(1)(2017·江西南昌模擬)直線(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0過定點(diǎn)( )
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31222303】
A．(1，－3) B．(4,3)
C．(3,1)D．(2,3)
(2)(2017·濟(jì)南調(diào)研)一條光線從點(diǎn)(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為( )
A．－eq \f(5,3)或－eq \f(3,5)B．－eq \f(3,2)或－eq \f(2,3)
C．－eq \f(5,4)或－eq \f(4,5)D．－eq \f(4,3)或－eq \f(3,4)
(1)C (2)D [(1)2mx＋x＋my＋y－7m－4＝0，即(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝7，,x＋y＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝1，))則直線過定點(diǎn)(3,1)．
(2)由已知，得點(diǎn)(－2，－3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(2，－3)，由入射光線與反射光線的對(duì)稱性，知反射光線一定過點(diǎn)(2，－3)．
設(shè)反射光線所在直線的斜率為k，則反射光線所在直線的方程為y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.
由反射光線與圓相切，則有d＝eq \f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋1))＝1，
解得k＝－eq \f(4,3)或k＝－eq \f(3,4).]
[規(guī)律方法] 1.直線過定點(diǎn)問題，可將直線中的參數(shù)賦值，解方程組得交點(diǎn)坐標(biāo)．
2．直線方程常與直線垂直、平行、距離等知識(shí)交匯考查，考查直線方程的求法以及直線間的位置關(guān)系等．注意數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想的應(yīng)用．
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1] (2017·福建龍巖二模)已知m，n為正整數(shù)，且直線2x＋(n－1)y－2＝0與直線mx＋ny＋3＝0互相平行，則2m＋n的最小值為( )
A．7B．9
C．11D．16
B [直線2x＋(n－1)y－2＝0與直線mx＋ny＋3＝0互相平行，
∴2n＝m(n－1)，
∴m＋2n＝mn，
又m>0，n>0，得eq \f(2,m)＋eq \f(1,n)＝1.
∴2m＋n＝(2m＋n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,m)＋\f(1,n)))＝5＋eq \f(2n,m)＋eq \f(2m,n)≥5＋2eq \r(\f(2n,m)·\f(2m,n))＝9.
當(dāng)且僅當(dāng)eq \f(2n,m)＝eq \f(2m,n)時(shí)取等號(hào)．
∴2m＋n的最小值為9.]
重點(diǎn)2 圓的方程
(1)若圓x2＋y2－ax＋2y＋1＝0與圓x2＋y2＝1關(guān)于直線y＝x－1對(duì)稱，過點(diǎn)C(－a，a)的圓P與y軸相切，則圓心P的軌跡方程為( )
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31222304】
A．y2－4x＋4y＋8＝0 B．y2＋2x－2y＋2＝0
C．y2＋4x－4y＋8＝0D．y2－2x－y－1＝0
(2)(2015·全國卷Ⅱ)過三點(diǎn)A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，則|MN|＝( )
A．2eq \r(6)B．8
C．4eq \r(6)D．10
(1)C (2)C [(1)由圓x2＋y2－ax＋2y＋1＝0與圓x2＋y2＝1關(guān)于直線y＝x－1對(duì)稱，可知兩圓半徑相等且兩圓圓心連線的中點(diǎn)在直線y＝x－1上，故可得a＝2，即點(diǎn)C(－2,2)．
∴過點(diǎn)C(－2,2)且與y軸相切的圓的圓心的軌跡方程為(x＋2)2＋(y－2)2＝x2，整理得y2＋4x－4y＋8＝0.
(2)設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＋3E＋F＋10＝0，,4D＋2E＋F＋20＝0，,D－7E＋F＋50＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝4，,F＝－20.))
∴圓的方程為x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
令x＝0，得y＝－2＋2eq \r(6)或y＝－2－2eq \r(6)，
∴M(0，－2＋2eq \r(6))，N(0，－2－2eq \r(6))或M(0，－2－2eq \r(6))，N(0，－2＋2eq \r(6))，∴|MN|＝4eq \r(6).]
[規(guī)律方法] 求圓的方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程．一般來說，求圓的方程有兩種方法：
(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量．確定圓的方程時(shí)，常用到的圓的三個(gè)性質(zhì)：①圓心在過切點(diǎn)且垂直切線的直線上；②圓心在任一弦的中垂線上；③兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線．
(2)代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解．
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2] (2017·河北唐山二模)直線l：eq \f(x,4)＋eq \f(y,3)＝1與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB內(nèi)切圓的方程為__________．
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31222305】
(x－1)2＋(y－1)2＝1 [由題意，設(shè)△OAB的內(nèi)切圓的圓心為M(m，m)，則半徑為|m|.
直線l的方程eq \f(x,4)＋eq \f(y,3)＝1可化為3x＋4y－12＝0，
由題意可得eq \f(|3m＋4m－12|,\r(32＋42))＝m，解得m＝1或m＝6(不符合題意，舍去)．
∴△OAB內(nèi)切圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1.]
重點(diǎn)3 直線與圓的綜合問題
eq \a\vs4\al(?)角度1 圓的切線
如圖1，已知圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.
(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________；
(2)圓C在點(diǎn)B處的切線在x軸上的截距為__________．
圖1
(1)(x－1)2＋(y－eq \r(2))2＝2 (2)－eq \r(2)－1 [(1)由題意知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，eq \r(2))，圓的半徑r＝eq \r(2).
所以圓的方程為(x－1)2＋(y－eq \r(2))2＝2.
(2)在(x－1)2＋(y－eq \r(2))2＝2中，
令x＝0，解得y＝eq \r(2)±1，故B(0，eq \r(2)＋1)．
直線BC的斜率為eq \f(\r(2)＋1－\r(2),0－1)＝－1，
故切線的斜率為1，切線方程為y＝x＋eq \r(2)＋1.
令y＝0，解得x＝－eq \r(2)－1，
故所求截距為－eq \r(2)－1.]
eq \a\vs4\al(?)角度2 直線與圓相交的弦長問題
(2017·鄭州質(zhì)檢)設(shè)m，n∈R，若直線l：mx＋ny－1＝0與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，且l與圓x2＋y2＝4相交所得弦的長為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB面積的最小值為__________．
3 [由題意知Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)，0))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,n)))，圓的半徑為2，且l與圓的相交弦長為2，則圓心到弦所在直線的距離為eq \r(3).
∴eq \f(1,\r(m2＋n2))＝eq \r(3)?m2＋n2＝eq \f(1,3)，
S△AOB＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2mn)))≥eq \f(1,m2＋n2)＝3，即三角形面積的最小值為3.]
eq \a\vs4\al(?)角度3 直線、圓與相關(guān)知識(shí)的交匯
(2015·全國卷Ⅰ)已知過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點(diǎn)．
(1)求k的取值范圍；
(2)若eq \(OM,\s\up8(→))·eq \(ON,\s\up8(→))＝12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.
[解] (1)由題設(shè)可知直線l的方程為y＝kx＋1.2分
因?yàn)橹本€l與圓C交于兩點(diǎn)，所以eq \f(|2k－3＋1|,\r(1＋k2))

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