已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為P，△PF1F2內(nèi)切圓的半徑為eq \f(b,3)，設(shè)過點(diǎn)F2的直線l被橢圓C截得的線段為RS，當(dāng)l⊥x軸時(shí)，|RS|=3.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)T，使得當(dāng)l變化時(shí)，總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱？
若存在，請求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)P(0,1)，離心率e=eq \f(\r(3),2).
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)Q(2，－1)且與C相交于A，B兩點(diǎn)(異于點(diǎn)P)，記直線PA的斜率為k1，直線PB的斜率為k2，證明：k1＋k2為定值.
已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若橢圓上一點(diǎn)P滿足|PF1|＋|PF2|=4，且橢圓C過點(diǎn)(-1,-1.5)，過點(diǎn)R(4,0)的直線l與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點(diǎn)E作x軸的垂線，交橢圓C于點(diǎn)N，求證：直線FN過定點(diǎn).
已知定點(diǎn)Q(eq \r(3)，0)，P為圓N：(x＋eq \r(3))2＋y2=24上任意一點(diǎn)，線段QP的垂直平分線交NP于點(diǎn)M.
(1)當(dāng)P點(diǎn)在圓周上運(yùn)動時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
(2)若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且eq \(OA,\s\up15(→))·eq \(OB,\s\up15(→))=0(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，證明直線l與某個(gè)定圓相切，并求出定圓的方程.
如圖，設(shè)直線l：y=k(x＋eq \f(p,2))與拋物線C：y2=2px(p>0，p為常數(shù))交于不同的兩點(diǎn)M，N，且當(dāng)k=eq \f(1,2)時(shí)，弦MN的長為4eq \r(15).
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)M的直線交拋物線于另一點(diǎn)Q，且直線MQ過點(diǎn)B(1，－1).
求證：直線NQ過定點(diǎn).
已知?jiǎng)訄AP經(jīng)過點(diǎn)N(1,0)，并且與圓M：(x＋1)2＋y2=16相切.
(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
(2)設(shè)G(m,0)為軌跡C內(nèi)的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)G且斜率為k的直線l交軌跡C于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)k為何值時(shí)，ω=|GA|2＋|GB|2是與m無關(guān)的定值？并求出該定值.
如圖，橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)分別為A，B，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓C上，且PF⊥x軸，若AB∥OP，且|AB|=2eq \r(3).
(1)求橢圓C的方程；
(2)Q是橢圓C上不同于長軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，在x軸上是否存在一點(diǎn)D，使得直線QA與QD的斜率乘積恒為定值？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的離心率為eq \f(2\r(2),3)，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn).
(1)若以AF1為直徑的動圓內(nèi)切于圓x2＋y2=9，求橢圓的長軸的長；
(2)當(dāng)b=1時(shí)，問在x軸上是否存在定點(diǎn)T，，使得eq \(TA,\s\up15(→))·eq \(TB,\s\up15(→))為定值？并說明理由.
已知點(diǎn)E(－2,0)，橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(2,0)，過點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，△ABE的周長為12.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若直線l交y軸于點(diǎn)N，已知eq \(NA,\s\up15(→))=meq \(AF,\s\up15(→))，eq \(NB,\s\up15(→))=neq \(BF,\s\up15(→))，求m＋n的值.
已知橢圓E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，且離心率e=eq \f(1,2).
(1)求橢圓E的方程；
(2)設(shè)橢圓E的右頂點(diǎn)為A，若直線l：y=kx＋m與橢圓E相交于M、N兩點(diǎn)(異于A點(diǎn))，
且滿足MA⊥NA，試證明直線l經(jīng)過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
\s 0 答案詳解
解：(1)由內(nèi)切圓的性質(zhì)，得eq \f(1,2)×2c×b=eq \f(1,2)×(2a＋2c)×eq \f(b,3)，得eq \f(c,a)=eq \f(1,2).
將x=c代入eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1，得y=±eq \f(b2,a)，所以eq \f(2b2,a)=3.
又a2=b2＋c2，所以a=2，b=eq \r(3)，
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1.
(2)當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，顯然x軸上任意一點(diǎn)T都滿足TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱.
當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，假設(shè)存在T(t,0)滿足條件，
設(shè)l的方程為y=k(x－1)，R(x1，y1)，S(x2，y2).
聯(lián)立方程，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k?x－1?，,3x2＋4y2－12＝0，))得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝\f(8k2,3＋4k2)，,x1x2＝\f(4k2－12,3＋4k2))) ①，
其中Δ>0恒成立，
由TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱，得kTS＋kTR=0(顯然TS，TR的斜率存在)，
即eq \f(y1,x1－t)＋eq \f(y2,x2－t)=0 ②.
因?yàn)镽，S兩點(diǎn)在直線y=k(x－1)上，所以y1=k(x1－1)，y2=k(x2－1)，
代入②得eq \f(k?x1－1??x2－t?＋k?x2－1??x1－t?,?x1－t??x2－t?)
=eq \f(k[2x1x2－?t＋1??x1＋x2?＋2t],?x1－t??x2－t?)=0，即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t=0 ③，
將①代入③得eq \f(8k2－24－?t＋1?8k2＋2t?3＋4k2?,3＋4k2)=eq \f(6t－24,3＋4k2)=0 ④，
則t=4，
綜上所述，存在T(4,0)，使得當(dāng)l變化時(shí)，總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱.
解：(1)因?yàn)闄E圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)，經(jīng)過點(diǎn)P(0,1)，所以b=1.
又e=eq \f(\r(3),2)，所以eq \f(c,a)=eq \f(\r(3),2)，解得a=2.
所以橢圓C的方程為eq \f(x2,4)＋y2=1.
(2)證明：若直線AB的斜率不存在，則直線l的方程為x=2，
此時(shí)直線與橢圓相切，不符合題意.
設(shè)直線AB的方程為y＋1=k(x－2)，
即y=kx－2k－1，
聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－2k－1，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得(1＋4k2)x2－8k(2k＋1)x＋16k2＋16k=0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2=eq \f(8k?2k＋1?,1＋4k2)，x1x2=eq \f(16k2＋16k,1＋4k2).
則k1＋k2=eq \f(y1－1,x1)＋eq \f(y2－1,x2)=eq \f(x2?kx1－2k－2?＋x1?kx2－2k－2?,x1x2)
=eq \f(2kx1x2－?2k＋2??x1＋x2?,x1x2)
=2k－eq \f(?2k＋2??x1＋x2?,x1x2)
=2k－eq \f(?2k＋2?·8k?2k＋1?,16k?k＋1?)
=2k－(2k＋1)=－1.
所以k1＋k2為定值，且定值為－1.
解：(1)依題意，|PF1|＋|PF2|=2a=4，故a=2.
將(-1,-1.5)代入eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)=1中，解得b2=3，
故橢圓C的方程是eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1.
(2)證明：由題意知直線l的斜率必存在，設(shè)l的方程為y=k(x－4).
點(diǎn)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，N(x1，－y1)，
聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k?x－4?，,3x2＋4y2＝12))得3x2＋4k2(x－4)2=12，
即(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12=0，
則Δ>0，x1＋x2=eq \f(32k2,3＋4k2)，x1x2=eq \f(64k2－12,3＋4k2).
由題可得直線FN方程為y＋y1=eq \f(y2＋y1,x2－x1)(x－x1).
又∵y1=k(x1－4)，y2=k(x2－4)，
∴直線FN方程為y＋k(x1－4)=eq \f(k?x2－4?＋k?x1－4?,x2－x1)(x－x1)，
令y=0，整理得
x=eq \f(x1x2－4x2－x\\al(2,1)＋4x1,x1＋x2－8)＋x1=eq \f(2x1x2－4?x1＋x2?,x1＋x2－8)=eq \f(2×\f(64k2－12,3＋4k2)－4×\f(32k2,3＋4k2),\f(32k2,3＋4k2)－8)=eq \f(\f(－24,3＋4k2),\f(－24,3＋4k2))=1，
即直線FN過點(diǎn)(1,0).
解：(1)連接MQ，依題意，可得圓N的圓心N(－eq \r(3)，0)，半徑為2eq \r(6)，|MP|=|MQ|，
則|MN|＋|MQ|=|MN|＋|MP|=|NP|=2eq \r(6)>2eq \r(3)=|NQ|，
根據(jù)橢圓的定義，得點(diǎn)M的軌跡是以N，Q為焦點(diǎn)，長軸的長為2eq \r(6)的橢圓，
即2a=2eq \r(6)，2c=2eq \r(3)，
∴b=eq \r(a2－c2)=eq \r(3).
∴點(diǎn)M的軌跡C的方程為eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)=1.
(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯(lián)立直線與橢圓的方程，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2y2＝6，,y＝kx＋m，))
消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6=0.
由Δ=16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－6)>0，得m20.
當(dāng)m=－2k時(shí)，直線l的方程為y=k(x－2)，直線l過定點(diǎn)A，與題設(shè)矛盾；
當(dāng)m=－eq \f(2k,7)時(shí)，直線l的方程為y=keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,7)))，直線l過定點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,7)，0))，
所以直線l經(jīng)過定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,7)，0)).

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