半角公式 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解由二倍角的變形公式推導(dǎo)半角的正弦、余弦和正切公式的過程．2．掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正確運用這些公式進行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式的證明．【學(xué)習(xí)重難點】掌握半角的正弦、余弦和正切公式.【學(xué)習(xí)過程】一、初試身手1．若cos α＝，α∈(0，π)，則cos 的值為(    )A．   B．－C． D．－2．下列各式與tan α相等的是(    )A．     B．C．   D．3．設(shè)α∈(π，2π)，則等于________．二、合作探究1．化簡問題【例1】  已知π<α<，求＋的值． [思路探究]  解答本題可先用二倍角公式“升冪”，再根據(jù)的范圍開方化筒．[解]  原式＝＋∵π<α<，∴<<，∴cos <0，sin >0.∴原式＝＋＝－＋＝－cos .2．求值問題【例2】  已知|cos θ|＝，且<θ<3π，求sin ，cos ，tan 的值．    [思路探究]  ―→―→―→求[解]  由<θ<3π，且|cos θ|＝可知，cos θ＝－，∈.由sin2＝＝＝得，sin ＝－＝－.由cos2＝＝＝得，cos ＝－.∴tan ＝＝＝2．3．三角恒等式的證明【例3】  （1）求證：1＋2cos2θ－cos 2θ＝2；（2）求證：＝.   [思路探究]  （1）可由左向右證：先把左邊cos2 θ降冪化為同角后整理可證．（2）可先從左邊表達(dá)式分母中升冪縮角入手，再通過改變函數(shù)結(jié)構(gòu)向右邊轉(zhuǎn)化．[解]  （1）左邊＝1＋2×－cos 2θ＝2＝右邊．所以原等式成立．（2）左邊＝＝＝＝＝＝＝右邊．所以原等式成立．【學(xué)習(xí)小結(jié)】半角公式sin＝±，cos＝±，tan＝±＝＝.【精煉反饋】1．已知cos α＝，α∈，則sin 等于(    )A．     B．－C．   D．A  [由題知∈，∴sin >0，sin ＝＝.]2．已知sin α－cos α＝－，則sin 2α的值等于(    )A． B．－C．－   D．C  [由sin α－cos α＝－，(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－sin 2α＝，所以sin 2α＝－.]3．函數(shù)y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期為________．π  [∵y＝sin 2x＋cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋，∴函數(shù)的最小正周期T＝＝π.]4．求證：＝.[證明]  原式可變形為1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)， ①①式右邊＝(1＋2cos22θ－1＋2sin 2θcos 2θ)＝(2cos22θ＋2sin 2θcos 2θ)＝2sin 2θ(cos2θ＋sin2θ)＝2sin 2θcos2θ＋2sin22θ＝sin4θ＋1－cos4θ＝左邊．∴①式成立，即原式得證．＝.

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第二冊電子課本

3.2 半角公式

版本： 北師大版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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