育才學(xué)校2021屆高三下學(xué)期最后一次模擬檢測(cè)文科數(shù)學(xué)一、選擇題（本大題共12小題，共60分）設(shè)集合，，則A.  B.
C.  D. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，，則A. 5 B.  C.  D. 已知非零向量，滿足，且，則向量，的夾角A.  B.  C.  D. 2021年開(kāi)始，我省將試行““的普通高考新模式，即除語(yǔ)文數(shù)學(xué)、外語(yǔ)3門(mén)必選科目外，考生再?gòu)奈锢怼v史中選1門(mén)，從化學(xué)、生物、地理、政治中選2門(mén)作為選考科目．為了幫助學(xué)生合理選科，某中學(xué)將高一每個(gè)學(xué)生的六門(mén)科目綜合成績(jī)按比例均縮放成5分制，繪制成雷達(dá)圖．甲同學(xué)的成績(jī)雷達(dá)圖如圖所示，下面敘述一定不正確的是A. 甲的物理成績(jī)領(lǐng)先年級(jí)平均分最多
B. 甲有2個(gè)科目的成績(jī)低于年級(jí)平均分
C. 甲的成績(jī)從高到低的前3個(gè)科目依次是地理化學(xué)、歷史
D. 對(duì)甲而言，物理、化學(xué)、地理是比較理想的一種選科結(jié)果
 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則幾何體的表面積是A. 12                     B.
C.                 D. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，滿足當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A.  B.  C.  D. 函數(shù)的圖象大致為A.  B.
C.  D. 雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作傾斜角為的直線與y軸和雙曲線右支分別交于A，B兩點(diǎn)，若A點(diǎn)平分，則該雙曲線的離心率是A.  B.  C. 2 D. 記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式A. n B.  C.  D. 設(shè)，，，則a，b，c的大小順序?yàn)?/span>A.  B.  C.  D. 將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，下列說(shuō)法正確的是A. 是奇函數(shù)
B. 的周期是
C. 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
D. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱在直四棱柱中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，點(diǎn)E在線段AD上，且滿足，過(guò)點(diǎn)E作直四棱柱外接球的截面，所得的截面面積的最大值與最小值之差為，則直四棱柱外接球的表面積為A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共4小題，共20分）宋元時(shí)期是我國(guó)古代數(shù)學(xué)非常輝煌的時(shí)期，其中秦九韶、李治、楊輝、朱世杰并稱宋元數(shù)學(xué)四大家，其代表作有秦九韶的數(shù)書(shū)九章，李治的測(cè)圓海鏡和益古演段，楊輝的詳解九章算法和楊輝算法，朱世杰的算學(xué)啟蒙和四元玉鑒現(xiàn)有數(shù)學(xué)著作數(shù)書(shū)九章，測(cè)圓海鏡，益古演段，詳解九章算法，楊輝算法，算學(xué)啟蒙，四元玉鑒，共七本，從中任取2本，至少含有一本楊輝的著作的概率是______ ．已知內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，，則面積為______ ．設(shè)變量x，y滿足約束條件，則的最大值為______．已知函數(shù)，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，則函數(shù)的切線方程為______ ．三、解答題(本大題共6小題,共70分。其中22、23為選考題。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。)（12分）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．
求角B的大小；
若，，D為BC邊上一點(diǎn)，，求的值．






 （12分）某商店銷(xiāo)售某海鮮，統(tǒng)計(jì)了春節(jié)前后50天海鮮的需求量，單位：千克，其頻率分布直方圖如圖所示，該海鮮每天進(jìn)貨1次，商店每銷(xiāo)售1千克可獲利50元；若供大于求，剩余的降價(jià)處理，每處理1千克虧損10元；若供不應(yīng)求，可從其他商店挑撥，每銷(xiāo)售1千克可獲利30元．假設(shè)商店每天該海鮮的進(jìn)貨量為14千克，商店的日利潤(rùn)為y元．求商店日利潤(rùn)y關(guān)于需求量x的函數(shù)表達(dá)式；假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替．求這50天商店銷(xiāo)售該海鮮日利潤(rùn)的平均數(shù)；估計(jì)日利潤(rùn)在區(qū)間內(nèi)的概率．






 （12分）如圖，在直四棱柱中，上、下底面均為菱形，點(diǎn)G，H，M分別為AC，，BC的中點(diǎn)．
求證：平面；
若，求證：平面．

  






 （12分）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，M為C上一點(diǎn)，面積的最大值為．
求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
設(shè)動(dòng)直線l過(guò)且與C交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)作直線l的平行線，交C于R、N兩點(diǎn)，記的面積為，的面積為，試問(wèn)：是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，說(shuō)明理由．






 （12分）已知函數(shù)．
求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
證明：對(duì)任意，都有．






 選修4 - 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．
Ⅰ求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
Ⅱ設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求面積的最大值．






 選修4-5：不等式選講（10分）已知函數(shù)．
當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；
若時(shí)，不等式成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．







答案解析1.B【解析】，或，，
，，，
．故選：B．
2.A【解析】復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，，
，
，故選：A．
3.D【解析】非零向量，滿足，且，
可得：，，
，向量，的夾角，
．
，．故選：D．
4.C【解析】甲的成績(jī)從高到低的前3個(gè)科目依次是地理、化學(xué)、生物物理，
C選項(xiàng)錯(cuò)，故選：C．
5.C【解析】解：由題意，幾何體為底面邊長(zhǎng)為2的四棱錐，高為2，所以幾何體的表面積為：；故選：C．
6.B【解析】解：因?yàn)?/span>，，
時(shí)，，
時(shí)，，，
時(shí)，，，
故存在，由，解得或，
若對(duì)任意，都有，則．故選：B．
7.B【解析】解：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，
，則函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除C，
當(dāng)時(shí)，，排除A，
當(dāng)，排除D，故選：B．
8.A【解析】解：，，
在y軸上，且A是的中點(diǎn)，
，
，
，
，即，
整理得：，
，
解得或舍．故選：A．
9.B【解析】解：差數(shù)列中，，，
所以，
解得，，
則數(shù)列的通項(xiàng)公式．故選：B．
10.A【解析】解：，，
所以，
，
因?yàn)?/span>，
所以，
綜上．故選：A．
11.D【解析】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
得到函數(shù)的圖象，
故是偶函數(shù)，最小正周期為，故A、B錯(cuò)誤；
令，求得，不是最值，故C錯(cuò)誤；
令，求得，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D正確，故選：D．
12.B【解析】解：四棱柱是直四棱柱，且底面是正方形，
其外接球的球心位于直四棱柱的中心，記作O，過(guò)O向底面ABCD作垂線，垂足為G，
則，連接BD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，為BD的中點(diǎn)，
取AD的中點(diǎn)F，連接OF，OE，OB，
設(shè)，則，外接球的半徑．
點(diǎn)E在線段AD上，且滿足，則，
又，．
直四棱柱中，側(cè)面，，側(cè)面，
，又底面ABCD，
，又，平面OFG，則．
則．
根據(jù)球的特征，過(guò)點(diǎn)E作直四棱柱的外接球的截面，
當(dāng)截面過(guò)球心時(shí)，截面面積最大，此時(shí)截面面積為，
當(dāng)OE垂直于截面時(shí)，此時(shí)截面圓的半徑為．
此時(shí)截面面積為
又截面面積的最大值與最小值之差為，
，
因此，即，則，
直四棱柱外接球的表面積為．故選：B．
13.【解析】解：共七本，從中任取2本，共有種，
一本也不含楊輝的著作的共有種，
所以從中任取2本，至少含有一本楊輝的著作的概率是．故答案為：．
14.【解析】解：由結(jié)合正弦定理得，即，
因?yàn)?/span>，，
由余弦定理可得，
解得，，，
又，
則的面積．故答案為：．
15.4【解析】解：作出變量x，y滿足約束條件，
對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
變形，得
平移此直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)A時(shí)，
直線在y軸的截距最大，得到z最大，
由，解得
所以的最大值為．故答案為：4．
16.【解析】解：把點(diǎn)代入可知，點(diǎn)不在曲線上．
設(shè)切點(diǎn)為，，，則所求切線的斜率又，
，，，，
所求的切線方程為，即．
故答案為：．
17.解：因?yàn)?/span>，
由正弦定理得，
故，
所以，
因?yàn)?/span>，
所以，即，
因?yàn)?/span>，
所以；
因?yàn)?/span>，，
所以，，
中，由余弦定理得，，
所以，
由正弦定理得，
故．
 18.解：根據(jù)題意可得：商店的日利潤(rùn)y關(guān)于需求量x的函數(shù)表達(dá)式為，

化簡(jiǎn)得：；
由頻率分布直方圖得：
海鮮需求量在區(qū)間的頻率是；
海鮮需求量在區(qū)間的頻率是；
海鮮需求量在區(qū)間的頻率是；
海鮮需求量在區(qū)間的頻率是；
海鮮需求量在區(qū)間的頻率是；
這50天商店銷(xiāo)售該海鮮日利潤(rùn)y的平均數(shù)為：



元；
由于時(shí)，，
顯然在區(qū)間上單調(diào)遞增，
，得；
，得；
求日利潤(rùn)y在區(qū)間內(nèi)的概率等價(jià)于求海鮮需求量x在區(qū)間的頻率，
即：．
日利潤(rùn)y在區(qū)間內(nèi)的概率為．
 19.證明：取中點(diǎn)M，AD中點(diǎn)N，連結(jié)NM、GN，
在直四棱柱中，上、下底面均為菱形，
點(diǎn)G，H，M分別為AC，，BC的中點(diǎn)，
，，，
，，，，
平面平面，
平面GNMH，平面．
在直四棱柱中，上、下底面均為菱形，，
是等邊三角形，，
是BC中點(diǎn)，，，
在直四棱柱中，平面，
平面，，
，AM、平面，
平面．
 20.解：設(shè)橢圓C的半焦距為c，
由題意，可知面積的最大值為bc，
所以，解得，，，
所以橢圓的方程為．
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l方程為，，，，
聯(lián)立，得，
所以恒成立，
所以，，
由，可知，，
所以
，
令，則，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
即，時(shí)，取得最大值，最大值為6，
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)，，，，
則，
綜上，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為6．
 21.解：根據(jù)題意可得，，
根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即得，曲線在點(diǎn)處的切線方程即為
，，
函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程即為：．
證明：由得，，
“，即得在R上單調(diào)遞增，
又因?yàn)?/span>，
所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；
綜上可得，函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增．
即得，
所以對(duì)任意的，都有．
 22.解：Ⅰ直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)，，轉(zhuǎn)換為普通方程為．
曲線C的極坐標(biāo)方程為，根據(jù)，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為．
Ⅱ把直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)，，代入，
得到：，
所以，，
故，
點(diǎn)到直線l的距離，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故面積的最大值為．
 23.解：當(dāng)時(shí)，不等式，即，
所以或或，
解得或或，
所以原不等式的解集為或；
若時(shí)，不等式成立，
所以，所以，
所以或，即或在時(shí)恒成立，
由，可得，
所以a的取值范圍是，．
  

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