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浙江省寧波市海曙區(qū)效實高級中學校2020-2021學年高一下學期數學期中考試試卷
一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題3分，共24分.
1.在 ΔABC 中， A,B,C 的對邊分別為 a,b,c ，已知 a=1,B=60°,c=2 ，則 b= （ ??）
A.?1????????????????????????????????????????B.?7????????????????????????????????????????C.?5????????????????????????????????????????D.?3
2.已知 i 是虛數單位，設復數 z=i2021+1 ，則 z 的虛部為（ ??）
A.?1??????????????????????????????????????????B.?-1??????????????????????????????????????????C.?i??????????????????????????????????????????D.?-i
3.已知 m,n 是兩條不同的直線， α,β 是兩個不同的平面，則（ ??）
A.?若m∥α，n//α，則m//n????????????????????????????????????B.?若m∥α，m⊥n，則n⊥α
C.?若α∥β，m⊥α，n//β，則m⊥n?????????????????????????D.?若m∥n，n?α，則m//α
4.如圖， ΔA'O'B' 表示水平放置的 ΔAOB 的直觀圖.點 B' 在 x' 軸上， A'O' 和 x' 軸垂直，且 A'O'=2 ，則 ΔAOB 的邊 OB 上的高為（ ??）

A.?2????????????????????????????????????????B.?22????????????????????????????????????????C.?42????????????????????????????????????????D.?4
5.設非零向量 a 與 b 的夾角為 θ ，定義 a 與 b 的“向量積”： a×b 是一個向量，它的模 |a×b|=|a||b|sinθ ，若 a=(2,0)，b=(1,3), ，則 |a×b| =（ ??）
A.?2?????????????????????????????????????????B.?23?????????????????????????????????????????C.?3?????????????????????????????????????????D.?1
6.已知 ΔABC 的三個內角 A,B,C 所對的邊分別為 a,b,c ，若 c=2acosB ，則 ΔABC 一定為（ ??）
A.?直角三角形????????????????????B.?等腰三角形????????????????????C.?等邊三角形????????????????????D.?等腰直角三角形
7.若非零向量 b=3a-2c,|b|=|c|=2|a| ，則 a 與 b 的夾角余弦值為（ ??）
A.?34???????????????????????????????????????B.?14???????????????????????????????????????C.?-34???????????????????????????????????????D.?-14
8.若 O 是 ΔABC 的垂心， ∠A=π3,sinBcosCAB+sinCcosBAC=msinBsinCAO ，則 m= （ ??）
A.?1????????????????????????????????????????B.?33????????????????????????????????????????C.?3????????????????????????????????????????D.?32
二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.
9.已知 i 是虛數單位，下列說法正確的是（ ??）
A.?若復數 z 滿足 z2∈R,則z∈R????????????????????????B.?若復數 z 滿足 z∈R,則z∈R
C.?若復數 z=2i1+i ，則 |z| 的值為2????????????????????????D.?若復數 z 滿足 |z+i|=|z-3i| ，則 |z| 的最小值為1
10.下列說法正確的是（ ??）
A.?在 ΔABC 中，若 AB?BC>0 ，則 ΔABC 為銳角三角形
B.?若 a=(3,4),b=(-1,2) ，則 a 在 b 方向上的投影向量為 (-1,2)
C.?若 a=(1,k)，b=(2,2) ，且 a+b 與 a 共線，則 a⊥b
D.?設 M 是 ΔABC 所在平面內一點，且 MB+32MA+32MC=0, 則 SΔABCSΔMAC=4
11.在棱長為1的正方體 ABCD-A1B1C1D1 中，點 M 為線段 BD1 上的動點，下列命題正確的是（ ??）
A.?存在點 M ，使得 C1M//平面AB1C
B.?存在點 M ，使得直線 C1M 與直線 AD1 是異面直線
C.?存在點 M ，使得直線 C1M 與直線 AB 所成角為60°
D.?任意點 M ，都使得直線 C1M⊥A1D
12.如圖，在 ΔABC 中， BC=3AC,∠BAC=60° ，點 D 與點 B 分別在直線 AC 兩側，且 AD=1,DC=3 ，當 BD 長度為何值時， ΔACD 恰有一解（ ??）

A.?2110???????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????C.?26???????????????????????????????????????D.?33
三、填空題：本大題共4小題，每小題3分，共12分.
13.復數 z 的共軛復數為 z ，已知 2z-z=6i （ i 是虛數單位），則 z= ________
14.如圖，四棱錐 S-ABCD 的所有棱長都等于2，點 E 為線段 SA 的中點，過 C,D,E 三點的平面與 SB 交于點 F ，則四邊形 DEFC 的周長為________

15.在 ΔABC 中， AD 是 BC 邊上的中線， AB=3，AC=2,AD=1 ，則 ΔABC 的面積為________.
16.已知向量 a,b,|a|=1,|b|=2 ，若對任意的單位向量 e ，均有 |a?e|+|b?e|≥12 ，則 a?b 的取值范圍是________
四、解答題：本大題共5小題，共48分.
17.已知 i 是虛數單位，設復數 z1=1+i,z2=m-2i(m∈R) .
（1）若 z1z2 為純虛數，求 m 的值；
（2）若 z2z1 在復平面上對應的點位于第三象限，求 m 的取值范圍.
18.如圖，在平面四邊形 ABCD 中， AC=CD=AD=BC=2,BC⊥CA .

（1）求 BA?BD 的值；
（2）若 BD=mBA+nBC ，求 m+n 的值。
19.如圖，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中， BB1⊥平面ABC,∠BAC=90°,AC=AB=AA1 ， E,M,N 分別是 BC,B1C,A1A 的中點.

（1）求證：MN∥平面AEC1；
（2）求異面直線 AE 與 A1C 所成角的大小.
20.已知 ΔABC 的三個內角 A,B,C 所對的邊分別為 a,b,c ，
在條件① (a2+b2-c2)?(acosB+bcosA)=abc ，條件② csinA=acos(C-π6)
這兩個條件中任選一個作為已知條件，解決以下問題.
（1）若 c=3 ，求 ΔABC 的外接圓直徑；
（2）若 ΔABC 的周長為6，求邊 c 的取值范圍.
21.如圖，在 ΔABC 中， AB=3,AC=2BC=4,D 為 AC 的中點， E,P 分別在邊 AB,BC 上，滿足 AE=2EB,4BP=3PC ， AP 交 DE 于 M .現將 ΔADE 沿 DE 翻折至 ΔA1DE ，得四棱錐 A1-BCDE .

（1）證明： DE⊥平面A1MP ；
（2）若直線 A1P 與平面 BCD 所成角的正切值為 7 ，且 A1 在平面 ABC 內的射影在 ΔABC 的內部，求 AA1 的長.

答案解析部分
一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題3分，共24分.
1.在 ΔABC 中， A,B,C 的對邊分別為 a,b,c ，已知 a=1,B=60°,c=2 ，則 b= （ ??）
A.?1????????????????????????????????????????B.?7????????????????????????????????????????C.?5????????????????????????????????????????D.?3
【答案】 D
【考點】余弦定理
【解析】【解答】解：由余弦定理得b2=a2+c2-2ac·cosB=12+22-2·1·2·cos60°=3，則b=3.
故答案為：D
【分析】由余弦定理直接求解即可
2.已知 i 是虛數單位，設復數 z=i2021+1 ，則 z 的虛部為（ ??）
A.?1??????????????????????????????????????????B.?-1??????????????????????????????????????????C.?i??????????????????????????????????????????D.?-i
【答案】 A
【考點】復數的代數表示法及其幾何意義，復數代數形式的混合運算
【解析】【解答】解：由題意得z=i2021+1=i+1，所以z的虛部為1.
故答案為：A
【分析】由復數的運算和定義直接求解即可
3.已知 m,n 是兩條不同的直線， α,β 是兩個不同的平面，則（ ??）
A.?若m∥α，n//α，則m//n????????????????????????????????????B.?若m∥α，m⊥n，則n⊥α
C.?若α∥β，m⊥α，n//β，則m⊥n?????????????????????????D.?若m∥n，n?α，則m//α
【答案】 C
【考點】空間中直線與直線之間的位置關系，空間中直線與平面之間的位置關系，直線與平面垂直的性質
【解析】【解答】解：對于A，若 m//α,n//α,則 m//n或m,n相交或m,n異面，故A錯誤；
對于B，若m//α,m⊥n ， 則n⊥α或n?α ， 故B錯誤；
對于C，若α//β，m⊥α ， 則m⊥β，又n//β ， 則m⊥n，所以C正確；
對于D，若m//n,n?α ， 則m//α或m?α ， 故D錯誤.
故答案為：C.
【分析】由直線與直線的關系可判斷A，由直線與平面的關系可判斷B，由線線垂直的判定可判斷C，由直線與平面的關系可判斷D.
4.如圖， ΔA'O'B' 表示水平放置的 ΔAOB 的直觀圖.點 B' 在 x' 軸上， A'O' 和 x' 軸垂直，且 A'O'=2 ，則 ΔAOB 的邊 OB 上的高為（ ??）

A.?2????????????????????????????????????????B.?22????????????????????????????????????????C.?42????????????????????????????????????????D.?4
【答案】 C
【考點】斜二測畫法直觀圖
【解析】【解答】解：設△AOB的邊OB上的高為h，由直觀圖中的邊O'B'與原圖中的邊OB長度相等，及S原圖=22S直觀圖 ， 即12OB×h=22×12A'O'×O'B' ， 解得h=42.
故答案為：C
【分析】根據斜二測畫法及S原圖=22S直觀圖 ， 直接求解即可.
5.設非零向量 a 與 b 的夾角為 θ ，定義 a 與 b 的“向量積”： a×b 是一個向量，它的模 |a×b|=|a||b|sinθ ，若 a=(2,0)，b=(1,3), ，則 |a×b| =（ ??）
A.?2?????????????????????????????????????????B.?23?????????????????????????????????????????C.?3?????????????????????????????????????????D.?1
【答案】 B
【考點】數量積表示兩個向量的夾角
【解析】【解答】解：由題意得a→=b→=2 ， 則cosθ=a→·b→a→·b→=22×2=12 ， 則sinθ=32 ，
a→×b→=a→b→sinθ=2×2×32=23
故答案為：B
【分析】由向量的數量積求出cosθ，再根據“向量積”直接求解即可
6.已知 ΔABC 的三個內角 A,B,C 所對的邊分別為 a,b,c ，若 c=2acosB ，則 ΔABC 一定為（ ??）
A.?直角三角形????????????????????B.?等腰三角形????????????????????C.?等邊三角形????????????????????D.?等腰直角三角形
【答案】 B
【考點】兩角和與差的正弦公式，正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理及c=2acosB得sinC=2sinAcosB，即sin(A+B)=2sinAcosB，
即sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，則sinAcosB-cosAsinB=0，即sin(A-B)=0，則A-B=0，所以A=B，所以△ABC一定為等腰三角形?
故答案為：B
【分析】由正弦定理，以及三角形的內角和性質，結合兩角和與差的正弦公式直接求解即可.
7.若非零向量 b=3a-2c,|b|=|c|=2|a| ，則 a 與 b 的夾角余弦值為（ ??）
A.?34???????????????????????????????????????B.?14???????????????????????????????????????C.?-34???????????????????????????????????????D.?-14
【答案】 D
【考點】數量積表示兩個向量的夾角
【解析】【解答】解：∵b→=3a→-2c→ ，
∴2c→=3a→-b→ ，
∴2c→2=3a→-b→2 ， 則4c→2=9a→2-6a→·b→+b→2
又∵ |b→|=|c→|=2|a→| ，
∴?4×2a→2=9a→2-6a→·b→+2a→2 ，
則a→·b→=-12a→2 ，
則cos=a→·b→a→·b→=-12a→2a→·2a→=-14.
故答案為：D
【分析】先由題意求得a→·b→=-12a→2 ， 再根據向量的夾角公式直接求解即可.
8.若 O 是 ΔABC 的垂心， ∠A=π3,sinBcosCAB+sinCcosBAC=msinBsinCAO ，則 m= （ ??）
A.?1????????????????????????????????????????B.?33????????????????????????????????????????C.?3????????????????????????????????????????D.?32
【答案】 C
【考點】向量加減混合運算及其幾何意義，數量積判斷兩個平面向量的垂直關系，正弦定理的應用
【解析】【解答】解：因為 sinBcosCAB→+sinCcosBAC→=msinBsinCAO→? ，
所以cosCsinC·AB→+cosBsinB·AC→=mAO→
又因為O是 ?ΔABC?的垂心 ，所以CD⊥AB，AO→=AD→+DO→
所以cosCsinC·AB→+cosBsinB·AC→=mAD→+DO→
則cosCsinC·AB→2+cosBsinB·AC→·AB→=mAD→+DO→·AB→
即cosCsinC·c2+cosBsinB·b·c·cosA=mAD→·AB→=mb·c·cosA ， 又∠A=π3
則由正弦定理得，cosC+12cosB=12msinB……①
又cosC=cos2π3-B=-12cosB+32sinB……②
聯(lián)解①②，得32sinB=12msinB ，
又因為sinB≠0
所以m=3
故答案為：C
【分析】根據向量的數量積，結合題意，以及三角形的內角和求解即可.
二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.
9.已知 i 是虛數單位，下列說法正確的是（ ??）
A.?若復數 z 滿足 z2∈R,則z∈R????????????????????????B.?若復數 z 滿足 z∈R,則z∈R
C.?若復數 z=2i1+i ，則 |z| 的值為2????????????????????????D.?若復數 z 滿足 |z+i|=|z-3i| ，則 |z| 的最小值為1
【答案】 B,D
【考點】復數的基本概念，復數代數形式的混合運算，復數求模
【解析】【解答】解：對于A，當z=i時，顯然不成立，故A錯誤；
對于B，當z=a+bi∈R，則b=0，所以z=a∈R，故B正確；
對于C，當z=2i1+i=2i1-i1+i1-i=1+i ， 則z=2 ， 故C錯誤；
對于D，設z=a+bi，則由 |z+i|=|z-3i|? 得|a+bi+i|=|a+bi-3i| ， 即|a+b+1i|=|a+b-3i| ， 則a2+b+12=a2+b-32 ， 解得b=1，則|z|=a2+1≥1 ， 故D正確.
故答案為：D

【分析】本題主要考查復數的概念，復數的模，以及復數的運算問題，根據概念以及運算法則逐項求解即可判斷.
10.下列說法正確的是（ ??）
A.?在 ΔABC 中，若 AB?BC>0 ，則 ΔABC 為銳角三角形
B.?若 a=(3,4),b=(-1,2) ，則 a 在 b 方向上的投影向量為 (-1,2)
C.?若 a=(1,k)，b=(2,2) ，且 a+b 與 a 共線，則 a⊥b
D.?設 M 是 ΔABC 所在平面內一點，且 MB+32MA+32MC=0, 則 SΔABCSΔMAC=4
【答案】 B,D
【考點】平面向量數量積的性質及其運算律，平面向量數量積的運算，數量積表示兩個向量的夾角，數量積判斷兩個平面向量的垂直關系
【解析】【解答】解：對于A，由題意得AB→·BC→=AB→·BC→·cosπ-B=-AB→·BC→·cosB>0 ， 則cosB

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