1．多面體的結(jié)構(gòu)特征
2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征
3.三視圖與直觀圖
4.多面體的表面積、側(cè)面積
因?yàn)槎嗝骟w的各個(gè)面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和．
5．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式
6.柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積
概念方法微思考
1．如何求旋轉(zhuǎn)體的表面積？
提示 求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí)需要將曲面展開(kāi)為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面積之和．
2．如何求不規(guī)則幾何體的體積？
提示 求不規(guī)則幾何體的體積要注意分割與補(bǔ)形，將不規(guī)則的幾何體通過(guò)分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解．
題組一 思考辨析
1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．( × )
(2)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同．( × )
(3)臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差．( √ )
(4)錐體的體積等于底面積與高之積．( × )
題組二 教材改編
2．已知圓錐的表面積等于12π cm2，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為( )
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D.eq \f(3,2) cm
答案 B
解析 S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，
∴r2＝4，∴r＝2.
3.如圖，將一個(gè)長(zhǎng)方體用過(guò)相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個(gè)棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為_(kāi)_______．
答案 1∶47
解析 設(shè)長(zhǎng)方體的相鄰三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，它截出棱錐的體積V1＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)a×eq \f(1,2)b×eq \f(1,2)c＝eq \f(1,48)abc，剩下的幾何體的體積V2＝abc－eq \f(1,48)abc＝eq \f(47,48)abc，所以V1∶V2＝1∶47.
題組三 易錯(cuò)自糾
4．體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為( )
A．12π B.eq \f(32,3)π C．8π D．4π
答案 A
解析 由題意可知正方體的棱長(zhǎng)為2，其體對(duì)角線長(zhǎng)為2eq \r(3)即為球的直徑，所以球的表面積為4πR2＝(2R)2π＝12π，故選A.
5．如圖，直觀圖所表示的平面圖形是( )
A．正三角形 B．銳角三角形
C．鈍角三角形 D．直角三角形
答案 D
解析 由直觀圖中，A′C′∥y′軸，B′C′∥x′軸，還原后AC∥y軸，BC∥x軸．所以△ABC是直角三角形．故選D.
6．(2018·全國(guó)Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖所示．圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在側(cè)視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為( )
A．2eq \r(17) B．2eq \r(5)
C．3 D．2
答案 B
解析 先畫出圓柱的直觀圖，根據(jù)題中的三視圖可知，點(diǎn)M，N的位置如圖①所示．
圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖及M，N的位置(N為OP的四等分點(diǎn))如圖②所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑．
|ON|＝eq \f(1,4)×16＝4，|OM|＝2，
∴|MN|＝eq \r(|OM|2＋|ON|2)＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5).
故選B.
空間幾何體
命題點(diǎn)1 三視圖
例1 (2018·全國(guó)Ⅲ)中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是( )
答案 A
解析 由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖應(yīng)選A.
命題點(diǎn)2 直觀圖
例2 已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq \r(2)，下底AB＝3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為_(kāi)_______．
答案 eq \f(\r(2),2)
解析 如圖所示，作出等腰梯形ABCD的直觀圖．
因?yàn)镺E＝eq \r(?\r(2)?2－1)＝1，所以O(shè)′E′＝eq \f(1,2)，E′F＝eq \f(\r(2),4)，
則直觀圖A′B′C′D′的面積S′＝eq \f(1＋3,2)×eq \f(\r(2),4)＝eq \f(\r(2),2).
命題點(diǎn)3 展開(kāi)圖
例3 母線長(zhǎng)為1的圓錐體，其側(cè)面展開(kāi)圖的面積為eq \f(π,2)，則該圓錐的體積為_(kāi)_______．
答案 eq \f(\r(3),24)π
解析 圓錐體其側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，S＝πrl＝eq \f(π,2)，解得r＝eq \f(1,2)，由圓錐的軸截面圖可得h＝eq \f(\r(3),2)， V＝eq \f(1,3)πr2h＝eq \f(1,3)π×eq \f(1,4)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),24)π.
思維升華 (1)由幾何體求三視圖，要注意觀察的方向，掌握“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊，寬相等”的基本要求，由三視圖推測(cè)幾何體，可以先利用俯視圖推測(cè)底面，然后結(jié)合正視圖、側(cè)視圖推測(cè)幾何體的可能形式．
(2)畫幾何體的直觀圖，掌握線段方向、長(zhǎng)度兩要素即可；幾何體的展開(kāi)圖和原幾何體的關(guān)系(形狀和數(shù)量關(guān)系)是解題重點(diǎn)．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線畫出的是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是( )
A．三棱錐 B．三棱柱
C．四棱錐 D．四棱柱
答案 B
解析 由題意知，該幾何體的三視圖為一個(gè)三角形、兩個(gè)四邊形，經(jīng)分析可知該幾何體為三棱柱．
(2)如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖(斜二測(cè)畫法)是一個(gè)底角為45°、腰和上底長(zhǎng)均為2的等腰梯形，則這個(gè)平面圖形的面積是( )
A．2＋eq \r(2) B．1＋eq \r(2)
C．4＋2eq \r(2) D．8＋4eq \r(2)
答案 D
解析 由已知直觀圖根據(jù)斜二測(cè)畫法規(guī)則畫出原平面圖形，如圖所示，所以這個(gè)平面圖形的面積為eq \f(4×?2＋2＋2\r(2)?,2)＝8＋4eq \r(2)，故選D.
(3)(2019·北京市宣武區(qū)質(zhì)檢)將下面的展開(kāi)圖恢復(fù)成正方體后，∠ABC的度數(shù)為_(kāi)_______．
答案 60°
解析 把圖形復(fù)原后，連接三點(diǎn)恰好構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，所以為60°.
表面積與體積
命題點(diǎn)1 表面積
例4 (1)(2018·全國(guó)Ⅰ)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為( )
A．12eq \r(2)π B．12π
C．8eq \r(2)π D．10π
答案 B
解析 設(shè)圓柱的軸截面的邊長(zhǎng)為x，
則由x2＝8，得x＝2eq \r(2)，
∴S圓柱表＝2S底＋S側(cè)＝2×π×(eq \r(2))2＋2π×eq \r(2)×2eq \r(2)＝12π.故選B.
(2)(2019·淄博檢測(cè))某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為( )
A．3π＋4 B.eq \f(9,2)π＋4
C．4π＋2 D.eq \f(11,2)π＋4
答案 B
解析 由已知中的三視圖可得該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的四分之三圓柱，其底面半徑為1，高為2，
故其表面積S＝2×eq \f(3,4)×π×12＋eq \f(3,4)×2π×1×2＋2×2×1＝eq \f(9π,2)＋4.故選B.
命題點(diǎn)2 體積
例5 (1)如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為eq \r(3)，D為BC的中點(diǎn)，則三棱錐A－B1DC1的體積為( )
A．3 B.eq \f(3,2)
C．1 D.eq \f(\r(3),2)
答案 C
解析 如題圖，因?yàn)椤鰽BC是正三角形，
且D為BC中點(diǎn)，則AD⊥BC.
又因?yàn)锽B1⊥平面ABC，AD?平面ABC，
故BB1⊥AD，且BB1∩BC＝B，BB1，BC?平面BCC1B1，
所以AD⊥平面BCC1B1，
所以AD是三棱錐A－B1DC1的高．
所以＝eq \f(1,3) ·AD
＝eq \f(1,3)×eq \r(3)×eq \r(3)＝1.
(2)(2017·全國(guó)Ⅱ)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為( )
A．90π B．63π
C．42π D．36π
答案 B
解析 方法一 (割補(bǔ)法)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱截去上面虛線部分所得，如圖所示．
將圓柱補(bǔ)全，并將圓柱從點(diǎn)A處水平分成上下兩部分．由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的eq \f(1,2)，所以該幾何體的體積V＝π×32×4＋π×32×6×eq \f(1,2)＝63π.故選B.
方法二 (估值法)由題意知，eq \f(1,2)V圓柱

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