高考數(shù)學(xué)模擬考試卷（十七）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）圖中陰影部分所對應(yīng)的集合是　　A． B． C． D．2．（5分）已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（5分）函數(shù)在處的切線方程為　　A． B． C． D．4．（5分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓的上頂點(diǎn)，若，則　　A．5 B．4 C．3 D．25．（5分）2021年3月全國兩會上，“碳達(dá)峰”碳中和”備受關(guān)注．為應(yīng)對氣候變化，我國提出“二氧化碳排放力爭于2030年前達(dá)到峰值，努力爭取2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和”等莊嚴(yán)的目標(biāo)承諾．在今年的政府工作報告中，“做好碳達(dá)峰、碳中和工作”被列為2021年重點(diǎn)任務(wù)之一；“十四五”規(guī)劃也將加快推動綠色低碳發(fā)展列入其中．我國自1981年開展全民義務(wù)植樹以來，全國森林面積呈線性增長，第三次全國森林資源清查的時間為年，每5年清查一次，歷次清查數(shù)據(jù)如表：第次3456789森林面積（億平方米）1.251.341.591.751.952.082.20經(jīng)計(jì)算得到線性回歸直線為（參考數(shù)據(jù)：，據(jù)此估算我國森林面積在第幾次森林資源清查時首次超過3億平方米　　A．12 B．13 C．14 D．156．（5分）已知函數(shù)，，的部分圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：①，，；②，；③點(diǎn)，為圖象的一個對稱中心；④在，上單調(diào)遞減．其中所有正確結(jié)論的序號是　　A．①② B．②③ C．③④ D．②④7．（5分）已知函數(shù)，則方程的所有實(shí)根之和為　　A．2 B．3 C．4 D．18．（5分）過正方體頂點(diǎn)作平面，使平面，和的中點(diǎn)分別為和，則直線與平面所成角的正弦值為　　A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中。有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的對2分，有選錯的得0分。9．（5分）某大學(xué)生暑假到工廠參加生產(chǎn)勞動，生產(chǎn)了100件產(chǎn)品，質(zhì)檢人員測量其長度（單位：厘米），將所得數(shù)據(jù)分成6組：，，，，，，，，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則對這100件產(chǎn)品，下列說法中正確的是　　A． B．長度落在區(qū)間，內(nèi)的個數(shù)為35 C．長度的眾數(shù)一定落在區(qū)間，內(nèi) D．長度的中位數(shù)一定落在區(qū)間，內(nèi)10．（5分）已知函數(shù)，的最大值為2．則使函數(shù)在區(qū)間，上至少取得兩次最大值的充分不必要條件是　　A． B． C． D．11．已知，，且，則　　A． B． C． D．12．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，長軸長為4，點(diǎn)，在橢圓內(nèi)部，點(diǎn)在橢圓上，則以下說法正確的是　　A．離心率的取值范圍為 B．當(dāng)離心率為時，的最大值為 C．存在點(diǎn)使得 D．的最小值為1三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）已知點(diǎn)、、、，則向量與的夾角余弦值為　　．14．（5分）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則　　，若，則使得不等式成立的最小整數(shù)　　．15．（5分）現(xiàn)有標(biāo)號為①，②，③，④，⑤的5件不同新產(chǎn)品，要放到三個不同的機(jī)構(gòu)進(jìn)行測試，每件產(chǎn)品只能放到一個機(jī)構(gòu)里．機(jī)構(gòu)，各負(fù)責(zé)一個產(chǎn)品，機(jī)構(gòu)負(fù)責(zé)余下的三個產(chǎn)品，其中產(chǎn)品①不在機(jī)構(gòu)測試的情況有　　種（結(jié)果用具體數(shù)字表示）．16．（5分）關(guān)于函數(shù)有如下四個命題：①的最小正周期為；②在，內(nèi)有3個極值點(diǎn)；③在，內(nèi)有3個零點(diǎn)；④的圖象關(guān)于直線對稱其中所有真命題的序號為　　．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）在①，②，③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中．問題：在中，角，，對應(yīng)的邊分別為，，，若，_____，求角的值和的最小值． 18．（12分）已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足，且是，的等差中項(xiàng)．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，，對任意正整數(shù)，恒成立，試求的取值范圍． 19．（12分）如圖，在中，，，，，，沿將點(diǎn)折至處，使得，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）求二面角的余弦值． 20．2020年8月，教育部發(fā)布《關(guān)于深化體教融合，促進(jìn)青少年健康發(fā)展的意見》，要求體育納入高中學(xué)業(yè)水平考試范圍．《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定高三男生投擲實(shí)心球6.9米達(dá)標(biāo)，高三女生6.2米達(dá)標(biāo)．某地初步擬定投擲實(shí)心球的考試方案為每生可以投擲3次，一旦通過無需再投，為研究該方案的合理性，到某校任選4名學(xué)生進(jìn)行測試，如果有2人不達(dá)標(biāo)的概率超過0.1，該方案需要調(diào)整；否則就定為考試方案．已知該校男生投擲實(shí)心球的距離服從，女生投擲實(shí)心球的距離服從，，的單位：米）．（1）請你通過計(jì)算，說明該方案是否需要調(diào)整；（2）為提高學(xué)生考試達(dá)標(biāo)率，該校決定加強(qiáng)訓(xùn)練．以女生為例，假設(shè)所有女生經(jīng)訓(xùn)練后，投擲距離的增加值相同．問：女生投擲實(shí)心球的距離至少增加多少米，可使達(dá)標(biāo)率不低于．附：①參考數(shù)據(jù)：取；②若，則． 21．（12分）已知，為橢圓的左、右頂點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)（異于，，滿足．且．斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且．（1）求橢圓的方程及離心率；（2）如圖，設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值． 22．（12分）已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若時，方程有兩個不等實(shí)數(shù)根，，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明：．  高三模擬考試卷（十七）答案1．解：陰影部分在集合中或在集合中，但不在中即在補(bǔ)集中，故陰影部分表示的集合是，故選：．2．解：因?yàn)?/span>，所以數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限．故選：．3．解：函數(shù)，可得，所以在處的切線的斜率為：2，切點(diǎn)坐標(biāo)為：，所以切線方程為：，即．故選：．4．解：由橢圓的方程可得：由，則，所以，所以可得，故選：．5．解：由題意可知，，，又因?yàn)?/span>，則，故，令，又為整數(shù)，所以，為整數(shù)．故選：．6．解：根據(jù)函數(shù)的圖像，，解得．由于時，為對稱中心的縱坐標(biāo)，函數(shù)的最小正周期，故，故①錯誤，②正確；由于函數(shù)的對稱中心為，故函數(shù)的對稱中心為，當(dāng)時，函數(shù)的對稱中心為，故③錯誤；根據(jù)函數(shù)的圖像函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時，得到函數(shù)在，上單調(diào)遞減，故④正確．故選：．7．解：當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，顯然不是方程的根，當(dāng)時，則方程可轉(zhuǎn)化為：，畫出函數(shù)與的圖象，（如圖），由圖可得，二者有且僅有兩個公共點(diǎn)，，，，因?yàn)閮蓚€函數(shù)的圖象都關(guān)于對稱，故，關(guān)于對稱，所以：，即，故選：．8．解：如圖所示，平面，則與平面所成的角即為與平面所成的角，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，設(shè)交點(diǎn)為，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得，為正方體的中心，因?yàn)?/span>，，，，平面，所以平面，因?yàn)?/span>，分別為，的中點(diǎn)，所以，所以平面，過點(diǎn)作的延長線交于點(diǎn)，則，連結(jié)，則為線在平面的投影，所以為直線和平面所成的角，設(shè)正方體的棱長為，則，，所以．故選：． 9．解：對于：由頻率之和為1，得，解得，所以選項(xiàng)正確，對于選項(xiàng)：長度落在區(qū)間，內(nèi)的個數(shù)為，所以選項(xiàng)正確，對于選項(xiàng)：對這100件產(chǎn)品，長度的眾數(shù)不一定落在區(qū)間，內(nèi)，所以選項(xiàng)錯誤，對于選項(xiàng)：對這100件產(chǎn)品，因?yàn)?/span>，而，所以長度的中位數(shù)一定落在區(qū)間，內(nèi)，所以選項(xiàng)正確，故選：．10．解：，，的最大值為2，，解得或（舍去），，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，當(dāng)時，取得前兩個最大值時，分別為0和1，當(dāng)時，由，得，所以，故選：．11．解：，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，解得，即的最小值為16，正確；由已知得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，正確；由已知無法判斷，的大小，故無法判斷，錯誤；因?yàn)?/span>，所以，所以，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，即時取等號，此時取得最小值，故以，正確．故選：．12．解：因?yàn)殚L軸長為4，所以，即，因?yàn)辄c(diǎn)，在橢圓內(nèi)部，所以，即，對于，，所以，故不正確；對于，當(dāng)點(diǎn)，，共線且在軸下方時，取最大值，由，即，解得，所以，，所以，所以的最大值為，故正確；對于：若，則，由選項(xiàng)知，，，，所以，所以不存在使得，故不正確；對于：由基本不等式可得，又，所以，故正確．故選：．13．解：點(diǎn)、、、，，，則向量與的夾角余弦值為，故答案為：．14．解：根據(jù)題意，為等差數(shù)列，若，則，若，則，則使得不等式成立的最小整數(shù)，故答案為：6，13．15．解：根據(jù)題意，產(chǎn)品①不在機(jī)構(gòu)測試，則產(chǎn)品①必須在機(jī)構(gòu)或者機(jī)構(gòu)測試，若產(chǎn)品①在機(jī)構(gòu)檢測，有種情況，若產(chǎn)品①在機(jī)構(gòu)檢測，有種情況，則一共有種情況，故答案為：16．16．解：函數(shù)，因?yàn)?/span>的最小正周期為，的最小正周期為，故函數(shù)的最小正周期為和的最小公倍數(shù)，所以的最小正周期為，故選項(xiàng)①正確；因?yàn)?/span>，，，令，解得或，此時，當(dāng)時，在左右兩側(cè)均為負(fù)值，故不是極值點(diǎn)，所以最多只有兩個極值點(diǎn)，故選項(xiàng)②錯誤；因?yàn)?/span>，，，所以在，內(nèi)有3個零點(diǎn)，故選項(xiàng)③正確；因?yàn)?/span>，又，所以，故的圖象不關(guān)于直線對稱，故選項(xiàng)④錯誤．故答案為：①③．17．解：選擇條件①，可得，即，即，因?yàn)?/span>，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，由余弦定理，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以,所以，即的最小值為．選擇條件②，可得，即，解得或（舍，因?yàn)?/span>，所以，由余弦定理，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以,所以，即的最小值為．選擇條件③，由正弦定理可得，即，因?yàn)?/span>，所以，即，因?yàn)?/span>，所以，由余弦定理，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以,所以，即的最小值為．18．解：（1）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為．依題意，有，代入，得．．解之得，或又單調(diào)遞增，，，，（2），①②①②得，由，即對任意正整數(shù)恒成立，．對任意正整數(shù)，恒成立．，．即的取值范圍是，．19．（1）證明：由，，且，平面，平面，可得平面，因此．由，，得，因此，，由勾股定理可得．又因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，而，平面，平面，故平面．（2）解：因?yàn)?/span>，，，平面，平面，所以平面，又，所以平面．如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，易知是平面的一個法向量．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，易知二面角為銳角，故二面角的余弦值為．20．解：（1）因?yàn)槊總€人不達(dá)標(biāo)的概率均為，名學(xué)生中有2人不達(dá)標(biāo)的概率為，因此需要調(diào)整．（2）設(shè)女生投擲實(shí)心球的距離至少增加米，此時，當(dāng)，，解得，且．，且點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為．，此時女生達(dá)標(biāo)率為，達(dá)標(biāo)率恰好為．要使達(dá)標(biāo)率不低于，女生投擲實(shí)心球的距離至少增加0.316米．21．解：（1）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，分別為，，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即，代入上式得，即，所以橢圓的方程為，所以．（2）因?yàn)?/span>，所以四邊形的面積為，由題意可得，則，即當(dāng)取到最大值時，取到最大值，聯(lián)立直線與橢圓的方程，可得，由△，可得，設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，，，則，，所以，所以當(dāng)時，取到最大值，最大值為，故的最大值為．22．解：（1），定義域?yàn)?/span>，，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．（2）當(dāng)時，，等價于，即，即，即，因?yàn)?/span>時，，所以，所以，，由（1）可知在上單調(diào)遞增，所以，兩邊同時取對數(shù)可得，，因?yàn)榉匠?/span>有兩個不等實(shí)數(shù)根，，所以有兩個根，，令，，令,得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以（e），當(dāng)時，，（1），所以有兩個根時，即的取值范圍是．下證：．不妨設(shè)，令，，，所以，所以，設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增，所以（1），即，即，由，可得，所以，得證． 

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