由．
①射線 OC 平分 ∠BOE；
②射線 CO 平分 ∠ACD．

25. 閱讀理解題．
（1）閱讀理解：如圖①，等邊 △ABC 內有一點 P，若點 P 到頂點 A，B，C 的距離分別為 3，4，5，求 ∠APB 的大小．
思路點撥：考慮到 PA，PB，PC 不在一個三角形中，采用轉化與化歸的數(shù)學思想，可以將 △ABP 繞頂點 A 逆時針旋轉 60° 到 △ACP? 處，此時 △ACP?≌△ABP，這樣，就可以利用全等三角形知識，結合已知條件，將三條線段的長度轉化到一個三角形中，從而求出 ∠APB 的度數(shù)．請你寫出完整的解題過程．
（2）變式拓展：請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：
已知如圖②，△ABC 中，∠CAB=90°，AB=AC，E，F(xiàn) 為 BC 上的點且 ∠EAF=45°，BE=5，CF=4，求 EF 的大?。?br>（3）能力提升：如圖③，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=1，∠ABC=30°，點 O 為 Rt△ABC 內一點，連接 AO，BO，CO，且 ∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，請直接寫出 OA+OB+OC 的值，即 OA+OB+OC= ．

26. 綜合探究題．
在之前的學習中，我們已經初步了解到，長方形的對邊平行且相等，每個角都是 90°．如圖，長方形 ABCD 中，AD=9 cm，AB=4 cm，E 為邊 AD 上一動點，從點 D 出發(fā)，以 1 cm/s 向終點 A 運動，同時動點 P 從點 B 出發(fā)，以 a cm/s 向終點 C 運動，運動的時間為 t s．
（1）當 t=3 時，
①則線段 CE 的長 = ；
②當 EP 平分 ∠AEC 時，求 a 的值；
（2）若 a=1，且 △CEP 是以 CE 為腰的等腰三角形，求 t 的值；
（3）連接 DP，直接寫出點 C 與點 E 關于 DP 對稱時 a 與 t 的值．
答案
第一部分
1. A【解析】A選項：是軸對稱圖形，故本選項正確；
B選項：不是軸對稱圖形，注意細微之處，故本選項錯誤；
C選項：不是軸對稱圖形，注意五角星的“Z”字圖案，故本選項錯誤；
D選項：不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；
故選A．
2. B【解析】由題意知：?25，0，2019，?3?27 為有理數(shù)；
?3，π，0.121121112?（每相鄰兩個 1 之間依次增加一個 2）為無理數(shù)，
∴ 有三個．
3. B【解析】當 ∠D=∠B 時，在 △ADF 和 △CBE 中，
∵AD=BC,∠D=∠B,DF=BE,
∴△ADF≌△CBESAS．
4. D【解析】到 △ABC 的三條邊距離相等的點是 △ABC 的三條角平分線的交點．
5. C
【解析】A．∵∠A+∠B=∠C，
∴∠C=90°，故是直角三角形，正確；
B．∵∠A:∠B:∠C=1:3:2，
∴∠B=36×180°=90°，故是直角三角形，正確；
C．∵132+142≠152，故不能判定直角三角形；
D．∵b+cb?c=a2，
∴b2?c2=a2，即 a2+c2=b2，故是直角三角形，正確．
6. C【解析】根據(jù)折疊前后角相等可知 ∠BAC=∠EAC，
∵ 四邊形 ABCD 是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∴∠EAC=∠ACD，
∴AO=CO=5 cm，
在直角三角形 ADO 中，DO=AO2?AD2=3 cm，
CD=AB=DO+CO=3+5=8 cm．
7. B【解析】如圖所示，過點 A 作 AM⊥BC 于點 M，交 BD 于點 P，過點 P 作 PQ⊥AB 于點 Q．
∵BD 是 ∠ABC 的平分線，得出 PQ=PM，
∴PA+PQ 有最小值，即 AM 的長度．
∵AB=6，BC=10，
∴ 由勾股定理得出 AC=BC2?AB2=8，
∵S△ABC=12×AM×BC=12×AB×AC，
∴AM=AB×ACBC=4810=4.8．
8. D【解析】如圖所示：
①：連接 CD，
∵ 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，點 D 為 AB 的中點，
∴CD⊥AB，CD=AD=DB，
在 △ADE 與 △CDF 中，
∠A=∠DCF=45°,AD=CD,∠ADE=∠CDF,
∴△ADE≌△CDF，
∴AE=CF，①說法正確；
②：∵ 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，AB=8，
∴AC=BC=42．
由①知 AE=CF，
∴EC+CF=BC=22AB．
∵ 點 D 為 AB 的中點，
∴AB=2AD，即 EC+CF=2AD，故②對．
③：由①知 △ADE≌△CDF，
∴DE=DF，故③對；
④：∵△ECF 的面積 =12×CF×EF，如果這是一個定值，則 CE×CF 是一個定值，
又 ∵EC+CF=42，
∴ 可唯一確定 EC 與 EF 的值，
再由勾股定理知 EF 的長也是一個定值，故④對．
第二部分
9. ?3，2
【解析】（1）根據(jù)立方根和算術平方根的定義，可以知道：
∵?33=?27，
∴?27 的立方根是 ?3；
（2）∵16=4，而 ±22=4，
∴16 的算術平方根是 2．
10. 81
【解析】以直角三角形的兩直角邊為邊長所構成的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積．
∴ 正方形 A 的面積 =225?144=81．
11. B6395
【解析】根據(jù)鏡面對稱的性質，題中所顯示的圖片中的數(shù)字與“B6395”成軸對稱，則該汽車的號碼是 B6395．
12. >
【解析】2=38，
又 ∵382．
13. 5?1
【解析】由勾股定理知：PB=PC2+BC2=22+12=5，
則 PD=PB=5，
∴D 表示的數(shù)為 5?1．
14. 60° 或 120°
【解析】如圖（1），
∵AB=AC，BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=30°，
∴∠A=60°；
如圖（2），
∵AB=AC，BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∵∠ABD=30°，
∴∠BAD=60°，
∴∠BAC=120°；
綜上所述，它的頂角度數(shù)為：60° 或 120°．
15. 24
【解析】∵ 直角三角形斜邊上中線長 6 cm，
∴ 斜邊 =2×5=12 cm，
∴ 面積 =12×12×4=24 cm2．
16. ②
【解析】①如果兩個三角形關于某直線對稱，那么這兩個三角形一定全等，
∴ 錯誤；
②數(shù)軸上的點和實數(shù)一一對應，本項說法正確；
③若 a=0，則 a2=a 也成立，
∴ 錯誤；
④兩個無理數(shù)的和不一定為無理數(shù)，比如：?3+3=0，
∴ 錯誤；
⑤ 6.9×103=6900，
∴ 精確到十分位不正確；
⑥算術平方根等于本身的是 0，1，
∴ 錯誤．
17. 50
【解析】∵AE⊥AB，EF⊥AF，BG⊥AG，
∴∠F=∠AGB=∠EAB=90°，
∴∠FEA+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAG=90°，
∴∠FEA=∠BAG，
在 △FEA 和 △GAB 中，
∠F=∠AGB,∠FEA=∠BAG,AE=AB,
∴△FEA≌△GABAAS，
∴AG=EF=6，AF=BG=2，
同理可證：△CBG≌△DCHAAS，
∴CG=DH=4，BG=CH=2，
∴FH=2+6+4+2=14，
∴ 梯形 EFHD 的面積 =12×EF+DH×FH=12×6+4×14=70，
∴陰影部分的面積=S梯形EFHD?S△EFA?S△ABC?S△DHC=70?12×6×2?12×6+4×2?12×4×2=50.
18. 4
【解析】如圖，作 DH∥CB 交 AB 于 H．
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵DH∥BC，
∴∠AHD=∠ABC=60°，∠DHG=∠FBG，
∵EA=ED，
∴∠A=∠EDA=30°，
∴∠HED=∠A+∠EDA=60°，
∴△EDH 是等邊三角形，
∴ED=EH=EA=DH=BF，
在 △DHG 和 △FBG 中，
∠DHG=∠FBG,∠HGD=∠BGF,DH=FB,
∴△DHG≌△FBG，
∴BG=HG，
∵HE=EA，
∴EG=12AB=BC=4．
第三部分
19. （1）
∵4x2?9=0,∴4x2=9.∴x2=94.
即
x=±32.
（2）
∵?43=?64,∴2x+1=?4.
解得
x=?52.
20. （1） 原式=3??4+3?1+1=7+3.
（2） 由題意知：a，b 互為相反數(shù)，可得 a+b=0；
c，d 互為倒數(shù)，可得 cd=1；
e 是 13 的整數(shù)部分，可得 e=3；
f 是 5 的小數(shù)部分，可得 f=5?2．
則代數(shù)式 a+b?3cd+e?f=0?1+3?5?2=4?5．
21. ∵AB∥DF，
∴∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，
∵∠E=∠CPD．
∴∠E=∠B，
在 △ABC 和 △DEF 中，
∠E=∠B,ED=AB,∠A=∠FDE,
∴△ABC≌△DEFASA．
22. （1） 如圖所示：以 2 為邊長，和長為 2 寬為 1 的矩形對角線為 5，以長為 3 寬為 2 的矩形對角線為 13 畫出如圖所示 △CDE．
（2） 如圖所示：△A1B1C1 即為所求．
（3） 32
【解析】根據(jù)如圖所示可得：S△A1B1C1=2×2?12×1×2×2?12×1×1=32．
（4） 如圖，連接 C1A（或 A1C）與直線 a 交于點 P 即可，點 P 即為所求；
17
【解析】∴PA+PC=42+1=17，即最小值為 17．
23. （1） 作 AB 的垂直平分線與 OA 交于點 C．
（2） 連接 BC，設 BC 為 x 海里，則 CA 也為 x 海里，OC 為 45?x 海里．
∵∠O=90°，
∴ 在 Rt△OBC 中，BO2+OC2=BC2，
即：152+45?x2=x2，
解得：x=25，
答：我國漁政船行駛的航程 BC 的長為 25 海里．
24. （1） ∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即 ∠BCD=∠ACE．
在 △ACE 和 △BCD 中，
AC=BC,∠ACE=∠BCD,CE=CD,
∴△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，∠EAC=∠DBC．
又 ∵△OAN，△NBC 的內角和均為 180°，∠ANO=∠BNC，
∴∠AON=∠BCN=90°，
∴AE⊥BD．
（2） 如圖所示，過點 C 分別作 CP⊥DB，CQ⊥AE．
根據(jù)（1）中 △ACE≌△BCD，則 S△ACE=S△BCD．
∵BD=AE，
∴CP=CQ，
∴ 射線 OC 平分 ∠BOE，即①正確．
25. （1） ∵△ACP?≌△ABP，
∴AP?=AP=3，CP?=BP=4，∠AP?C=∠APB．
由題意知旋轉角 ∠PAP?=60°，
∴△APP? 為等邊三角形，
∴PP?=AP=3，∠AP?P=60°，
易證 △PP?C 為直角三角形，且 ∠PP?C=90°，
∴∠APB=∠AP?C=∠AP?P+∠PP?C=60°+90°=150°．
（2） 如圖 2，把 △ABE 繞點 A 逆時針旋轉 90° 得到 △ACE?．
由旋轉的性質得，AE?=AE，CE?=CE，∠CAE?=∠BAE，∠ACE?=∠B，∠EAE?=90°．
∵∠EAF=45°，
∴∠EAF=∠CAE?+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC?∠EAF=90°?45°=45°,
∴∠EAF=∠E?AF，
在 △EAF 和 △E?AF 中，
AE=AE?,∠EAF=∠E?AF,AF=AF,
∴△EAF≌△E?AF，
∴E?F=EF，
∵∠CAB=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠E?CF=45°+45°=90°，
由勾股定理得 E?F2=CE?2+FC2，
即 EF2=BE2+FC2=25+16=41，
∴EF=41．
（3） 7
【解析】如圖 3，將 △AOB 繞點 B 順時針旋轉 60° 至 △A?O?B 處，連接 OO?．
∵ 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，
∴AB=2，
∴BC=AB2?AC2=3，
∵△AOB 繞點 B 順時針方向旋轉 60°，
∴△A?O?B 如圖所示；
∠A?BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，
∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2，
∵△AOB 繞點 B 順時針方向旋轉 60°，得到 △A?O?B，
∴A?B=AB=2，BO=BO?，A?O=AO，
∴△BOO? 是等邊三角形，
∴BO=OO?，∠BOO?=∠BO?O=60°，
∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，
∴∠COB+∠BOO?=∠BO?A?+∠BO?O=120°+60°=180°，
∴C，O，A?，O? 四點共線，
在 Rt△A?BC 中，A?C=BC2+A?B2=3+4=7，
∴OA+OB+OC=A?O?+OO?+OC=A?C=7．
26. （1） ① 5 cm
②當 EP 平分 ∠AEC 時，根據(jù)角平分線的性質可得：
點 P 到 EC 的距離等于點 P 到 AD 距離，
即 S△PCE=12×4×EC=12×PC×CD，
∵EC=5，
∴PC=5，則 PB=BC?PC=9?5=4，
∵PB=at=3a，
∴3a=4，a=43，故 a=43．
【解析】① ∵ 四邊形 ABCD 是長方形，
∴AD∥BC，BC=AD=9，CD=AB=4．
當 t=3 時，由運動知，BP=at=3a，DE=t=3，
∴CP=BC?BP=9?3a，
在 Rt△CDE 中，根據(jù)勾股定理得 CE=32+42=5．
（2） 當 a=1 時，由運動知，DE=t，BP=t．
∴CP=9?t．
在 Rt△CDE 中，CE=16+t2．
∵△CEP 是以 CE 為腰的等腰三角形，
∴ ① CE=CP，
∴16+t2=9?t2，
∴t=6518；
② CE=PE，
∴12CP=DE，
∴9?t=2t，
∴t=3．
即：t 的值為 3 或 6518．
（3） t=4；a=54．
【解析】如圖，
由運動知，BP=at，DE=t．
∴CP=BC?BP=9?at．
∵ 點 C 與點 E 關于 DP 對稱，
∴DE=CD，PE=PC．
∴t=4．
∴BP=4a，CP=9?4a．
過點 P 作 PF⊥AD 于 F．
∴ 四邊形 CDFP 是長方形．
∴PF=CD=4，DF=CP．
在 Rt△PEF 中，PF=4，EF=DF?DE=5?4a．
根據(jù)勾股定理得 PE2=5?4a2+16．
∴5?4a2+16=9?4a2．
∴a=54．

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