?2020年云南省昆明市中考數學試卷
一、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
1．|﹣10|＝　 　．
2．分解因式：m2n﹣4n＝　 ?。?br /> 3．如圖，點C位于點A正北方向，點B位于點A北偏東50°方向，點C位于點B北偏西35°方向，則∠ABC的度數為　 　°．

4．要使有意義，則x的取值范圍是　 ?。?br /> 5．如圖，邊長為2cm的正六邊形螺帽，中心為點O，OA垂直平分邊CD，垂足為B，AB＝17cm，用扳手擰動螺帽旋轉90°，則點A在該過程中所經過的路徑長為　 　cm．
6．觀察下列一組數：﹣，，﹣，，﹣，…，它們是按一定規(guī)律排列的，那么這一組數的第n個數是　 ?。?br /> 二、選擇題（本大題共8小題，每小題只有一個正確選項，每小題4分，共32分）
7．由5個完全相同的正方體組成的幾何體的主視圖是（　?。?br /> A． B． C． D．
8．下列判斷正確的是（　?。?br /> A．北斗系統第五十五顆導航衛(wèi)星發(fā)射前的零件檢查，應選擇抽樣調查
B．一組數據6，5，8，7，9的中位數是8
C．甲、乙兩組學生身高的方差分別為S甲2＝2.3，S乙2＝1.8．則甲組學生的身高較整齊
D．命題“既是矩形又是菱形的四邊形是正方形”是真命題
9．某款國產手機上有科學計算器，依次按鍵：，顯示的結果在哪兩個相鄰整數之間（　?。?br /> A．2～3 B．3～4 C．4～5 D．5～6
10．下列運算中，正確的是（　　）
A．﹣2＝﹣2 B．6a4b÷2a3b＝3ab
C．（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3 D．?＝a
11．不等式組，的解集在以下數軸表示中正確的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
12．某校舉行“停課不停學，名師陪你在家學”活動，計劃投資8000元建設幾間直播教室，為了保證教學質量，實際每間建設費用增加了20%，并比原計劃多建設了一間直播教室，總投資追加了4000元．根據題意，求出原計劃每間直播教室的建設費用是（　?。?br /> A．1600元 B．1800元 C．2000元 D．2400元
13．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝1，與y軸交于點B（0，﹣2），點A（﹣1，m）在拋物線上，則下列結論中錯誤的是（　?。?br /> A．ab＜0 B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正實數根在2和3之間
C．a＝ D．點P1（t，y1），P2（t+1，y2）在拋物線上，當實數t＞時，y1＜y2
14．在正方形網格中，每個小正方形的頂點稱為格點，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形．如圖，△ABC是格點三角形，在圖中的6×6正方形網格中作出格點三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格點三角形△ADE只算一個），這樣的格點三角形一共有（　?。?br /> A．4個 B．5個 C．6個D．7個
三、解答題（本大題共9小題，滿分70分．請考生用黑色碳素筆在答題卡相應的題號后答題區(qū)域內作答，必須寫出運算步驟、推理過程或文字說明，超出答題區(qū)域的作答無效．特別注意：作圖時，必須使用黑色碳素筆在答題卡上作圖）
15．（5分）計算：12021﹣+（π﹣3.14）0﹣（﹣）﹣1．
16．（6分）如圖，AC是∠BAE的平分線，點D是線段AC上的一點，∠C＝∠E，AB＝AD．求證：BC＝DE．

17．（7分）某鞋店在一周內銷售某款女鞋，尺碼（單位：cm）數據收集如下：
24 23.5 21.5 23.5 24.5 23 22 23.5 23.5 23 22.5 23.5 23.5 22.5 24 24 22.5 25 23 23 23.5 23 22.5 23 23.5 23.5 23 24 22 22.5
（1）請補全頻數分布表和頻數分布直方圖；
（2）若店主要進貨，她最應該關注的是尺碼的眾數，上面數據的眾數為　 ?。?br /> （3）若店主下周對該款女鞋進貨120雙，尺碼在23.5≤x＜25.5范圍的鞋應購進約多少雙？
18．（7分）有一個可自由轉動的轉盤，被分成了三個大小相同的扇形，分別標有數字2，4，6；另有一個不透明的瓶子，裝有分別標有數字1，3，5的三個完全相同的小球．小杰先轉動一次轉盤，停止后記下指針指向的數字（若指針指在分界線上則重轉），小玉再從瓶子中隨機取出一個小球，記下小球上的數字．
（1）請用列表或畫樹狀圖的方法（選其中一種）表示出所有可能出現的結果；
（2）若得到的兩數字之和是3的倍數，則小杰贏；若得到的兩數字之和是7的倍數，則小玉贏，此游戲公平嗎？為什么？

19．（8分）為了做好校園疫情防控工作，校醫(yī)每天早上對全校辦公室和教室進行藥物噴灑消毒，她完成3間辦公室和2間教室的藥物噴灑要19min；完成2間辦公室和1間教室的藥物噴灑要11min．
（1）校醫(yī)完成一間辦公室和一間教室的藥物噴灑各要多少時間？
（2）消毒藥物在一間教室內空氣中的濃度y（單位：mg/m3）與時間x（單位：min）的函數關系如圖所示：校醫(yī)進行藥物噴灑時y與x的函數關系式為y＝2x，藥物噴灑完成后y與x成反比例函數關系，兩個函數圖象的交點為A（m，n）．當教室空氣中的藥物濃度不高于1mg/m3時，對人體健康無危害，校醫(yī)依次對一班至十一班教室（共11間）進行藥物噴灑消毒，當她把最后一間教室藥物噴灑完成后，一班學生能否進入教室？請通過計算說明．

20．（8分）如圖，點P是⊙O的直徑AB延長線上的一點（PB＜OB），點E是線段OP的中點．
（1）尺規(guī)作圖：在直徑AB上方的圓上作一點C，使得EC＝EP，連接EC，PC（保留清晰作圖痕跡，不要求寫作法）；并證明PC是⊙O的切線；
（2）在（1）的條件下，若BP＝4，EB＝l，求PC的長．


21．（9分）【材料閱讀】2020年5月27日，2020珠峰高程測量登山隊成功登頂珠穆朗瑪峰，將用中國科技“定義”世界新高度．其基本原理之一是三角高程測量法，在山頂上立一個規(guī)標，找到2個以上測量點，分段測量山的高度，再進行累加．因為地球面并不是水平的，光線在空氣中會發(fā)生折射，所以當兩個測量點的水平距離大于300m時，還要考慮球氣差，球氣差計算公式為f＝（其中d為兩點間的水平距離，R為地球的半徑，R取6400000m），即：山的海拔高度＝測量點測得山的高度+測量點的海拔高度+球氣差．
【問題解決】某?？萍夹〗M的同學參加了一項野外測量某座山的海拔高度活動．如圖，點A，B的水平距離d＝800m，測量儀AC＝1.5m，覘標DE＝2m，點E，D，B在垂直于地面的一條直線上，在測量點A處用測量儀測得山項覘標頂端E的仰角為37°，測量點A處的海拔高度為1800m．（1）數據6400000用科學記數法表示為　 ?。?br /> （2）請你計算該山的海拔高度．（要計算球氣差，結果精確到0.01m）
（參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

22．（8分）如圖，兩條拋物線y1＝﹣x2+4，y2＝﹣x2+bx+c相交于A，B兩點，點A在x軸負半軸上，且為拋物線y2的最高點．
（1）求拋物線y2的解析式和點B的坐標；
（2）點C是拋物線y1上A，B之間的一點，過點C作x軸的垂線交y2于點D，當線段CD取最大值時，求S△BCD．

23．（12分）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，點E，F分別為AB，CD的中點．
（1）求證：四邊形AEFD是矩形；
（2）如圖2，點P是邊AD上一點，BP交EF于點O，點A關于BP的對稱點為點M，當點M落在線段EF上時，則有OB＝OM．請說明理由；
（3）如圖3，若點P是射線AD上一個動點，點A關于BP的對稱點為點M，連接AM，DM，當△AMD是等腰三角形時，求AP的長．


2020年云南省昆明市中考數學試卷
參考答案與試題解析
一、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
1．|﹣10|＝　10?。?br /> 【解答】解：根據負數的絕對值等于它的相反數，得|﹣10|＝10．
故答案為：10．
2．分解因式：m2n﹣4n＝　n（m+2）（m﹣2）?。?br /> 【解答】解：原式＝n（m2﹣4）＝n（m+2）（m﹣2），
故答案為：n（m+2）（m﹣2）
3．如圖，點C位于點A正北方向，點B位于點A北偏東50°方向，點C位于點B北偏西35°方向，則∠ABC的度數為　95　°．

【解答】解：如圖所示：由題意可得，∠1＝∠A＝50°，
則∠ABC＝180°﹣35°﹣50°＝95°．
故答案為：95．

4．要使有意義，則x的取值范圍是　x≠﹣1?。?br /> 【解答】解：要使分式有意義，
需滿足x+1≠0．
即x≠﹣1．
故答案為：x≠﹣1．
5．如圖，邊長為2cm的正六邊形螺帽，中心為點O，OA垂直平分邊CD，垂足為B，AB＝17cm，用扳手擰動螺帽旋轉90°，則點A在該過程中所經過的路徑長為　10π　cm．

【解答】解：連接OD，OC．

∵∠DOC＝60°，OD＝OC，
∴△ODC是等邊三角形，
∴OD＝OC＝DC＝2（cm），
∵OB⊥CD，
∴BC＝BD＝（cm），
∴OB＝BC＝3（cm），
∵AB＝17cm，
∴OA＝OB+AB＝20（cm），
∴點A在該過程中所經過的路徑長＝＝10π（cm），
故答案為10π．

6．觀察下列一組數：﹣，，﹣，，﹣，…，它們是按一定規(guī)律排列的，那么這一組數的第n個數是?。ī?）n．?。?br /> 【解答】解：觀察下列一組數：
﹣＝﹣，
＝，
﹣＝﹣，
＝，
﹣＝﹣，
…，
它們是按一定規(guī)律排列的，
那么這一組數的第n個數是：（﹣1）n ．
故答案為：（﹣1）n ．
二、選擇題（本大題共8小題，每小題只有一個正確選項，每小題4分，共32分）
7．由5個完全相同的正方體組成的幾何體的主視圖是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：由5個完全相同的正方體組成的幾何體的主視圖是．
故選：A．
8．下列判斷正確的是（　?。?br /> A．北斗系統第五十五顆導航衛(wèi)星發(fā)射前的零件檢查，應選擇抽樣調查
B．一組數據6，5，8，7，9的中位數是8
C．甲、乙兩組學生身高的方差分別為S甲2＝2.3，S乙2＝1.8．則甲組學生的身高較整齊
D．命題“既是矩形又是菱形的四邊形是正方形”是真命題
【解答】解：A．北斗系統第五十五顆導航衛(wèi)星發(fā)射前的零件檢查，應選擇全面調查，
所以A選項錯誤；
B．一組數據6，5，8，7，9的中位數是7，
所以B選項錯誤；
C．甲、乙兩組學生身高的方差分別為S甲2＝2.3，S乙2＝1.8．則乙組學生的身高較整齊，
所以C選項錯誤；
D．命題“既是矩形又是菱形的四邊形是正方形”是真命題，
所以D選項正確．
故選：D．
9．某款國產手機上有科學計算器，依次按鍵：，顯示的結果在哪兩個相鄰整數之間（　?。?br />
A．2～3 B．3～4 C．4～5 D．5～6
【解答】解：使用計算器計算得，
4sin60°≈3.464101615，
故選：B．
10．下列運算中，正確的是（　?。?br /> A．﹣2＝﹣2 B．6a4b÷2a3b＝3ab
C．（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3 D．?＝a
【解答】解：A、﹣2＝﹣，此選項錯誤，不合題意；
B、6a4b÷2a3b＝3a，此選項錯誤，不合題意；
C、（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3，正確；
D、?＝?＝﹣a，故此選項錯誤，不合題意；
故選：C．
11．不等式組，的解集在以下數軸表示中正確的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：，
∵解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式組的解集是﹣1＜x≤3，
在數軸上表示為：，
故選：B．
12．某校舉行“停課不停學，名師陪你在家學”活動，計劃投資8000元建設幾間直播教室，為了保證教學質量，實際每間建設費用增加了20%，并比原計劃多建設了一間直播教室，總投資追加了4000元．根據題意，求出原計劃每間直播教室的建設費用是（　　）
A．1600元 B．1800元 C．2000元 D．2400元
【解答】解：設原計劃每間直播教室的建設費用是x元，則實際每間建設費用為1.2x，根據題意得：
，
解得：x＝2000，
經檢驗：x＝2000是原方程的解，
答：每間直播教室的建設費用是2000元，
故選：C．
13．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝1，與y軸交于點B（0，﹣2），點A（﹣1，m）在拋物線上，則下列結論中錯誤的是（　?。?br />
A．ab＜0
B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正實數根在2和3之間
C．a＝
D．點P1（t，y1），P2（t+1，y2）在拋物線上，當實數t＞時，y1＜y2
【解答】解：∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴ab＜0，所以A選項的結論正確；
∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，拋物線與x軸的一個交點坐標在（0，0）與（﹣1，0）之間，
∴拋物線與x軸的另一個交點坐標在（2，0）與（3，0）之間，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正實數根在2和3之間，所以B選項的結論正確；
把B（0，﹣2），A（﹣1，m）代入拋物線得c＝﹣2，a﹣b+c＝m，
而b＝﹣2a，
∴a+2a﹣2＝m，
∴a＝，所以C選項的結論正確；
∵點P1（t，y1），P2（t+1，y2）在拋物線上，
∴當點P1、P2都在直線x＝1的右側時，y1＜y2，此時t≥1；
當點P1在直線x＝1的左側，點P2在直線x＝1的右側時，y1＜y2，此時0＜t＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即＜t＜1，
∴當＜t＜1或t≥1時，y1＜y2，所以D選項的結論錯誤．
故選：D．
14．在正方形網格中，每個小正方形的頂點稱為格點，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形．如圖，△ABC是格點三角形，在圖中的6×6正方形網格中作出格點三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格點三角形△ADE只算一個），這樣的格點三角形一共有（　?。?br />
A．4個 B．5個 C．6個 D．7個
【解答】解：如圖，

所以使得△ADE∽△ABC的格點三角形一共有6個．
故選：C．
三、解答題（本大題共9小題，滿分70分．請考生用黑色碳素筆在答題卡相應的題號后答題區(qū)域內作答，必須寫出運算步驟、推理過程或文字說明，超出答題區(qū)域的作答無效．特別注意：作圖時，必須使用黑色碳素筆在答題卡上作圖）
15．（5分）計算：12021﹣+（π﹣3.14）0﹣（﹣）﹣1．
【解答】解：原式＝1﹣2+1+5
＝5．
16．（6分）如圖，AC是∠BAE的平分線，點D是線段AC上的一點，∠C＝∠E，AB＝AD．求證：BC＝DE．

【解答】證明：∵AC是∠BAE的平分線，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠C＝∠E，AB＝AD．
∴△BAC≌△DAE（AAS），
∴BC＝DE．
17．（7分）某鞋店在一周內銷售某款女鞋，尺碼（單位：cm）數據收集如下：
24 23.5 21.5 23.5 24.5 23 22 23.5 23.5 23 22.5 23.5 23.5 22.5 24 24 22.5 25 23 23 23.5 23 22.5 23 23.5 23.5 23 24 22 22.5
繪制如圖不完整的頻數分布表及頻數分布直方圖：
尺碼/cm
劃記
頻數
21.5≤x＜22.5

3
22.5≤x＜23.5
　　
　12　
23.5≤x＜24.5

13
24.5≤x＜25.5

2
（1）請補全頻數分布表和頻數分布直方圖；
（2）若店主要進貨，她最應該關注的是尺碼的眾數，上面數據的眾數為　23.5　；
（3）若店主下周對該款女鞋進貨120雙，尺碼在23.5≤x＜25.5范圍的鞋應購進約多少雙？

【解答】解：（1）表中答案為：12補全頻數分布表如上表所示：
補全的頻數分布直方圖如圖所示：

（2）樣本中，尺碼為23.5cm的出現次數最多，共出現9次，因此眾數是23.5，
故答案為：23.5；
（3）120×＝60（雙）
答：該款女鞋進貨120雙，尺碼在23.5≤x＜25.5范圍的鞋應購進約60雙．
18．（7分）有一個可自由轉動的轉盤，被分成了三個大小相同的扇形，分別標有數字2，4，6；另有一個不透明的瓶子，裝有分別標有數字1，3，5的三個完全相同的小球．小杰先轉動一次轉盤，停止后記下指針指向的數字（若指針指在分界線上則重轉），小玉再從瓶子中隨機取出一個小球，記下小球上的數字．
（1）請用列表或畫樹狀圖的方法（選其中一種）表示出所有可能出現的結果；
（2）若得到的兩數字之和是3的倍數，則小杰贏；若得到的兩數字之和是7的倍數，則小玉贏，此游戲公平嗎？為什么？

【解答】解：（1）用列表法表示所有可能出現的結果情況如下：

（2）由（1）的表格可知，共有9種可能出現的結果，其中“和為3的倍數”的有3種，“和為7的倍數”的有3種，
∴P（小杰勝）＝＝，P（小玉勝）＝＝，
因此游戲是公平的．
19．（8分）為了做好校園疫情防控工作，校醫(yī)每天早上對全校辦公室和教室進行藥物噴灑消毒，她完成3間辦公室和2間教室的藥物噴灑要19min；完成2間辦公室和1間教室的藥物噴灑要11min．
（1）校醫(yī)完成一間辦公室和一間教室的藥物噴灑各要多少時間？
（2）消毒藥物在一間教室內空氣中的濃度y（單位：mg/m3）與時間x（單位：min）的函數關系如圖所示：校醫(yī)進行藥物噴灑時y與x的函數關系式為y＝2x，藥物噴灑完成后y與x成反比例函數關系，兩個函數圖象的交點為A（m，n）．當教室空氣中的藥物濃度不高于1mg/m3時，對人體健康無危害，校醫(yī)依次對一班至十一班教室（共11間）進行藥物噴灑消毒，當她把最后一間教室藥物噴灑完成后，一班學生能否進入教室？請通過計算說明．

【解答】解：（1）設完成一間辦公室和一間教室的藥物噴灑各要xmin和ymin，
則，解得，
故校醫(yī)完成一間辦公室和一間教室的藥物噴灑各要3min和5min；

（2）一間教室的藥物噴灑時間為5min，則11個房間需要55min，
當x＝5時，y＝2x＝10，故點A（5，10），
設反比例函數表達式為：y＝，將點A的坐標代入上式并解得：k＝50，
故反比例函數表達式為y＝，
當x＝55時，y＝＜1，
故一班學生能安全進入教室．
20．（8分）如圖，點P是⊙O的直徑AB延長線上的一點（PB＜OB），點E是線段OP的中點．
（1）尺規(guī)作圖：在直徑AB上方的圓上作一點C，使得EC＝EP，連接EC，PC（保留清晰作圖痕跡，不要求寫作法）；并證明PC是⊙O的切線；
（2）在（1）的條件下，若BP＝4，EB＝l，求PC的長．

【解答】解：（1）如圖，點C即為所求；

證明：∵點E是線段OP的中點，
∴OE＝EP，
∵EC＝EP，
∴OE＝EC＝EP，
∴∠COE＝∠ECO，∠ECP＝∠P，
∵∠COE+∠ECO+∠ECP+∠P＝180°，
∴∠ECO+∠ECP＝90°，
∴OC⊥PC，且OC是⊙O的半徑，
∴PC是⊙O的切線；
（2）∵BP＝4，EB＝l，
∴OE＝EP＝BP+EB＝5，
∴OP＝2OE＝10，
∴OC＝OB＝OE+EB＝6，
在Rt△OCP中，根據勾股定理，得PC＝＝8．
則PC的長為8．
21．（9分）【材料閱讀】2020年5月27日，2020珠峰高程測量登山隊成功登頂珠穆朗瑪峰，將用中國科技“定義”世界新高度．其基本原理之一是三角高程測量法，在山頂上立一個規(guī)標，找到2個以上測量點，分段測量山的高度，再進行累加．因為地球面并不是水平的，光線在空氣中會發(fā)生折射，所以當兩個測量點的水平距離大于300m時，還要考慮球氣差，球氣差計算公式為f＝（其中d為兩點間的水平距離，R為地球的半徑，R取6400000m），即：山的海拔高度＝測量點測得山的高度+測量點的海拔高度+球氣差．
【問題解決】某校科技小組的同學參加了一項野外測量某座山的海拔高度活動．如圖，點A，B的水平距離d＝800m，測量儀AC＝1.5m，覘標DE＝2m，點E，D，B在垂直于地面的一條直線上，在測量點A處用測量儀測得山項覘標頂端E的仰角為37°，測量點A處的海拔高度為1800m．
（1）數據6400000用科學記數法表示為　6.4×106?。?br /> （2）請你計算該山的海拔高度．（要計算球氣差，結果精確到0.01m）
（參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【解答】解：（1）6400000＝6.4×106，
故答案為6.4×106．

（2）如圖，過點C作CH⊥BE于H．

由題意AB＝CH＝800m，AC＝BH＝1.5m，
在Rt△ECH中，EH＝CH?tan37°≈600（m），
∴DB＝600﹣DE+BH＝599.5（m），
由題意f＝≈0.043（m），
∴山的海拔高度＝599.5+0.043+1800≈2399.54（m）．
22．（8分）如圖，兩條拋物線y1＝﹣x2+4，y2＝﹣x2+bx+c相交于A，B兩點，點A在x軸負半軸上，且為拋物線y2的最高點．
（1）求拋物線y2的解析式和點B的坐標；
（2）點C是拋物線y1上A，B之間的一點，過點C作x軸的垂線交y2于點D，當線段CD取最大值時，求S△BCD．

【解答】解：（1）當y1＝0時，即﹣x2+4＝0，解得x＝2或x＝﹣2，
又點A在x軸的負半軸，
∴點A（﹣2，0），
∵點A（﹣2，0），是拋物線y2的最高點．
∴﹣＝﹣2，即b＝﹣，
把A（﹣2，0）代入y2＝﹣x2﹣x+c得，c＝﹣，
∴拋物線y2的解析式為：y2＝﹣x2﹣x﹣；
由得，，，
∵A（﹣2，0），
∴點B（3，﹣5），
答：拋物線y2的解析式為：y2＝﹣x2﹣x﹣，點B（3，﹣5）；
（2）由題意得，CD＝y1﹣y2＝﹣x2+4﹣（﹣x2﹣x﹣），
即：CD＝﹣x2+x+，
當x＝﹣＝時，CD最大＝﹣×+×+＝5，
∴S△BCD＝×5×（3﹣）＝．
23．（12分）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，點E，F分別為AB，CD的中點．
（1）求證：四邊形AEFD是矩形；
（2）如圖2，點P是邊AD上一點，BP交EF于點O，點A關于BP的對稱點為點M，當點M落在線段EF上時，則有OB＝OM．請說明理由；
（3）如圖3，若點P是射線AD上一個動點，點A關于BP的對稱點為點M，連接AM，DM，當△AMD是等腰三角形時，求AP的長．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠A＝90°，
∵AE＝EB，DF＝FC，
∴AE＝DF，AE∥DF，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∵∠A＝90°，
∴四邊形AEFD是矩形．

（2）證明：如圖2中，連接PM．BM．

∵四邊形AEFD是矩形，
∴EF∥AD，
∵BE＝AE，
∴BO＝OP，
由翻折可知，∠PMB＝∠A＝90°，
∴OM＝OB＝OP．

（3）解：如圖3﹣1中，當MA＝MD時，連接BM，過點M作MH⊥AD于H交BC于F．

∵MA＝MD，MH⊥AD，
∴AH＝HD＝4，
∵∠BAH＝∠ABF＝∠AHF＝90°，
∴四邊形ABFH是矩形，
∴BF＝AH＝4，AB＝FH＝5，
∴∠BFM＝90°，
∵BM＝BA＝5，
∴FM＝＝＝3，
∴HM＝HF＝FM＝5﹣3＝2，
∵∠ABP+∠APB＝90°，∠MAH+∠APB＝90°，
∴∠ABP＝∠MAH，
∵∠BAP＝∠AHM＝90°，
∴△ABP∽△HAM，
∴＝，
∴＝，
∴AP＝．
如圖3﹣2中，當AM＝AD時，連接BM，設BP交AM于F．

∵AD＝AM＝8，BA＝BM＝5，BF⊥AM，
∴AF＝FM＝4，
∴BF＝＝＝3，
∵tan∠ABF＝＝，
∴＝，
∴AP＝，
如圖3﹣3中，當DA＝DM時，此時點P與D重合，AP＝8．


如圖3﹣4中，當MA＝MD時，連接BM，過點M作MH⊥AD于H交BC于F．

∵BM＝5，BF＝4，
∴FM＝3，MH＝3+5＝8，
由△ABP∽△HAM，可得＝，
∴＝，
∴AP＝10，
綜上所述，滿足條件的PA的值為或或8或10．
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