高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選修4－5 第2節(jié) 不等式的證明

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?第二節(jié)　不等式的證明
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[考綱傳真]　通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法．


1．基本不等式
定理1：設(shè)a，b∈R，則a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號成立．
定理2：如果a，b為正數(shù)，則≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號成立．
定理3：如果a，b，c為正數(shù)，則≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號成立．
定理4：(一般形式的算術(shù)—幾何平均不等式)如果a1，a2，…，an為n個(gè)正數(shù)，則≥，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an時(shí)，等號成立．
2．不等式證明的方法
(1)比較法是證明不等式最基本的方法，可分為作差比較法和作商比較法兩種.
名稱
作差比較法
作商比較法
理論依據(jù)
a＞b?a－b＞0
a＜b?a－b＜0
a＝b?a－b＝0
b＞0，＞1?a＞b
b＜0，＞1?a＜b
(2)綜合法與分析法
①綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)，推導(dǎo)出所要證明的不等式，這種方法叫綜合法．即“由因?qū)Ч钡姆椒ǎ?br /> ②分析法：從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都已經(jīng)具備，那么就可以判定原不等式成立，這種方法叫作分析法．即“執(zhí)果索因”的方法．

1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)比較法最終要判斷式子的符號得出結(jié)論．(　　)
(2)綜合法是從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法，它是從已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步推理，最后達(dá)到待證的結(jié)論．(　　)
(3)分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法，是從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步地尋求結(jié)論成立的必要條件，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí)．(　　)
(4)使用反證法時(shí)，“反設(shè)”不能作為推理的條件應(yīng)用．(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．(教材改編)若a＞b＞1，x＝a＋，y＝b＋，則x與y的大小關(guān)系是(　　)
A．x＞y B．x＜y
C．x≥y D．x≤y
A　[x－y＝a＋－
＝a－b＋＝.
由a＞b＞1得ab＞1，a－b＞0，
所以＞0，即x－y＞0，所以x＞y.]
3．(教材改編)已知a≥b＞0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，則M，N的大小關(guān)系為________．
M≥N　[2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．
因?yàn)閍≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0，
從而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b.]
4．已知a＞0，b＞0且ln(a＋b)＝0，則＋的最小值是________．
4　[由題意得，a＋b＝1，a＞0，b＞0，
∴＋＝(a＋b)＝2＋＋
≥2＋2＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)等號成立．]
5．已知x＞0，y＞0，證明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.
[證明]　因?yàn)閤＞0，y＞0，
所以1＋x＋y2≥3＞0,1＋x2＋y≥3＞0，8分
故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.10分


比較法證明不等式

　已知a＞0，b＞0，求證：＋≥＋.
[證明]　法一：－(＋)
＝＋＝＋
＝＝≥0，
∴＋≥＋.10分
法二：由于＝
＝＝－1≥－1＝1.8分
又a＞0，b＞0，＞0，∴＋≥＋.10分
[規(guī)律方法]　1.在法一中，采用局部通分，優(yōu)化了解題過程；在法二中，利用不等式的性質(zhì)，把證明a＞b轉(zhuǎn)化為證明＞1(b＞0)．
2．作差(商)證明不等式，關(guān)鍵是對差(商)式進(jìn)行合理的變形，特別注意作商證明不等式，不等式的兩邊應(yīng)同號．
提醒：在使用作商比較法時(shí)，要注意說明分母的符號．
[變式訓(xùn)練1]　(2017·莆田模擬)設(shè)a，b是非負(fù)實(shí)數(shù)，
求證：a2＋b2≥(a＋b). 【導(dǎo)學(xué)號：31222447】
[證明]　因?yàn)閍2＋b2－(a＋b)
＝(a2－a)＋(b2－b)
＝a(－)＋b(－)
＝(－)(a－b)
＝.6分
因?yàn)閍≥0，b≥0，所以不論a≥b≥0，還是0≤a≤b，都有a－b與同號，所以(a－b)≥0，
所以a2＋b2≥(a＋b).10分

綜合法證明不等式
　設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明：
【導(dǎo)學(xué)號：31222448】
(1)ab＋bc＋ac≤；
(2)＋＋≥1.
[證明]　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.5分
(2)因?yàn)椋玝≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
則＋＋≥a＋b＋c，所以＋＋≥1.10分
[規(guī)律方法]　1.綜合法證明的實(shí)質(zhì)是由因?qū)Ч渥C明的邏輯關(guān)系是：A?B1?B2?…?Bn?B(A為已知條件或數(shù)學(xué)定義、定理、公理，B為要證結(jié)論)，它的常見書面表達(dá)式是“∵，∴”或“?”．
2．綜合法證明不等式，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系．合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵．
[變式訓(xùn)練2]　(2017·石家莊調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|.
(1)求f(x)的最小值m；
(2)若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且滿足a＋b＋c＝m，求證：＋＋≥3.
[解]　(1)當(dāng)x＜－1時(shí)，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x＞3；2分
當(dāng)－1≤x＜2時(shí)，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3,6)；
當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x≥6.
綜上，f(x)的最小值m＝3.5分
(2)證明：a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且滿足a＋b＋c＝3，
因?yàn)椋?a＋b＋c)
＝＋＋
≥2＝2(a＋b＋c).8分
(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝1時(shí)取“＝”)
所以＋＋≥a＋b＋c，即＋＋≥3.10分

分析法證明不等式
　(2015·全國卷Ⅱ)設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a＋b＝c＋d，證明：
(1)若ab>cd，則＋>＋；
(2)＋>＋是|a－b|(＋)2，
即a＋b＋2>c＋d＋2.
因?yàn)閍＋b＝c＋d，所以ab>cd.
于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab0，且a＋b＝＋.證明：
(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a0，得ab＝1.2分
(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.5分
(2)假設(shè)a2＋a