黑龍江省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020-2021學(xué)年度下學(xué)期高三學(xué)年第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題（文科）考試時(shí)間：120分鐘            滿分：150分  一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）1.已知集合，則（   ）A．            B．            C．            D．2.已知,,, 則的大小關(guān)系為（   ）A.         B.        C.         D.    3.2020年11月24日凌晨4時(shí)30分，我國(guó)在文昌航天發(fā)射場(chǎng)用長(zhǎng)征五號(hào)遙五運(yùn)載火箭把嫦娥五號(hào)探測(cè)器順利地送入預(yù)定軌道，開啟我國(guó)首次外太空采樣返回之旅．這為我國(guó)未來月球與行星探測(cè)奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)．在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度（單位：）和燃料的質(zhì)量M（單位：）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量（單位：）的函數(shù)關(guān)系是.若火箭的最大速度為，則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量（除燃料外）的比值約為（參考數(shù)據(jù)：）（    ）A．         B．          C．         D．4.已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，若（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為（   ）A.             B.              C.             D.5.等差數(shù)列的前15項(xiàng)和，則（   ）A． B．6 C．10 D．146.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和圓，在圓上任取一點(diǎn)，連接，則直線的斜率大于的概率是（   ）A．            B．             C．            D．7.已知公比為的等比數(shù)列的首項(xiàng)，則“”是“”的（   ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8.斐波那契螺旋線被譽(yù)為自然界最完美的“黃金螺旋”，它的畫法是：以斐波那契數(shù)：，…為邊的正方形拼成長(zhǎng)方形，然后在每個(gè)正方形中畫一個(gè)圓心角為的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線．自然界存在很多斐波拉契螺旋線的圖案，例如向日葵、鸚鵡螺等．下圖為該螺旋線的前一部分，如果用接下來的一段圓弧所對(duì)應(yīng)的扇形做圓錐的側(cè)面則該圓錐的體積為（    ）    A．     B.     C．    D．9.已知函數(shù)的圖像相鄰的對(duì)稱軸之間的距離為，將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖像，則函數(shù)在上的最大值為(   )A．4              B.             C．            D．210.已知正三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)均在球的球面上，為上底面的外接圓，若的面積為，且側(cè)面矩形的面積為，則球的體積為（   ）A． B． C． D．11.已知拋物線C: ()的焦點(diǎn)為，經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為M, 則線段AB的長(zhǎng)為（   ） A．             B．4              C． 5             D．4或512.已知，若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（   ）A．        B．      C． D． 二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13. 已知，，則的取值范圍是_____________.14. 已知向量，若), 則實(shí)數(shù)___________.15. 已知分別為雙曲線：(，)的左、右焦點(diǎn)，p是其右支上一點(diǎn)，若成等差數(shù)列，且是直角三角形，則雙曲線的離心率是__________．16．在數(shù)列中，，記是數(shù)列的前項(xiàng)和，則__________．三、解答題（共70分，應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17-21題為必考題，每個(gè)試題都必須作答，第22，23題為選考題，根據(jù)要求作答）（一）必考題：每題12分，共60分17.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊依次為，，，．（1）求角；（2）若，，求的面積．18．如圖，在正四棱柱中，點(diǎn)是側(cè)棱上一點(diǎn)且．（1）求證：平面平面；（2）若是棱的中點(diǎn)，且，求四棱錐的體積．             19. 制成奶嘴的主要材質(zhì)是橡膠，在加工過程中，可能會(huì)殘留一些未揮發(fā)完全的溶劑，以及橡膠本身含有的化合物等. 因?yàn)槟套熘苯咏佑|食物和嬰兒口腔，使用過程中，揮發(fā)性物質(zhì)的溶出會(huì)污染奶質(zhì)，甚至通過消化道被寶寶身體吸收，長(zhǎng)期潛伏積累，對(duì)免疫力尚未健全的嬰幼兒會(huì)危害甚大，因此我國(guó)對(duì)奶嘴和安撫奶嘴的揮發(fā)性物質(zhì)做了規(guī)定, 要求其含量不得超過0.5%. 某嬰兒用品的生產(chǎn)商為了測(cè)量某新產(chǎn)品的揮發(fā)性物質(zhì)含量，從試生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100個(gè)，得到如下頻率分布直方圖：注：以頻率作為概率，該嬰兒用品的生產(chǎn)商規(guī)定揮發(fā)性物質(zhì)含量<18‰為合格產(chǎn)品．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這100個(gè)奶嘴的揮發(fā)性物質(zhì)含量的中位數(shù)；（2）為了解產(chǎn)品不合格的原因，用分層抽樣的方法從[18,20)與[20,22)中抽取6個(gè)進(jìn)行分析，然后從這6個(gè)中抽取2個(gè)進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)，求在[18,20)與[20,22)中各有一個(gè)的概率；（3）若這100個(gè)奶嘴的揮發(fā)性物質(zhì)含量的平均值大于16，則需進(jìn)行技術(shù)改進(jìn)，試問該新產(chǎn)品是否需要技術(shù)改進(jìn)？ 20. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，左焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為A，橢圓過點(diǎn)，且.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過左焦點(diǎn)且斜率為的動(dòng)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，試問在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得軸為的平分線？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.21. 已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，若的極大值點(diǎn)為,求證：． （二）選考題：共10分.請(qǐng)?jiān)?/span>22，23題中任選一題作答.如果多做，按所做的第一題計(jì)分. 22.【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，曲線C1的參數(shù)方程為，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)A和點(diǎn)B的極坐標(biāo)分別是，且A,B關(guān)于直線l對(duì)稱，（1）求直線l的極坐標(biāo)方程并把曲線C1化為極坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C1和C2在第一象限分別交于M,N兩點(diǎn)，求的值．23.【選修4-5：不等式選講】已知函數(shù)（1）求不等式的解集；（2）若的最小值為，且正數(shù)滿足，求的最小值．                 三模答案一、選擇題題號(hào)123456789101112答案ACCDBCABACDC二、填空題13.14. 0或 15. 216．1720三、解答題17. 解：（1）由，得，化簡(jiǎn)得，即，即，即，解得或．即或．又，所以或．（2）由（1）得或，當(dāng)時(shí)，由正弦定理得，，，故；當(dāng)時(shí)，由，，得，，因此．綜上，的面積是或1．18．證明：（1）在正四棱柱中，知側(cè)面，因?yàn)?/span>平面，可得，又，且，平面，所以平面，又因?yàn)?/span>平面，故平面平面．（2）如圖，在正四棱柱中，由于，，兩兩互相垂直，因?yàn)?/span>是棱的中點(diǎn)，且，從而知正四棱柱的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，設(shè)；由（1）知平面，可得，且，而，由勾股定理得，可得，解得，即，則側(cè)棱長(zhǎng)，，過作于，則平面，且；所以，即四棱錐的體積為．19. 解：（1）揮發(fā)性物質(zhì)含量位于[10,16)的頻率為2(0.005+0.07+0.14)=0.43, 揮發(fā)性物質(zhì)含量位于[10,18)的頻率為2(0.005+0.07+0.14+0.16)=0.75, 所以這100個(gè)奶嘴的揮發(fā)性物質(zhì)含量的中位數(shù)位于區(qū)間[16,18), 設(shè)中位數(shù)為x，則0.43+0.16(x-16)=0.5, 解得x=16.4375.（2）[18,20)組的奶嘴的個(gè)數(shù)為 [20,22)組的奶嘴的個(gè)數(shù)為所以從[18,20)組中抽取（個(gè)），從[20,22)組中抽取（個(gè)）.記[18,20)組中抽取的5個(gè)分別為a, b, c, d, e, [20,22)組中抽取的1個(gè)為f, 則從6個(gè)中抽取2個(gè)的所有情況如下：(a,b), (a,c), (a,d), (a,e), (a,f), (b,c), (b,d), (b,e), (b,f), (c,d), (c,e), (c,f), (d,e), (d,f), (e,f)共15種情況，其中在[18,20)與[20,22)中各有1個(gè)的有(a,f), (b,f), (c,f), (d,f), (e,f)共5種，所以所求的概率為（3）因?yàn)?/span>故該產(chǎn)品需要進(jìn)行技術(shù)改進(jìn). 20.解：（1）由題意知A(-a,0), B1(0,-b), B2(0,b), F(-c,0), 則因?yàn)?/span>所以即①又因?yàn)闄E圓過點(diǎn)所以②由①②解得所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由題意設(shè)直線l的方程為聯(lián)立得則若|x軸為的平分線，得即所以所以所以所以化簡(jiǎn)得因?yàn)橹本€為動(dòng)直線，所以即故存在滿足條件的定點(diǎn)M,其坐標(biāo)為(-4,0). 21. (1)當(dāng)時(shí)，,因此，當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞減，故的增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為（2）證明：故令, .①當(dāng),即時(shí)，，故,所以在上單調(diào)遞增，此時(shí)無極大值.②當(dāng),即時(shí)，的對(duì)稱軸為直線,因?yàn)?/span>,所以函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn),不妨設(shè)，其中，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增；此時(shí)函數(shù)有唯一的極大值點(diǎn)，且，又因?yàn)?/span>，所以,因此,令,, ,則在上單調(diào)遞增，故22. 解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A和點(diǎn)B的極坐標(biāo)分別為所以點(diǎn)A和點(diǎn)B的直角坐標(biāo)分別為又點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線l對(duì)稱，故直線l的普通方程為y=x,化為極坐標(biāo)方程為曲線C1的參數(shù)方程為為參數(shù)化為普通方程為化為極坐標(biāo)方程即（2）若直線l與曲線C1和C2在第一象限分別交于M, N點(diǎn)，則故 23. 解：（1）當(dāng)x>6時(shí)，f(x)=2x-10<4,解得x<7,故6<x<7；當(dāng)時(shí)，f(x)=2<4恒成立；當(dāng)x<4時(shí)，f(x)=10-2x<4, 解得x>3, 故3<x<4.綜上可得不等式f(x)<4的解集為(3,7).（2）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故m=2, 因此有即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為 

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