本試卷分為第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，
第Ⅰ卷(選擇題 60分)
一、選擇題：本大題共12小題．每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)的實部與虛部相等，則實數(shù)的值為（ )
A、 B、 C、-1 D、
2、已知變量與正相關(guān),且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù),,則由該觀測數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能為( )
A. B. C. D.
3、如果根據(jù)數(shù)學(xué)成績是否及格與課后習(xí)題練習(xí)量的多少的列聯(lián)表，得到的觀測值，則判斷數(shù)學(xué)成績是否及格與課后習(xí)題練習(xí)量的多少有關(guān)，那么這種判斷出錯的可能性為( )
A.B.C.D.
附表：
4、已知點M的極坐標(biāo)為，則點M的直角坐標(biāo)為（ ）
A、 B、 C、 D、
5、在如圖所示的算法流程圖中，輸出的的值為（ ）
（A）3 （B）7 （C）12 （D）17
6、觀察下面頻率等高條形圖,其中兩個分類變量之間關(guān)系最強(qiáng)的是( )
.
A B C D
7、甲、乙、丙、丁四名同學(xué)在建立變量的回歸模型時，分別選擇了4種不同的模型，并計算出了相應(yīng)的相關(guān)指數(shù)如右表,則哪個同學(xué)的模型最好（ ）
A、甲 B、乙 C、丙 D、丁
8、研究兩個變量的相關(guān)關(guān)系，得到了7個數(shù)據(jù)，作出其散點圖如圖所示，對這兩個變量進(jìn)行線性相關(guān)分析，方案一：根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù)，得到線性回歸方程，相關(guān)系數(shù)為；方案二：剔除點3對應(yīng)的數(shù)據(jù)，根據(jù)剩下數(shù)據(jù)得到線性回歸直線方程:，相關(guān)系數(shù)為，則（ ）
1
2
3
4
5
6
7
x
y
A.
B.
C.
D.
9、將曲線y＝sin 2x按照伸縮變換eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2x,y′＝3y))后得到的曲線方程為( )
A y＝eq \f(1,3)sin 2x B．y＝3sin 2x C y＝3sin x D y＝3sineq \f(1,2)
10、已知三個不等式：①;②③ 則以其中兩個命題為條件，剩下的一個命題為結(jié)論，能得到幾個正確的命題（ ）
A 、0個 B 、1個 C、 2個 D、3個
11、若，則有（）
A、 B、 C、 D、
12．已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，定義，，…，，經(jīng)計算，，，，…，照此規(guī)律，則
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 (非選擇題 共90分)
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13、極坐標(biāo)方程ρ＝1表示的曲線是
14、已知復(fù)數(shù)：，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)
15、在ABC中，則ABC的外接圓的半徑，
將此結(jié)論類比到將此結(jié)論推廣到空間中可得：在四面體P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，，四面體P-ABC的外接圓的半徑
16、把正整數(shù)排列成如圖甲的三角形數(shù)陣，然后擦去第偶數(shù)行中的奇數(shù)和第奇數(shù)行中的偶數(shù)，得到如圖乙的三角形數(shù)陣，再把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列，得到一個數(shù)列，若，則________．
三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17、(本小題滿分10分)已知，復(fù)數(shù)。
（1）若為純虛數(shù)，求的值；
（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，求的取值范圍。
18、(本小題滿分12分)已知直線l的參數(shù)方程為eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)＋\f(1,2)t，,y＝2＋\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4cs θ，,y＝4sin θ))(θ為參數(shù))．
(1)將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程；
(2)若直線l與曲線C交于A，B兩點，求線段AB的長．
19、(本小題滿分12分）為了打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，某地大力扶持小龍蝦養(yǎng)殖產(chǎn)業(yè)．為了解小龍蝦的養(yǎng)殖面積（畝）與年利潤的關(guān)系，統(tǒng)計了6個養(yǎng)殖戶，并對當(dāng)年利潤情況統(tǒng)計后得到如下的數(shù)據(jù)表：
由所給數(shù)據(jù)可知年利潤與養(yǎng)殖面積具有線性相關(guān)關(guān)系．
(Ⅰ)求關(guān)于的線性回歸方程（結(jié)果保留三位小數(shù)），并估計當(dāng)養(yǎng)殖面積為15畝時年利潤是多少；
(Ⅱ)為提高收益，稻蝦生態(tài)種養(yǎng)（在稻田里種植水稻的同時養(yǎng)殖龍蝦）是一種常見的形式，為研究小龍蝦養(yǎng)殖密度（每畝放養(yǎng)小龍蝦的尾數(shù)）對年利潤的影響，對這6個養(yǎng)殖戶養(yǎng)殖情況進(jìn)行統(tǒng)計得到50組數(shù)據(jù)，制作2×2列聯(lián)表如上表。
完成上表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為年利潤的高低與“養(yǎng)殖密度”有關(guān)？
附:參考公式及部分?jǐn)?shù)據(jù)：，，
，. 其中.
20、(本小題滿分12分)在直角坐標(biāo)系 中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程為
(1) 求的極坐標(biāo)方程
(2) 在以O(shè)為極點，x 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線與的異于極點的交點為A，與的異于極點的交點為B，求的最大值
21、(本小題滿分12分)已知數(shù)列的前和為，其中且
(1)求
(2)猜想數(shù)列 的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．
22、(本小題滿分12分)已知函數(shù)滿足對任意的實數(shù)都有成立，且當(dāng)都有成立。
（1）若求的表達(dá)式；
（2）設(shè)，若函數(shù)圖像上的點都位于直線的上方，求實數(shù)的取值范圍。
思南中學(xué)2020-2021學(xué)年度第二學(xué)期期中考試
高二年級數(shù)學(xué)文科試題
參考答案
一、選擇題
二、填空題：
13、圓 14、 15、 16、1028
三、解答題
17、解：
為純虛數(shù)則
復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限
解
(1)由曲線C：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4cs θ，,y＝4sin θ))得x2＋y2＝16.
∴曲線C的普通方程為x2＋y2＝16.
(2)將eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)＋\f(1,2)t，,y＝2＋\f(\r(3),2)t))代入x2＋y2＝16，
整理，得t2＋3eq \r(3)t－9＝0.
設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)為t1，t2，則
t1＋t2＝－3eq \r(3)，t1t2＝－9.
|AB|＝|t1－t2|＝eq \r(?t1＋t2?2－4t1t2)＝3eq \r(7).
19、
解:(Ⅰ)，………2分
………3分
，線性回歸方程為………4分
當(dāng)時，（萬元），
即當(dāng)養(yǎng)殖面積為15畝時，年利潤約為萬元………6分
(Ⅱ)將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整如下：
………8分
………10分
因此有95%的把握認(rèn)為年利潤的高低與“養(yǎng)殖密度”有關(guān)………12分
20、
解：（1）

即的極坐標(biāo)方程為
（2）
所以
所以的最大值為
21、
解：（1） ①
當(dāng)時 ②
-②得
整理得

證明： ① 當(dāng)時
②假設(shè)當(dāng) 時 成立
那么
即當(dāng) 時也成立
由①②可知對任意的都有
22、解：（1）因為滿足對任意的實數(shù)都有成立，且當(dāng)都有成立
因為滿足對任意的實數(shù)都有成立
即對任意的實數(shù)都有成立
所以
所以
所以
（2）由題意得在上恒成立
即在上恒成立
當(dāng)時 2>0恒成立
當(dāng)時 ， 原式等價于在上恒成立
令
當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號
所以
所以
甲
乙
丙
丁
0.78
0.98
0.85
0.63
養(yǎng)殖面積（畝）
7
8
9
10
11
12
年利潤（萬元）
1.9
2.3
3.3
3.8
4.7
5.0
養(yǎng)殖密度高
養(yǎng)殖密度不高
合計
利潤高
27
利潤低
7
合計
10
50
0.1
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
A
C
B
C
D
B
D
C
D
B
A
養(yǎng)殖密度高
養(yǎng)殖密度不高
合計
利潤高
3
27
30
利潤低
7
13
20
合計
10
40
50

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