第六章 6.2等差數(shù)列-2021屆高三數(shù)學(xué)一輪基礎(chǔ)復(fù)習(xí)講義（學(xué)生版+教師版）【機(jī)構(gòu)專用】-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

1、判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列．(　　)(2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．(　　)(3)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)．(　　)(4)已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝3－2n，則它的公差為－2.(　　)2、在等差數(shù)列{an}中，若a2＝4，a4＝2，則a6等于(　　)A．－1 B．0 C．1 D．63、已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27，a10＝8，則a100等于(　　)A．100 B．99 C．98 D．974、已知數(shù)列{an}中，a3＝3，an＋1＝an＋2，則a2＋a4＝________，an＝________.5、若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當(dāng)n＝________時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和最大．無題型一　等差數(shù)列基本量的運(yùn)算例1　(1)在數(shù)列{an}中，若a1＝－2，且對(duì)任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，則數(shù)列{an}前10項(xiàng)的和為(　　)A．2 B．10 C. D.(2)已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．若a1＝6，a3＋a5＝0，則S6＝________. 【同步練習(xí)】(1)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a2＝3，a6＝11，則S7等于(　　)A．13 B．35C．49 D．63(2)已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．若a1＋a＝－3，S5＝10，則a9的值是________．題型二　等差數(shù)列的判定與證明例2　已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足bn＝(n∈N*)．(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說明理由．引申探究例2中，若條件變?yōu)?/span>a1＝，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．【同步練習(xí)】(1)在數(shù)列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，則該數(shù)列的通項(xiàng)為(　　)A．an＝ B．an＝C．an＝ D．an＝(2)數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.①設(shè)bn＝an＋1－an，證明{bn}是等差數(shù)列；②求{an}的通項(xiàng)公式． 1．等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示．2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，那么它的通項(xiàng)公式是an＝a1＋(n－1)d.3．等差中項(xiàng)由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列．這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng)．4．等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．(5)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．(6)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…構(gòu)成等差數(shù)列．5．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，其前n項(xiàng)和Sn＝或Sn＝na1＋d.6．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系Sn＝n2＋n.數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．7．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值在等差數(shù)列{an}中，若a1>0，d<0，則Sn存在最大值；若a1<0，d>0，則Sn存在最小值．【知識(shí)拓展】等差數(shù)列的四種判斷方法(1)定義法：an＋1－an＝d(d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．(2)等差中項(xiàng)法：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)?{an}是等差數(shù)列．(3)通項(xiàng)公式：an＝pn＋q(p，q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．(4)前n項(xiàng)和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．題型三　等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用命題點(diǎn)1　等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)例3　(1)已知{an}為等差數(shù)列，若a1＋a5＋a9＝8π，則{an}前9項(xiàng)的和S9＝______，cos(a3＋a7)的值為________．(2)已知{an}，{bn}都是等差數(shù)列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，則a5＋b6＝________.命題點(diǎn)2　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)例4　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S3＝－12，S9＝45，則S12＝________.(2)在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2 018，其前n項(xiàng)和為Sn，若－＝2，則S2 018的值等于(　　)A．－2 018 B．－2 016C．－2 019 D．－2 017【同步練習(xí)】(1)在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11等于(　　)A．58 B．88 C．143 D．176(2)等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，若＝，則等于(　　)A. B.C. D. 題型四等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及其最值例5 (1)在等差數(shù)列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，則此數(shù)列前10項(xiàng)的和S10等于(　　)A．45 B．60C．75 D．90(2)在等差數(shù)列{an}中，S10＝100，S100＝10，則S110＝________.例6 在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝20，前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝S15，求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn取得最大值，并求出它的最大值．一、等差數(shù)列運(yùn)算問題的通性通法(1)等差數(shù)列運(yùn)算問題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d，然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解．(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題．二、等差數(shù)列的四個(gè)判定方法(1)定義法：證明對(duì)任意正整數(shù)n都有an＋1－an等于同一個(gè)常數(shù)．(2)等差中項(xiàng)法：證明對(duì)任意正整數(shù)n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可遞推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根據(jù)定義得出數(shù)列{an}為等差數(shù)列．(3)通項(xiàng)公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，根據(jù)定義判定數(shù)列{an}為等差數(shù)列．(4)前n項(xiàng)和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根據(jù)Sn，an的關(guān)系，得出an，再使用定義法證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列．三、等差數(shù)列的性質(zhì)(1)項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，am－an＝(m－n)d?＝d(m≠n)，其幾何意義是點(diǎn)(n，an)，(m，am)所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差．(2)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，則①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an. 1．在數(shù)列{an}中，an＋1－an＝2，a2＝5，則{an}的前4項(xiàng)和為(　　)A．9 B．22C．24 D．322．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，則a4＋a5＋a6等于(　　)A．40 B．42C．43 D．453．已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n>3)，Sn＝100，則n的值為(　　)A．8 B．9C．10 D．114．各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列{an}中，若an＋1＝a－an－1(n∈N*，n≥2)，則S2 016等于(　　)A．0 B．2 C．2 015 D．4 0325．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝an－，且a1＝5，設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn，則使得Sn取得最大值的序號(hào)n的值為(　　)A．7 B．8C．7或8 D．8或9*6.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若為常數(shù)，則稱數(shù)列{an}為“吉祥數(shù)列”．已知等差數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為1，公差不為0，若數(shù)列{bn}為“吉祥數(shù)列”，則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為(　　)A．bn＝n－1 B．bn＝2n－1C．bn＝n＋1 D．bn＝2n＋17．已知數(shù)列{an}中，a1＝1且＝＋(n∈N*)，則a10＝________.8．設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－10(n∈N*)，則|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.9．設(shè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對(duì)任意自然數(shù)n都有＝，則＋的值為________．10．設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，則a20的值是________．11．在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和Sk＝－35，求k的值． 12．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.(1)求證：成等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． *13.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2Sn＝a＋n－4(n∈N*)．(1)求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

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