1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0.
(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號．
(3)其中eq \f(a＋b,2)稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq \r(ab)稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．
2．利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，則：
(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2eq \r(p)．(簡記：積定和最小)
(2)如果和x＋y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是eq \f(s2,4)．(簡記：和定積最大)
每日一練
一、單選題
1．由于近年來，冬季氣候干燥，冷空氣頻繁襲來為提高公民的取暖水平，某社區(qū)決定建立一個(gè)取暖供熱站.已知供熱站每月自然消費(fèi)與供熱站到社區(qū)的距離成反比，每月供熱費(fèi)與供熱站到社區(qū)的距離成正比，如果在距離社區(qū)20千米處建立供熱站，這兩項(xiàng)費(fèi)用分別為5千元和8萬元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，供熱站應(yīng)建在離社區(qū)（ ）
A．5千米B．6千米C．7千米D．8千米
2．不等式+(x-2)≥6(其中x>2)中等號成立的條件是（ ）
A．x=3 B．x=6 C．x=5 D．x=10
3．若，則下列不等式正確的是（ ）
A．B．C．D．
4．某公司購買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，若每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤s(萬元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間t(年數(shù)，)的關(guān)系為，要使年平均利潤最大，則每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)的年數(shù)t為（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．已知，，，則的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．若，，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
7．已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為（ ）
A．8B．10C．9D．6
8．已知m，n∈R，m2+n2=100，則mn的最大值是（ ）
A．25B．50C．20D．
二、多選題
9．下列選項(xiàng)中正確的是（ ）
A．不等式恒成立
B．存在實(shí)數(shù)a，使得不等式成立
C．若a?b為正實(shí)數(shù)，則
D．若正實(shí)數(shù)x，y滿足，則
10．若正實(shí)數(shù)滿足，則下列說法正確的是 （ ）
A．的最大值為B．的最大值為
C．的最小值為D．的最小值為
11．下列不等式一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
12．若非負(fù)實(shí)數(shù)、滿足，則下列不等式中成立的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
13．若正數(shù)x，y滿足，則的最小值是__________．
14．已知，則的最小值為_____________．
15．已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2+xy=1，則y2﹣2xy的最小值為___________.
16．若，則的最小值是___________.
四、解答題
17．若，，求的值．
18．地鐵給市民出行帶來很多便利．已知某條線路通車后，地鐵的發(fā)車時(shí)間間隔t（單位：分鐘）滿足，．經(jīng)測算，地鐵載客量與發(fā)車時(shí)間間隔t相關(guān)，當(dāng)時(shí)地鐵為滿載狀態(tài)，載客量為1200人，當(dāng)時(shí)，載客量會(huì)減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時(shí)間間隔為2分鐘時(shí)的載客量為560人，記地鐵載客量為．
（1）求的表達(dá)式，并求當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為6分鐘時(shí)，地鐵的載客量
（2）若該線路每分鐘的凈收益為（元），問當(dāng)發(fā)車時(shí)間隔為多少時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大？
19．已知a，b為正實(shí)數(shù)，且滿足．證明：
（1）；
（2）
20．已知，，，證明：
（1）；
（2）.
21．已知，且.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值.
22．（1）已知，則取得最大值時(shí)的值為？
（2）已知，則的最大值為？
（3）函數(shù) 的最小值為？
參考答案
1．A設(shè)供熱站應(yīng)建在離社區(qū)x千米處，則自然消費(fèi)，供熱費(fèi)，由題意得：當(dāng)時(shí)，，，所以，所以，
所以兩項(xiàng)費(fèi)用之和，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，供熱站應(yīng)建在離社區(qū)5千米處.
2．C當(dāng)時(shí)，，等號成立的條件是 ，
，解得：
3．D對于A中，由，因?yàn)椋傻茫?br>所以，即，所以A不正確；對于B中，由，因?yàn)椋傻?，所以，所以B不正確；對于C中，由，可得，又由，可得，所以C不正確；對于D中，因?yàn)?，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號成立，
又因?yàn)?，所以，所以D正確.
4．D因?yàn)槊颗_(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤s(萬元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間t(年數(shù)，)的關(guān)系為，所以年平均利潤 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
即年平均利潤最大，則每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)的年數(shù)t為8，
5．B因?yàn)?，，，所?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立,
故選:B
6．A由題意可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時(shí)，等號成立，所以的最小值為，
7．A解：因?yàn)檎龜?shù)a，b滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號，
8．B由m2+n2≥2mn，得 mn≤=50，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=±時(shí)等號成立.
所以mn的最大值是.
9．BCD不等式恒成立的條件是，，比如取,可知不等式不成立，故A不正確；當(dāng)a為負(fù)數(shù)時(shí)，不等式成立.故B正確；
若a?b為正實(shí)數(shù)，則，由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故C正確；
若正實(shí)數(shù)x，y，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，故D正確.
10．ABDA．因?yàn)?，取等號時(shí)，故正確；
B．因?yàn)椋?，取等號時(shí)，故正確；
C．因?yàn)?，取等號時(shí)，故錯(cuò)誤；
D．因?yàn)?，?dāng)時(shí)取最小值為，故正確；
11．CD對于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對于B，，故B錯(cuò)誤；
對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故C正確；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故D正確，
12．ABD對于A選項(xiàng)，利用基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，，由可得，
所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，D選項(xiàng)正確.
13．5由條件，兩邊同時(shí)除以，得到，那么等號成立的條件是，即，即.所以的最小值是5，
故答案為： 5 ．
14．，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，即.
15．由x2+xy=1，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號.
16．因?yàn)?，所以，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號成立.故的最小值為，
17．
解：設(shè)，則，，，
①當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等；
②當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等．
綜上，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即．
18．（1），
（2）當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大，最大為120元．
（1）由題意知，，為常數(shù)），
（2），，，
（6）；
（2）由，可得
，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)等號成立，
當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大，最大為120元．
答：當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大，最大為120元．
19．（1）證明見解析；（2）證明見解析．
（1）因?yàn)?，所以（?dāng)且僅當(dāng)取等號）；
（2）（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立），所以．
20．（1）證明見解析；（2）證明見解析.
（1），，
（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號）；
（2）.
由（1）可知：，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）.
21．（1）最大值為；（2）最小值為5.
（1）因?yàn)樗?，即?dāng)且僅當(dāng)取等號.又，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為
（2）因?yàn)榍?
當(dāng)且僅當(dāng)即取等號.又，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為5.
22．（1）；（2）1；（3）
（1），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號.故所求的值為.
（2）因?yàn)椋裕?br>則.
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號.
故的最大值為1.
（3）
.
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號.
故函數(shù)的最小值為.

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