?2013年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）
　
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．（5分）設(shè)集合S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，則S∩T=（　?。?br /> A．[﹣4，+∞） B．（﹣2，+∞） C．[﹣4，1] D．（﹣2，1]
2．（5分）已知i是虛數(shù)單位，則（2+i）（3+i）=（　?。?br /> A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i
3．（5分）若α∈R，則“α=0”是“sinα＜cosα”的（　?。?br /> A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
4．（5分）設(shè)m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（　?。?br /> A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m∥α，m∥β，則α∥β
C．若m∥n，m⊥α，則n⊥α D．若m∥α，α⊥β，則m⊥β
5．（5分）已知某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積是（　　）

A．108cm3 B．100cm3 C．92cm3 D．84cm3
6．（5分）函數(shù)f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分別是（　?。?br /> A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2
7．（5分）已知a、b、c∈R，函數(shù)f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1），則（　?。?br /> A．a(chǎn)＞0，4a+b=0 B．a(chǎn)＜0，4a+b=0 C．a(chǎn)＞0，2a+b=0 D．a(chǎn)＜0，2a+b=0
8．（5分）已知函數(shù)y=f（x）的圖象是下列四個圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是（　?。?br />
A． B． C． D．
9．（5分）如圖F1、F2是橢圓C1：+y2=1與雙曲線C2的公共焦點，A、B分別是C1、C2在第二、四象限的公共點，若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是（　?。?br />
A． B． C． D．
10．（5分）設(shè)a，b∈R，定義運算“∧”和“∨”如下：
a∧b= a∨b=
若正數(shù)a、b、c、d滿足ab≥4，c+d≤4，則（　　）
A．a(chǎn)∧b≥2，c∧d≤2 B．a(chǎn)∧b≥2，c∨d≥2 C．a(chǎn)∨b≥2，c∧d≤2 D．a(chǎn)∨b≥2，c∨d≥2
　
二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分.
11．（4分）已知函數(shù)f（x）=，若f（a）=3，則實數(shù)a=　 ?。?br /> 12．（4分）從三男三女6名學(xué)生中任選2名（每名同學(xué)被選中的概率均相等），則2名都是女同學(xué)的概率等于　 ?。?br /> 13．（4分）直線y=2x+3被圓x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦長等于　 ?。?br /> 14．（4分）某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的值等于　 ?。?br />
15．（4分）設(shè)z=kx+y，其中實數(shù)x、y滿足 若z的最大值為12，則實數(shù)k=　 ?。?br /> 16．（4分）設(shè)a，b∈R，若x≥0時恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，則ab等于　 ?。?br /> 17．（4分）設(shè)、為單位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夾角為30°，則的最大值等于　 ?。?br /> 　
三、解答題：本大題共5小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
18．（14分）在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2asinB=b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面積．
19．（14分）在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求d，an；
（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|．
20．（15分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G為線段PC上的點．
（Ⅰ）證明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若G是PC的中點，求DG與平面PAC所成的角的正切值；
（Ⅲ）若G滿足PC⊥面BGD，求的值．

21．（15分）已知a∈R，函數(shù)f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在閉區(qū)間[0，|2a|]上的最小值．
22．（14分）已知拋物線C的頂點為O（0，0），焦點F（0，1）
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過F作直線交拋物線于A、B兩點．若直線OA、OB分別交直線l：y=x﹣2于M、N兩點，求|MN|的最小值．

　

2013年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）
參考答案與試題解析
　
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．（5分）設(shè)集合S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，則S∩T=（　?。?br /> A．[﹣4，+∞） B．（﹣2，+∞） C．[﹣4，1] D．（﹣2，1]
【分析】找出兩集合解集的公共部分，即可求出交集．
【解答】解：∵集合S={x|x＞﹣2}=（﹣2，+∞），T={x|﹣4≤x≤1}=[﹣4，1]，
∴S∩T=（﹣2，1]．
故選：D．
【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．
　
2．（5分）已知i是虛數(shù)單位，則（2+i）（3+i）=（　?。?br /> A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i
【分析】直接利用多項式的乘法展開，求出復(fù)數(shù)的最簡形式．
【解答】解：復(fù)數(shù)（2+i）（3+i）=6+5i+i2=5+5i．
故選：C．
【點評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運算，考查計算能力．
　
3．（5分）若α∈R，則“α=0”是“sinα＜cosα”的（　?。?br /> A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【分析】當(dāng)“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，當(dāng)“sinα＜cosα”時，不一定得到“α=0”，得到“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要條件．
【解答】解：∵“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，
當(dāng)“sinα＜cosα”時，不一定得到“α=0”，如α=等，
∴“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要條件，
故選：A．
【點評】本題主要考查了必要條件，充分條件與充要條件的判斷，要求掌握好判斷的方法．
　
4．（5分）設(shè)m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（　?。?br /> A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m∥α，m∥β，則α∥β
C．若m∥n，m⊥α，則n⊥α D．若m∥α，α⊥β，則m⊥β
【分析】用直線與平面平行的性質(zhì)定理判斷A的正誤；用直線與平面平行的性質(zhì)定理判斷B的正誤；用線面垂直的判定定理判斷C的正誤；通過面面垂直的判定定理進行判斷D的正誤．
【解答】解：A、m∥α，n∥α，則m∥n，m與n可能相交也可能異面，所以A不正確；
B、m∥α，m∥β，則α∥β，還有α與β可能相交，所以B不正確；
C、m∥n，m⊥α，則n⊥α，滿足直線與平面垂直的性質(zhì)定理，故C正確．
D、m∥α，α⊥β，則m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正確；
故選：C．
【點評】本題主要考查線線，線面，面面平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，考查空間想象能力能力．
　
5．（5分）已知某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積是（　?。?br />
A．108cm3 B．100cm3 C．92cm3 D．84cm3
【分析】由三視圖可知：該幾何體是一個棱長分別為6，6，3，砍去一個三條側(cè)棱長分別為4，4，3的一個三棱錐（長方體的一個角）．據(jù)此即可得出體積．
【解答】解：由三視圖可知：該幾何體是一個棱長分別為6，6，3，砍去一個三條側(cè)棱長分別為4，4，3的一個三棱錐（長方體的一個角）．
∴該幾何體的體積V=6×6×3﹣=100．
故選：B．

【點評】由三視圖正確恢復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵．
　
6．（5分）函數(shù)f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分別是（　　）
A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2
【分析】f（x）解析式第一項利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的我三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域，確定出振幅，找出ω的值，求出函數(shù)的最小正周期即可．
【解答】解：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），
∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴振幅為1，
∵ω=2，∴T=π．
故選：A．
【點評】此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦函數(shù)公式，以及三角函數(shù)的周期性及其求法，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．
　
7．（5分）已知a、b、c∈R，函數(shù)f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1），則（　?。?br /> A．a(chǎn)＞0，4a+b=0 B．a(chǎn)＜0，4a+b=0 C．a(chǎn)＞0，2a+b=0 D．a(chǎn)＜0，2a+b=0
【分析】由f（0）=f（4）可得4a+b=0；由f（0）＞f（1）可得a+b＜0，消掉b變?yōu)殛P(guān)于a的不等式可得a＞0．
【解答】解：因為f（0）=f（4），即c=16a+4b+c，
所以4a+b=0；
又f（0）＞f（1），即c＞a+b+c，
所以a+b＜0，即a+（﹣4a）＜0，所以﹣3a＜0，故a＞0．
故選：A．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及不等式，屬基礎(chǔ)題．
　
8．（5分）已知函數(shù)y=f（x）的圖象是下列四個圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，得出所選的選項．
【解答】解：由導(dǎo)數(shù)的圖象可得，導(dǎo)函數(shù)f′（x）的值在[﹣1，0]上的逐漸增大，
故函數(shù)f（x）在[﹣1，0]上增長速度逐漸變大，故函數(shù)f（x）的圖象是下凹型的．
導(dǎo)函數(shù)f′（x）的值在[0，1]上的逐漸減小，
故函數(shù)f（x）在[0，1]上增長速度逐漸變小，圖象是上凸型的，
故選：B．
【點評】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
　
9．（5分）如圖F1、F2是橢圓C1：+y2=1與雙曲線C2的公共焦點，A、B分別是C1、C2在第二、四象限的公共點，若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】不妨設(shè)|AF1|=x，|AF2|=y，依題意，解此方程組可求得x，y的值，利用雙曲線的定義及性質(zhì)即可求得C2的離心率．
【解答】解：設(shè)|AF1|=x，|AF2|=y，∵點A為橢圓C1：+y2=1上的點，
∴2a=4，b=1，c=；
∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①
又四邊形AF1BF2為矩形，
∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②
由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，設(shè)雙曲線C2的實軸長為2m，焦距為2n，
則2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，
∴雙曲線C2的離心率e===．
故選：D．
【點評】本題考查橢圓與雙曲線的簡單性質(zhì)，求得|AF1|與|AF2|是關(guān)鍵，考查分析與運算能力，屬于中檔題．
　
10．（5分）設(shè)a，b∈R，定義運算“∧”和“∨”如下：
a∧b= a∨b=
若正數(shù)a、b、c、d滿足ab≥4，c+d≤4，則（　　）
A．a(chǎn)∧b≥2，c∧d≤2 B．a(chǎn)∧b≥2，c∨d≥2 C．a(chǎn)∨b≥2，c∧d≤2 D．a(chǎn)∨b≥2，c∨d≥2
【分析】依題意，對a，b賦值，對四個選項逐個排除即可．
【解答】解：∵a∧b=，a∨b=，
正數(shù)a、b、c、d滿足ab≥4，c+d≤4，
∴不妨令a=1，b=4，則a∧b≥2錯誤，故可排除A，B；
再令c=1，d=1，滿足條件c+d≤4，但不滿足c∨d≥2，故可排除D；
故選：C．
【點評】本題考查函數(shù)的求值，考查正確理解題意與靈活應(yīng)用的能力，著重考查排除法的應(yīng)用，屬于中檔題．
　
二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分.
11．（4分）已知函數(shù)f（x）=，若f（a）=3，則實數(shù)a=　10　．
【分析】利用函數(shù)的解析式以及f（a）=3求解a即可．
【解答】解：因為函數(shù)f（x）=，又f（a）=3，
所以，解得a=10．
故答案為：10．
【點評】本題考查函數(shù)解析式與函數(shù)值的應(yīng)用，考查計算能力．
　
12．（4分）從三男三女6名學(xué)生中任選2名（每名同學(xué)被選中的概率均相等），則2名都是女同學(xué)的概率等于　?。?br /> 【分析】由組合數(shù)可知：從6名學(xué)生中任選2名共有=15種情況，2名都是女同學(xué)的共有=3種情況，由古典概型的概率公式可得答案．
【解答】解：從6名學(xué)生中任選2名共有=15種情況，
滿足2名都是女同學(xué)的共有=3種情況，
故所求的概率為：=．
故答案為：．
【點評】本題考查古典概型及其概率公式，涉及組合數(shù)的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．
　
13．（4分）直線y=2x+3被圓x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦長等于　4?。?br /> 【分析】求出圓的圓心與半徑，利用圓心距，半徑，半弦長滿足勾股定理，求解弦長即可．
【解答】解：圓x2+y2﹣6x﹣8y=0的圓心坐標(biāo)（3，4），半徑為5，
圓心到直線的距離為：，
因為圓心距，半徑，半弦長滿足勾股定理，
所以直線y=2x+3被圓x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦長為：2×=4．
故答案為：4．
【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，弦長的求法，考查轉(zhuǎn)化思想與計算能力．
　
14．（4分）某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的值等于　　．

【分析】由題意可知，該程序的作用是求解S=1++++的值，然后利用裂項求和即可求解．
【解答】解：由題意可知，該程序的作用是求解S=1++++的值．
而S=1++++
=1+1﹣+﹣+﹣+﹣=．
故答案為：．
【點評】本題考查了程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由框圖的結(jié)構(gòu)判斷出框圖的計算功能．
　
15．（4分）設(shè)z=kx+y，其中實數(shù)x、y滿足 若z的最大值為12，則實數(shù)k=　2?。?br /> 【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的△ABC及其內(nèi)部，再將目標(biāo)函數(shù)z=kx+y對應(yīng)的直線進行平移．經(jīng)討論可得當(dāng)當(dāng)k＜0時，找不出實數(shù)k的值使z的最大值為12；當(dāng)k≥0時，結(jié)合圖形可得：當(dāng)l經(jīng)過點C時，zmax=F（4，4）=4k+4=12，解得k=2，得到本題答案．
【解答】解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，
其中A（2，0），B（2，3），C（4，4）
設(shè)z=F（x，y）=kx+y，將直線l：z=kx+y進行平移，可得
①當(dāng)k＜0時，直線l的斜率﹣k＞0，
由圖形可得當(dāng)l經(jīng)過點B（2，3）或C（4，4）時，z可達最大值，
此時，zmax=F（2，3）=2k+3或zmax=F（4，4）=4k+4
但由于k＜0，使得2k+3＜12且4k+4＜12，不能使z的最大值為12，
故此種情況不符合題意；
②當(dāng)k≥0時，直線l的斜率﹣k≤0，
由圖形可得當(dāng)l經(jīng)過點C時，目標(biāo)函數(shù)z達到最大值
此時zmax=F（4，4）=4k+4=12，解之得k=2，符合題意
綜上所述，實數(shù)k的值為2
故答案為：2

【點評】本題給出二元一次不等式組，在目標(biāo)函數(shù)z=kx+y的最大值為12的情況下求參數(shù)k的值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于基礎(chǔ)題．
　
16．（4分）設(shè)a，b∈R，若x≥0時恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，則ab等于　﹣1?。?br /> 【分析】由題意，x≥0時恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，考察（x2﹣1）2，發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=1時，其值為0，再對照不等式左邊的0，可由兩邊夾的方式得到參數(shù)a，b滿足的方程，再令f（x）=x4﹣x3+ax+b，即f（x）≥0在x≥0恒成立，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在x≥0的極值，即可得出參數(shù)所滿足的另一個方程，由此解出參數(shù)a，b的值，問題即可得解．
【解答】解：驗證發(fā)現(xiàn)，
當(dāng)x=1時，將1代入不等式有0≤a+b≤0，所以a+b=0，
當(dāng)x=0時，可得0≤b≤1，結(jié)合a+b=0可得﹣1≤a≤0，
令f（x）=x4﹣x3+ax+b，即f（1）=a+b=0，
又f′（x）=4x3﹣3x2+a，f′′（x）=12x2﹣6x，
令f′′（x）＞0，可得x＞，則f′（x）=4x3﹣3x2+a在[0，]上減，在[，+∞）上增，
又﹣1≤a≤0，所以f′（0）=a＜0，f′（1）=1+a≥0，
又x≥0時恒有0≤x4﹣x3+ax+b，結(jié)合f（1）=a+b=0知，1必為函數(shù)f（x）=x4﹣x3+ax+b的極小值點，也是最小值點．
故有f′（1）=1+a=0，由此得a=﹣1，b=1，
故ab=﹣1．
故答案為：﹣1．
【點評】本題考查函數(shù)恒成立的最值問題及導(dǎo)數(shù)綜合運用題，由于所給的不等式較為特殊，可借助賦值法得到相關(guān)的方程直接求解，本題解法關(guān)鍵是觀察出不等式右邊為零時的自變量的值，及極值的確定，將問題靈活轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．
　
17．（4分）設(shè)、為單位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夾角為30°，則的最大值等于　2?。?br /> 【分析】由題意求得 =，||==，從而可得 ==
=，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最大值．
【解答】解：∵、 為單位向量，和的夾角等于30°，∴=1×1×cos30°=．
∵非零向量=x+y，∴||===，
∴====，
故當(dāng)=﹣時，取得最大值為2，
故答案為 2．
【點評】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的運算，求向量的模，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最大值，屬于中檔題．
　
三、解答題：本大題共5小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
18．（14分）在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2asinB=b．
（Ⅰ）求角A的大?。?br /> （Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面積．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化簡已知等式，求出sinA的值，由A為銳角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（Ⅱ）由余弦定理列出關(guān)系式，再利用完全平方公式變形，將a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC的面積．
【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，
∵sinB≠0，∴sinA=，
又A為銳角，
則A=；
（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc?cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，
∴bc=，又sinA=，
則S△ABC=bcsinA=．
【點評】此題考查了正弦定理，三角形的面積公式，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．
　
19．（14分）在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求d，an；
（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|．
【分析】（Ⅰ）直接由已知條件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比數(shù)列列式求出公差，則通項公式an可求；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的結(jié)論，得到等差數(shù)列{an}的前11項大于等于0，后面的項小于0，所以分類討論求d＜0時|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的和．
【解答】解：（Ⅰ）由題意得，即，整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．
當(dāng)d=﹣1時，an=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．
當(dāng)d=4時，an=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．
所以an=﹣n+11或an=4n+6；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，因為d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，an=﹣n+11．
則當(dāng)n≤11時，．
當(dāng)n≥12時，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=﹣Sn+2S11=．
綜上所述，
|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=．
【點評】本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本概念，考查了等差數(shù)列的通項公式，求和公式，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和學(xué)生的運算能力，是中檔題．
　
20．（15分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G為線段PC上的點．
（Ⅰ）證明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若G是PC的中點，求DG與平面PAC所成的角的正切值；
（Ⅲ）若G滿足PC⊥面BGD，求的值．

【分析】（Ⅰ）由PA⊥面ABCD，可得PA⊥BD；設(shè)AC與BD的交點為O，則由條件可得BD是AC的中垂線，故O為AC的中點，且BD⊥AC．再利用直線和平面垂直的判定定理證得BD⊥面PAC．
（Ⅱ）由三角形的中位線性質(zhì)以及條件證明∠DGO為DG與平面PAC所成的角，求出GO和AC的值，可得OC、OD的值，再利用直角三角形中的邊角關(guān)系求得tan∠DGO的值．
（Ⅲ）先證 PC⊥OG，且 PC==．由△COG∽△CAP，可得，解得GC的值，可得PG
=PC﹣GC 的值，從而求得 的值．
【解答】解：（Ⅰ）證明：∵在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD．
∵AB=BC=2，AD=CD=，設(shè)AC與BD的交點為O，則BD是AC的中垂線，故O為AC的中點，且BD⊥AC．
而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．
（Ⅱ）若G是PC的中點，O為AC的中點，則GO平行且等于PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，
∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO為DG與平面PAC所成的角．
由題意可得，GO=PA=．
△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12，
∴AC=2，OC=．
∵直角三角形COD中，OD==2，
∴直角三角形GOD中，tan∠DGO==．
（Ⅲ）若G滿足PC⊥面BGD，∵OG?平面BGD，∴PC⊥OG，且 PC==．
由△COG∽△CPA，可得，即 ，解得GC=，
∴PG=PC﹣GC=﹣=，∴==．
【點評】本題主要考查直線和平面垂直的判定定理的應(yīng)用，求直線和平面所成的角，空間距離的求法，屬于中檔題．
　
21．（15分）已知a∈R，函數(shù)f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在閉區(qū)間[0，|2a|]上的最小值．
【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，確定切線的斜率，求出切點的坐標(biāo)，即可求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）分類討論，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得極值，即可得到最值．
【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f′（x）=6x2﹣12x+6，所以f′（2）=6
∵f（2）=4，∴曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y=6x﹣8；
（Ⅱ）記g（a）為f（x）在閉區(qū)間[0，|2a|]上的最小值．
f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣1）（x﹣a）
令f′（x）=0，得到x1=1，x2=a
當(dāng)a＞1時，
x
0
（0，1）
1
（1，a）
a
（a，2a）
2a
f′（x）

+
0
﹣
0
+

f（x）
0
單調(diào)遞增
極大值3a﹣1
單調(diào)遞減
極小值
a2（3﹣a）
單調(diào)遞增
4a3
比較f（0）=0和f（a）=a2（3﹣a）的大小可得g（a）=；
當(dāng)a＜﹣1時，
X
0
（0，1）
1
（1，﹣2a）
﹣2a
f′x）

﹣
0
+

f（x）
0
單調(diào)遞減
極小值3a﹣1
單調(diào)遞增
﹣28a3﹣24a2
∴g（a）=3a﹣1
∴f（x）在閉區(qū)間[0，|2a|]上的最小值為g（a）=．
【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生的計算能力，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
　
22．（14分）已知拋物線C的頂點為O（0，0），焦點F（0，1）
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過F作直線交拋物線于A、B兩點．若直線OA、OB分別交直線l：y=x﹣2于M、N兩點，求|MN|的最小值．

【分析】（I）由拋物線的幾何性質(zhì)及題設(shè)條件焦點F（0，1）可直接求得p，確定出拋物線的開口方向，寫出它的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）由題意，可A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為y=kx+1，將直線方程與（I）中所求得方程聯(lián)立，再結(jié)合弦長公式用所引入的參數(shù)表示出|MN|，根據(jù)所得的形式作出判斷，即可求得最小值．
【解答】解：（I）由題意可設(shè)拋物線C的方程為x2=2py（p＞0）則=1，解得p=2，故拋物線C的方程為x2=4y
（II）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為y=kx+1，
由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0，
所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，從而有|x1﹣x2|==4，
由解得點M的橫坐標(biāo)為xM===，
同理可得點N的橫坐標(biāo)為xN=，
所以|MN|=|xM﹣xN|=|﹣|=8||=，
令4k﹣3=t，t≠0，則k=，
當(dāng)t＞0時，|MN|=2＞2，
當(dāng)t＜0時，|MN|=2=2≥．
綜上所述，當(dāng)t=﹣，即k=﹣時，|MN|的最小值是．
【點評】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力，本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想及轉(zhuǎn)化的思想，將問題恰當(dāng)?shù)幕瘹w可以大大降低題目的難度，如本題最后求最值時引入變量t，就起到了簡化計算的作用．
　

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