?高中數(shù)學知識總結歸納（打印版）
引言
1.課程內(nèi)容：
必修課程由5個模塊組成：
必修1：集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（指、對、冪函數(shù)）
必修2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。
必修3：算法初步、統(tǒng)計、概率。
必修4：基本初等函數(shù)（三角函數(shù)）、平面向量、三角恒等變換。
必修5：解三角形、數(shù)列、不等式。
以上是每一個高中學生所必須學習的。
上述內(nèi)容覆蓋了高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學基礎知識和基本技能的主要部分，其中包括集合、函數(shù)、數(shù)列、不等式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打好基礎的同時，進一步強調(diào)了這些知識的發(fā)生、發(fā)展過程和實際應用，而不在技巧與難度上做過高的要求。
此外，基礎內(nèi)容還增加了向量、算法、概率、統(tǒng)計等內(nèi)容。
選修課程有4個系列：
系列1：由2個模塊組成。
選修1—1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導數(shù)及其應用。
選修1—2：統(tǒng)計案例、推理與證明、數(shù)系的擴充與復數(shù)、框圖
系列2：由3個模塊組成。
選修2—1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、
空間向量與立體幾何。
選修2—2：導數(shù)及其應用，推理與證明、數(shù)系的擴充與復數(shù)
選修2—3：計數(shù)原理、隨機變量及其分布列，統(tǒng)計案例。
系列3：由6個專題組成。
選修3—1：數(shù)學史選講。
選修3—2：信息安全與密碼。
選修3—3：球面上的幾何。
選修3—4：對稱與群。
選修3—5：歐拉公式與閉曲面分類。
選修3—6：三等分角與數(shù)域擴充。
系列4：由10個專題組成。
選修4—1：幾何證明選講。
選修4—2：矩陣與變換。
選修4—3：數(shù)列與差分。
選修4—4：坐標系與參數(shù)方程。
選修4—5：不等式選講。
選修4—6：初等數(shù)論初步。
選修4—7：優(yōu)選法與試驗設計初步。
選修4—8：統(tǒng)籌法與圖論初步。
選修4—9：風險與決策。
選修4—10：開關電路與布爾代數(shù)。
2．重難點及考點：
重點：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導數(shù)
難點：函數(shù)、圓錐曲線
高考相關考點：
⑴集合與簡易邏輯:集合的概念與運算、簡易邏輯、充要條件
⑵函數(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式與定義域、值域與最值、反函數(shù)、三大性質、函數(shù)圖象、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應用 　
⑶數(shù)列：數(shù)列的有關概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列的應用
⑷三角函數(shù)：有關概念、同角關系與誘導公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡、證明、三角函數(shù)的圖象與性質、三角函數(shù)的應用
⑸平面向量：有關概念與初等運算、坐標運算、數(shù)量積及其應用
⑹不等式：概念與性質、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對值不等式、不等式的應用
⑺直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關系、線性規(guī)劃、圓、直線與圓的位置關系
⑻圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關系、軌跡問題、圓錐曲線的應用
⑼直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間向量
⑽排列、組合和概率：排列、組合應用題、二項式定理及其應用
⑾概率與統(tǒng)計：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布
⑿導數(shù)：導數(shù)的概念、求導、導數(shù)的應用
⒀復數(shù)：復數(shù)的概念與運算
































高中數(shù)學 必修1知識點
第一章 集合與函數(shù)概念
〖1.1〗集合
【1.1.1】集合的含義與表示
（1）集合的概念
集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.
（2）常用數(shù)集及其記法
表示自然數(shù)集，或表示正整數(shù)集，表示整數(shù)集，表示有理數(shù)集，表示實數(shù)集.
（3）集合與元素間的關系
對象與集合的關系是，或者，兩者必居其一.
（4）集合的表示法
①自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.
②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合.
③描述法：{|具有的性質}，其中為集合的代表元素.
④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.
（5）集合的分類
①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().
【1.1.2】集合間的基本關系
（6）子集、真子集、集合相等
名稱
記號
意義
性質
示意圖
子集

（或
A中的任一元素都屬于B
(1)AA
(2)
(3)若且，則
(4)若且，則
或
真子集
AB
（或BA）
，且B中至少有一元素不屬于A
（1）（A為非空子集）
(2)若且，則

集合
相等

A中的任一元素都屬于B，B中的任一元素都屬于A
(1)AB
(2)BA

（7）已知集合有個元素，則它有個子集，它有個真子集，它有個非空子集，它有非空真子集.
【1.1.3】集合的基本運算
（8）交集、并集、補集
名稱
記號
意義
性質
示意圖
交集

且
（1）
（2）
（3）


并集

或
（1）
（2）
（3）


補集


1 2

【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法
（1）含絕對值的不等式的解法
不等式
解集



或

把看成一個整體，化成，型不等式來求解
（2）一元二次不等式的解法
判別式




二次函數(shù)的圖象



一元二次方程的根
（其中

無實根
的解集
或


的解集



〖1.2〗函數(shù)及其表示
【1.2.1】函數(shù)的概念
（1）函數(shù)的概念
①設、是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應法則，對于集合中任何一個數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應，那么這樣的對應（包括集合，以及到的對應法則）叫做集合到的一個函數(shù)，記作．
②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應法則．
③只有定義域相同，且對應法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù)．
（2）區(qū)間的概念及表示法
①設是兩個實數(shù)，且，滿足的實數(shù)的集合叫做閉區(qū)間，記做；滿足的實數(shù)的集合叫做開區(qū)間，記做；滿足，或的實數(shù)的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做，；滿足的實數(shù)的集合分別記做．
注意：對于集合與區(qū)間，前者可以大于或等于，而后者必須
，（前者可以不成立，為空集；而后者必須成立）．
（3）求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：
①是整式時，定義域是全體實數(shù)．
②是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù)．
③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合．
④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1．
⑤中，．
⑥零（負）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零．
⑦若是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集．
⑧對于求復合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知的定義域為，其復合函數(shù)的定義域應由不等式解出．
⑨對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進行分類討論．
⑩由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義．
（4）求函數(shù)的值域或最值
求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最?。ù螅?shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最?。ù螅┲担虼饲蠛瘮?shù)的最值與值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同．求函數(shù)值域與最值的常用方法：
①觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值．
②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值．
③判別式法：若函數(shù)可以化成一個系數(shù)含有的關于的二次方程，則在時，由于為實數(shù)，故必須有，從而確定函數(shù)的值域或最值．
④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值．
⑤換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉化為三角函數(shù)的最值問題．
⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關系確定函數(shù)的值域或最值．
⑦數(shù)形結合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值．
⑧函數(shù)的單調(diào)性法．
【1.2.2】函數(shù)的表示法
（5）函數(shù)的表示方法
表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種．
解析法：就是用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關系．列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系．圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系．
（6）映射的概念
①設、是兩個集合，如果按照某種對應法則，對于集合中任何一個元素，在集合中都有唯一的元素和它對應，那么這樣的對應（包括集合，以及到的對應法則）叫做集合到的映射，記作．
②給定一個集合到集合的映射，且．如果元素和元素對應，那么我們把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．
〖1.3〗函數(shù)的基本性質
【1.3.1】單調(diào)性與最大（?。┲?br /> （1）函數(shù)的單調(diào)性
①定義及判定方法
函數(shù)的
性 質
定義
圖象
判定方法
函數(shù)的
單調(diào)性
如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當x1< x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)．

（1）利用定義
（2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性
（3）利用函數(shù)圖象（在某個區(qū)間圖
象下降為減）
（4）利用復合函數(shù)
②在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù)．
③對于復合函數(shù)，令，若為增，為增，則為增；若為減，為減，則為增；若為增，為減，則為減；若為減，為增，則為減．
y
x
o
（2）打“√”函數(shù)的圖象與性質
分別在、上為增函數(shù)，分別在、上為減函數(shù)．
（3）最大（?。┲刀x
①一般地，設函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足：（1）對于任意的，都有；
（2）存在，使得．那么，我們稱是函數(shù)的最大值，記作．
②一般地，設函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足：（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得．那么，我們稱是函數(shù)的最小值，記作．
【1.3.2】奇偶性
（4）函數(shù)的奇偶性
①定義及判定方法
函數(shù)的
性 質
定義
圖象
判定方法
函數(shù)的
奇偶性
如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)=－f(x),那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù)．

（1）利用定義（要先判斷定義域是否關于原點對稱）
（2）利用圖象（圖象關于原點對稱）
如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)．

（1）利用定義（要先判斷定義域是否關于原點對稱）
（2）利用圖象（圖象關于y軸對稱）
②若函數(shù)為奇函數(shù)，且在處有定義，則．
③奇函數(shù)在軸兩側相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在軸兩側相對稱的區(qū)間增減性相反．
④在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)．
〖補充知識〗函數(shù)的圖象
（1）作圖
利用描點法作圖：
①確定函數(shù)的定義域； ②化解函數(shù)解析式；
③討論函數(shù)的性質（奇偶性、單調(diào)性）； ④畫出函數(shù)的圖象．
利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：
要準確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象．
①平移變換

②伸縮變換


③對稱變換




（2）識圖
對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關系．
（3）用圖
函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質，為研究數(shù)量關系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結果的重要工具．要重視數(shù)形結合解題的思想方法．
第二章 基本初等函數(shù)(Ⅰ)
〖2.1〗指數(shù)函數(shù)
【2.1.1】指數(shù)與指數(shù)冪的運算
（1）根式的概念
①如果，且，那么叫做的次方根．當是奇數(shù)時，的次方根用符號表示；當是偶數(shù)時，正數(shù)的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號表示；0的次方根是0；負數(shù)沒有次方根．
②式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)．當為奇數(shù)時，為任意實數(shù)；當為偶數(shù)時，．
③根式的性質：；當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時， ．
（2）分數(shù)指數(shù)冪的概念
①正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是：且．0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0．
②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是：且．0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義． 注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)．
（3）分數(shù)指數(shù)冪的運算性質
① ②
③
【2.1.2】指數(shù)函數(shù)及其性質
（4）指數(shù)函數(shù)
函數(shù)名稱
指數(shù)函數(shù)
定義
0
1
0
1
函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù)
圖象












定義域

值域

過定點
圖象過定點，即當時，．
奇偶性
非奇非偶
單調(diào)性
在上是增函數(shù)
在上是減函數(shù)
函數(shù)值的
變化情況


變化對 圖象的影響
在第一象限內(nèi)，越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，越大圖象越低．

〖2.2〗對數(shù)函數(shù)
【2.2.1】對數(shù)與對數(shù)運算
（1） 對數(shù)的定義
①若，則叫做以為底的對數(shù)，記作，其中叫做底數(shù)，叫做真數(shù)．
②負數(shù)和零沒有對數(shù)．
③對數(shù)式與指數(shù)式的互化：．
（2）幾個重要的對數(shù)恒等式
，，．
（3）常用對數(shù)與自然對數(shù)
常用對數(shù)：，即；自然對數(shù)：，即（其中…）．
（4）對數(shù)的運算性質 如果，那么
①加法： ②減法：
③數(shù)乘： ④
⑤ ⑥換底公式：
【2.2.2】對數(shù)函數(shù)及其性質
（5）對數(shù)函數(shù)
函數(shù)
名稱
對數(shù)函數(shù)
定義
函數(shù)且叫做對數(shù)函數(shù)
圖象


0
1

0
1









定義域

值域

過定點
圖象過定點，即當時，．
奇偶性
非奇非偶
單調(diào)性
在上是增函數(shù)
在上是減函數(shù)
函數(shù)值的
變化情況


變化對 圖象的影響
在第一象限內(nèi)，越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，越大圖象越靠高．
(6)反函數(shù)的概念
設函數(shù)的定義域為，值域為，從式子中解出，得式子．如果對于在中的任何一個值，通過式子，在中都有唯一確定的值和它對應，那么式子表示是的函數(shù)，函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)，記作，習慣上改寫成．
（7）反函數(shù)的求法
①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式中反解出；
③將改寫成，并注明反函數(shù)的定義域．
（8）反函數(shù)的性質
①原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關于直線對稱．
②函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域、定義域．
③若在原函數(shù)的圖象上，則在反函數(shù)的圖象上．
④一般地，函數(shù)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù)．
〖2.3〗冪函數(shù)
（1）冪函數(shù)的定義
一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中為自變量，是常數(shù)．















（2）冪函數(shù)的圖象




















（3）冪函數(shù)的性質
①圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象．冪函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二象限(圖象關于軸對稱)；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限(圖象關于原點對稱)；是非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布在第一象限．
②過定點：所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都通過點．
③單調(diào)性：如果，則冪函數(shù)的圖象過原點，并且在上為增函數(shù)．如果，則冪函數(shù)的圖象在上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近軸與軸．
④奇偶性：當為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)．當（其中互質，和），若為奇數(shù)為奇數(shù)時，則是奇函數(shù)，若為奇數(shù)為偶數(shù)時，則是偶函數(shù)，若為偶數(shù)為奇數(shù)時，則是非奇非偶函數(shù)．
⑤圖象特征：冪函數(shù)，當時，若，其圖象在直線下方，若，其圖象在直線上方，當時，若，其圖象在直線上方，若，其圖象在直線下方．
〖補充知識〗二次函數(shù)
（1）二次函數(shù)解析式的三種形式
①一般式：②頂點式：③兩根式：（2）求二次函數(shù)解析式的方法
①已知三個點坐標時，宜用一般式．
②已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大（?。┲涤嘘P時，常使用頂點式．
③若已知拋物線與軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求更方便．
（3）二次函數(shù)圖象的性質
①二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為頂點坐標是．
②當時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當時，；當時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當時，．
③二次函數(shù)當時，圖象與軸有兩個交點．
（4）一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關系定理（韋達定理）的運用，下面結合二次函數(shù)圖象的性質，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的分布．
設一元二次方程的兩實根為，且．令，從以下四個方面來分析此類問題：①開口方向： ②對稱軸位置： ③判別式： ④端點函數(shù)值符號．
①k＜x1≤x2

②x1≤x2＜k

③x1＜k＜x2 af(k)＜0

④k1＜x1≤x2＜k2


⑤有且僅有一個根x1（或x2）滿足k1＜x1（或x2）＜k2 f(k1)f(k2)0，并同時考慮f(k1)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也符合


⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2
此結論可直接由⑤推出．
（5）二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值
設在區(qū)間上的最大值為，最小值為，令．
（Ⅰ）當時（開口向上）
①若，則 ②若，則 ③若，則
x
y
0
>
a
O
a
b
x
2
-
=
p
q
f(p)
f(q)
x
y
0
>
a
O
a
b
x
2
-
=
p
q
f(p)
f(q)
x
y
0
>
a
O
a
b
x
2
-
=
p
q
f(p)
f(q)








x
y
0
>
a
O
a
b
x
2
-
=
p
q
f(p)
f(q)
①若，則 ②，則
x
y
0
>
a
O
a
b
x
2
-
=
p
q
f(p)
f(q)








(Ⅱ)當時(開口向下)
①若，則 ②若，則 ③若，則
x
y
0

a∥α
a∥b
2.2.2 平面與平面平行的判定
1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。

符號表示：

a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
2、判斷兩平面平行的方法有三種：
（1）用定義；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質
1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。
簡記為：線面平行則線線平行。
符號表示：



a∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。
2、定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。
符號表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行
2.3直線、平面垂直的判定及其性質
2.3.1直線與平面垂直的判定
1、定義
如果直線L與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面α互相垂直，記作L⊥α，直線L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時,它們唯一公共點P叫做垂足。
L

p
α

2、判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。
注意點： a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；
b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想。
2.3.2平面與平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形
A
梭 l β
B
　　 α


2、二面角的記法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質
1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。
2性質定理： 兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。
本章知識結構框圖

平面（公理1、公理2、公理3、公理4）


空間直線、平面的位置關系




直線與直線的位置關系
平面與平面的位置關系
直線與平面的位置關系



第三章 直線與方程
3.1直線的傾斜角和斜率
3.1傾斜角和斜率
1、直線的傾斜角的概念：當直線l與x軸相交時, 取x軸作為基準, x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.特別地,當直線l與x軸平行或重合時, 規(guī)定α= 0°.
2、 傾斜角α的取值范圍： 0°≤α＜180°. 當直線l與x軸垂直時, α= 90°.
3、直線的斜率:
一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是 k = tanα
⑴當直線l與x軸平行或重合時, α=0°, k = tan0°=0;
⑵當直線l與x軸垂直時, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一條直線l的傾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、 直線的斜率公式:
給定兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用兩點的坐標來表示直線P1P2的斜率：
斜率公式: k=y2-y1/x2-x1
3.1.2兩條直線的平行與垂直
1、兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即
注意: 上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個前提，結論并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2
2、兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負倒數(shù)，那么它們互相垂直，即
3.2.1 直線的點斜式方程
1、 直線的點斜式方程：直線經(jīng)過點，且斜率為
2、、直線的斜截式方程：已知直線的斜率為，且與軸的交點為
3.2.2 直線的兩點式方程
1、直線的兩點式方程：已知兩點其中 y-y1/y-y2=x-x1/x-x2
2、直線的截距式方程：已知直線與軸的交點為A，與軸的交點為B，其中
3.2.3 直線的一般式方程
1、直線的一般式方程：關于的二元一次方程（A，B不同時為0）
2、各種直線方程之間的互化。
3.3直線的交點坐標與距離公式


3.3.1兩直線的交點坐標
1、給出例題：兩直線交點坐標
L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0
解：解方程組
得 x=-2，y=2
所以L1與L2的交點坐標為M（-2，2）
3.3.2 兩點間距離
兩點間的距離公式
3.3.3 點到直線的距離公式
1．點到直線距離公式：
點到直線的距離為：
2、兩平行線間的距離公式：
已知兩條平行線直線和的一般式方程為：，

，則與的距離為
第四章 圓與方程
4.1.1 圓的標準方程
1、圓的標準方程：
圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程
2、點與圓的關系的判斷方法：
（1）>，點在圓外 （2）=，點在圓上
（3）=,且)結論都成立。
考點三 證明
1. 反證法: 2、分析法: 3、綜合法:
數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念
復數(shù)的概念
(1) 復數(shù):形如的數(shù)叫做復數(shù)，和分別叫它的實部和虛部.
(2) 分類:復數(shù)中,當,就是實數(shù); ,叫做虛數(shù);當時,叫做純虛數(shù).
(3) 復數(shù)相等:如果兩個復數(shù)實部相等且虛部相等就說這兩個復數(shù)相等.
(4) 共軛復數(shù):當兩個復數(shù)實部相等,虛部互為相反數(shù)時,這兩個復數(shù)互為共軛復數(shù).
(5) 復平面:建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面,x軸叫做實軸，y軸除去原點的部分叫做虛軸。
(6) 兩個實數(shù)可以比較大小，但兩個復數(shù)如果不全是實數(shù)就不能比較大小。
復數(shù)的運算
1.復數(shù)的加，減，乘，除按以下法則進行
設則
（1） （2） （3）
2,幾個重要的結論
(1) (2) (3)若為虛數(shù),則
3.運算律
(1) ;(2) ;(3)
4.關于虛數(shù)單位i的一些固定結論：
（1） （2） （3） （2）
數(shù)學選修2－3
第一章 計數(shù)原理
知識點：
1、分類加法計數(shù)原理：做一件事情，完成它有N類辦法，在第一類辦法中有M1種不同的方法，在第二類辦法中有M2種不同的方法，……，在第N類辦法中有MN種不同的方法，那么完成這件事情共有M1+M2+……+MN種不同的方法。
2、分步乘法計數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成N個步驟，做第一 步有m1種不同的方法，做第二步有M2不同的方法，……，做第N步有MN不同的方法.那么完成這件事共有 N=M1M2...MN 種不同的方法。
3、排列：從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列
4、排列數(shù)：
5、組合：從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。
6、組合數(shù)：

7、二項式定理：
8、二項式通項公式
第二章 隨機變量及其分布
1、 隨機變量：如果隨機試驗可能出現(xiàn)的結果可以用一個變量X來表示，并且X是隨著試驗的結果的不同而變化，那么這樣的變量叫做隨機變量． 隨機變量常用大寫字母X、Y等或希臘字母 ξ、η等表示。
2、 離散型隨機變量：在上面的射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．
3、離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,..... ,xi ,......,xn
X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列

4、分布列性質① pi≥0, i =1，2， … 　； ② p1 + p2 +…+pn= 1．
5、二點分布：如果隨機變量X的分布列為：

其中06.635時X與Y有99%可能性有關
回歸分析
回歸直線方程??
其中,
高中數(shù)學選修4-1知識點總結
平行線等分線段定理
平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。
推理1：經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊。
推理2：經(jīng)過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線平分另一腰。
平分線分線段成比例定理
平分線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。
推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例。
相似三角形的判定及性質
相似三角形的判定：
定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。相似三角形對應邊的比值叫做相似比（或相似系數(shù)）。
由于從定義出發(fā)判斷兩個三角形是否相似，需考慮6個元素，即三組對應角是否分別相等，三組對應邊是否分別成比例，顯然比較麻煩。所以我們曾經(jīng)給出過如下幾個判定兩個三角形相似的簡單方法：
（1）兩角對應相等，兩三角形相似；
（2）兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似；
（3）三邊對應成比例，兩三角形相似。
預備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與三角形相似。
判定定理1：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩角對應相等，兩三角形相似。
判定定理2：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似。
判定定理3：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似。簡述為：三邊對應成比例，兩三角形相似。
引理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。
定理：（1）如果兩個直角三角形有一個銳角對應相等，那么它們相似；
（2）如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應成比例，那么它們相似。
定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似。
相似三角形的性質：
（1）相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應平分線的比都等于相似比；
（2）相似三角形周長的比等于相似比；
（3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。
相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方。
直角三角形的射影定理
射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項。
圓周定理
圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓周角的一半。
圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)。
推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。
推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。
圓內(nèi)接四邊形的性質與判定定理
定理1：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補。
定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角。
圓內(nèi)接四邊形判定定理：如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓。
推論：如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓。
圓的切線的性質及判定定理
切線的性質定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。
推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點。
推論2：經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。
切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
弦切角的性質
弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。
與圓有關的比例線段
相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。
割線定理：從園外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。
切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。
切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。
選修4-4數(shù)學知識點
一、選考內(nèi)容《坐標系與參數(shù)方程》高考考試大綱要求：
1．坐標系：　
① 理解坐標系的作用.　
② 了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.
③ 能在極坐標系中用極坐標表示點的位置，理解在極坐標系和平面直角坐標系中表示點的位置的區(qū)別，能進行極坐標和直角坐標的互化.
④ 能在極坐標系中給出簡單圖形（如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓）的方程.通過比較這些圖形在極坐標系和平面直角坐標系中的方程，理解用方程表示平面圖形時選擇適當坐標系的意義.
2．參數(shù)方程：① 了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.
② 能選擇適當?shù)膮?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程.
二、知識歸納總結：
1．伸縮變換：設點是平面直角坐標系中的任意一點，在變換的作用下，點對應到點，稱為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換。
2.極坐標系的概念：在平面內(nèi)取一個定點，叫做極點；自極點引一條射線叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系。
3．點的極坐標：設是平面內(nèi)一點，極點與點的距離叫做點的極徑，記為；以極軸為始邊，射線為終邊的叫做點的極角，記為。有序數(shù)對叫做點的極坐標，記為.
極坐標與表示同一個點。極點的坐標為.
4.若,則,規(guī)定點與點關于極點對稱，即與表示同一點。
如果規(guī)定，那么除極點外，平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標表示；同時，極坐標表示的點也是唯一確定的。


5．極坐標與直角坐標的互化：




6。圓的極坐標方程：
在極坐標系中，以極點為圓心，為半徑的圓的極坐標方程是 ；
在極坐標系中，以 為圓心， 為半徑的圓的極坐標方程是 ；
在極坐標系中，以 為圓心，為半徑的圓的極坐標方程是；
7.在極坐標系中，表示以極點為起點的一條射線；表示過極點的一條直線.
在極坐標系中，過點，且垂直于極軸的直線l的極坐標方程是.

8．參數(shù)方程的概念：在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標都是某個變數(shù)的函數(shù) 并且對于的每一個允許值，由這個方程所確定的點都在這條曲線上，那么這個方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)。
相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關系的方程叫做普通方程。
9．圓的參數(shù)方程可表示為.
橢圓的參數(shù)方程可表示為.
拋物線的參數(shù)方程可表示為.
　 經(jīng)過點，傾斜角為的直線的參數(shù)方程可表示為（為參數(shù)）.
10．在建立曲線的參數(shù)方程時，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使的取值范圍保持一致.
高中數(shù)學選修4--5知識點
1、不等式的基本性質
①（對稱性）
②（傳遞性）
③（可加性）
（同向可加性）
（異向可減性）
④（可積性）

⑤（同向正數(shù)可乘性）
（異向正數(shù)可除性）
⑥（平方法則）
⑦（開方法則）
⑧（倒數(shù)法則）
2、幾個重要不等式
①,（當且僅當時取號）. 變形公式：
②（基本不等式） ,（當且僅當時取到等號）.
變形公式：
用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”.

③（三個正數(shù)的算術—幾何平均不等式）（當且僅當時取到等號）.
④
（當且僅當時取到等號）.
⑤
（當且僅當時取到等號）.
⑥（當僅當a=b時取等號）
（當僅當a=b時取等號）
⑦，（其中
規(guī)律：小于1同加則變大，大于1同加則變小.
⑧

⑨絕對值三角不等式

3、幾個著名不等式
①平均不等式：，，當且僅當時取號）.
（即調(diào)和平均幾何平均算術平均平方平均）.
變形公式：

②冪平均不等式：

③二維形式的三角不等式：

④二維形式的柯西不等式：
當且僅當時，等號成立.
⑤三維形式的柯西不等式：

⑥一般形式的柯西不等式：

⑦向量形式的柯西不等式：
設是兩個向量，則當且僅當是零向量，或存在實數(shù)，使時，等號成立.
⑧排序不等式（排序原理）：
設為兩組實數(shù).是的任一排列，則（反序和亂序和順序和），當且僅當或時，反序和等于順序和.
⑨琴生不等式:（特例:凸函數(shù)、凹函數(shù)）
若定義在某區(qū)間上的函數(shù),對于定義域中任意兩點有
則稱f(x)為凸（或凹）函數(shù).
4、不等式證明的幾種常用方法
常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；
其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學歸納法等.
常見不等式的放縮方法：
①舍去或加上一些項，如
②將分子或分母放大（縮小），
如
等.
5、一元二次不等式的解法
求一元二次不等式
解集的步驟：
一化：化二次項前的系數(shù)為正數(shù).
二判：判斷對應方程的根.
三求：求對應方程的根.
四畫：畫出對應函數(shù)的圖象.
五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集.
規(guī)律：當二次項系數(shù)為正時，小于取中間，大于取兩邊.
6、高次不等式的解法：穿根法.
分解因式，把根標在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿（奇穿偶切），結合原式不等號的方向，寫出不等式的解集.
7、分式不等式的解法：先移項通分標準化，則
（時同理）
規(guī)律：把分式不等式等價轉化為整式不等式求解.
8、無理不等式的解法：轉化為有理不等式求解
⑴

⑵
⑶
⑷
⑸
規(guī)律：把無理不等式等價轉化為有理不等式，訣竅在于從“小”的一邊分析求解.
9、指數(shù)不等式的解法：
⑴當時,
⑵當時,
規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質轉化.
10、對數(shù)不等式的解法
⑴當時,
⑵當時,
規(guī)律：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質轉化.
11、含絕對值不等式的解法：
⑴定義法：
⑵平方法：
⑶同解變形法，其同解定理有：
①
②
③
④
規(guī)律：關鍵是去掉絕對值的符號.
12、含有兩個（或兩個以上）絕對值的不等式的解法：
規(guī)律：找零點、劃區(qū)間、分段討論去絕對值、每段中取交集，最后取各段的并集.
13、含參數(shù)的不等式的解法
解形如且含參數(shù)的不等式時，要對參數(shù)進行分類討論，分類討論的標準有：
⑴討論與0的大?。?br /> ⑵討論與0的大??；
⑶討論兩根的大小.
14、恒成立問題
⑴不等式的解集是全體實數(shù)（或恒成立）的條件是：
①當時
②當時
⑵不等式的解集是全體實數(shù)（或恒成立）的條件是：
①當時
②當時
⑶恒成立
恒成立
⑷恒成立
恒成立
15、線性規(guī)劃問題
⑴二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的判斷：
法一：取點定域法：
由于直線的同一側的所有點的坐標代入后所得的實數(shù)的符號相同.所以，在實際判斷時，往往只需在直線某一側任取一特殊點（如原點），由的正負即可判斷出或表示直線哪一側的平面區(qū)域.
即：直線定邊界，分清虛實；選點定區(qū)域，常選原點.
法二：根據(jù)或，觀察的符號與不等式開口的符號，若同號，或表示直線上方的區(qū)域；若異號，則表示直線上方的區(qū)域.即：同號上方，異號下方.
⑵二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域：
不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.
⑶利用線性規(guī)劃求目標函數(shù)為常數(shù)）的最值：
法一：角點法：
如果目標函數(shù) （即為公共區(qū)域中點的橫坐標和縱坐標）的最值存在，則這些最值都在該公共區(qū)域的邊界角點處取得，將這些角點的坐標代入目標函數(shù)，得到一組對應值，最大的那個數(shù)為目標函數(shù)的最大值，最小的那個數(shù)為目標函數(shù)的最小值
法二：畫——移——定——求：
第一步，在平面直角坐標系中畫出可行域；第二步，作直線 ，平移直線（據(jù)可行域，將直線平行移動）確定最優(yōu)解；第三步，求出最優(yōu)解；第四步，將最優(yōu)解代入目標函數(shù)即可求出最大值或最小值 .
第二步中最優(yōu)解的確定方法：
利用的幾何意義：,為直線的縱截距.
①若則使目標函數(shù)所表示直線的縱截距最大的角點處，取得最大值，使直線的縱截距最小的角點處，取得最小值；
②若則使目標函數(shù)所表示直線的縱截距最大的角點處，取得最小值，使直線的縱截距最小的角點處，取得最大值.
⑷常見的目標函數(shù)的類型：
①“截距”型：
②“斜率”型：或
③“距離”型：或
或
在求該“三型”的目標函數(shù)的最值時，可結合線性規(guī)劃與代數(shù)式的幾何意義求解，從而使問題簡單化.

附：高中數(shù)學常用公式及常用結論
1. 元素與集合的關系
,.
2.德摩根公式
.
3.包含關系


4.容斥原理


.
5．集合的子集個數(shù)共有 個；真子集有–1個；非空子集有 –1個；非空的真子集有–2個.
6.二次函數(shù)的解析式的三種形式
(1)一般式;
(2)頂點式;
(3)零點式.
7.解連不等式常有以下轉化形式


.
8.方程在上有且只有一個實根,與不等價,前者是后者的一個必要而不是充分條件.特別地, 方程有且只有一個實根在內(nèi),等價于,或且,或且.
9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值
二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只能在處及區(qū)間的兩端點處取得，具體如下：
(1)當a>0時，若，則；
，，.
(2)當a0)
（1），則的周期T=a；
（2），
或，
或,
或,則的周期T=2a；
(3)，則的周期T=3a；
(4)且，則的周期T=4a；
(5)
,則的周期T=5a；
(6)，則的周期T=6a.
30.分數(shù)指數(shù)冪
(1)（，且）.
(2)（，且）.
31．根式的性質
（1）.
（2）當為奇數(shù)時，；
當為偶數(shù)時，.
32．有理指數(shù)冪的運算性質
(1) .
(2) .
(3).
注： 若a＞0，p是一個無理數(shù)，則ap表示一個確定的實數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運算性質，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用.
33.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式
.
34.對數(shù)的換底公式
(,且,,且, ).
推論 (,且,,且,, ).
35．對數(shù)的四則運算法則
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則
(1);
(2) ;
(3).
36.設函數(shù),記.若的定義域為,則，且;若的值域為,則，且.對于的情形,需要單獨檢驗.
37. 對數(shù)換底不等式及其推廣
若,,,,則函數(shù)
(1)當時,在和上為增函數(shù).
， (2)當時,在和上為減函數(shù).
推論:設，，，且，則
（1）.
（2）.
38. 平均增長率的問題
如果原來產(chǎn)值的基礎數(shù)為N，平均增長率為，則對于時間的總產(chǎn)值，有.
39.數(shù)列的同項公式與前n項的和的關系
( 數(shù)列的前n項的和為).
40.等差數(shù)列的通項公式
；
其前n項和公式為

.
41.等比數(shù)列的通項公式
；
其前n項的和公式為

或.
42.等比差數(shù)列:的通項公式為
；
其前n項和公式為
.
43.分期付款(按揭貸款)
每次還款元(貸款元,次還清,每期利率為).
44．常見三角不等式
（1）若，則.
(2) 若，則.
(3) .
45.同角三角函數(shù)的基本關系式
，=，.
46.正弦、余弦的誘導公式
(n為偶數(shù))

(n為奇數(shù))

(n為偶數(shù))

(n為奇數(shù))


47.和角與差角公式
;
;
.
(平方正弦公式);
.
=(輔助角所在象限由點的象限決定, ).
48.二倍角公式
.
.
.
49. 三倍角公式
.
..
50.三角函數(shù)的周期公式
函數(shù)，x∈R及函數(shù)，x∈R(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期；函數(shù)，(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期.
51.正弦定理?
.
52.余弦定理
;
;
.
53.面積定理
（1）（分別表示a、b、c邊上的高）.
（2）.
(3).
54.三角形內(nèi)角和定理
在△ABC中，有
.
55. 簡單的三角方程的通解
.
.
.
特別地,有
.
.
.
56.最簡單的三角不等式及其解集
.
.
.
.
.
.
57.實數(shù)與向量的積的運算律
設λ、μ為實數(shù)，那么
(1) 結合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
58.向量的數(shù)量積的運算律：
(1) a·b= b·a （交換律）;
(2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）;
(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.
59.平面向量基本定理?
如果e1、e 2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．
不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．
60．向量平行的坐標表示??
設a=,b=，且b0，則ab(b0).
53. a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)
a·b=|a||b|cosθ．
61. a·b的幾何意義
數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．
62.平面向量的坐標運算
(1)設a=,b=，則a+b=.
(2)設a=,b=，則a-b=.
(3)設A，B,則.
(4)設a=，則a=.
(5)設a=,b=，則a·b=.
63.兩向量的夾角公式
(a=,b=).
64.平面兩點間的距離公式
=
(A，B).
65.向量的平行與垂直
設a=,b=，且b0，則
A||bb=λa .
ab(a0)a·b=0.
66.線段的定比分公式 ?
設，，是線段的分點,是實數(shù)，且，則

（）.
67.三角形的重心坐標公式
△ABC三個頂點的坐標分別為、、,則△ABC的重心的坐標是.
68.點的平移公式
.
注:圖形F上的任意一點P(x，y)在平移后圖形上的對應點為，且的坐標為.
69.“按向量平移”的幾個結論
（1）點按向量a=平移后得到點.
(2) 函數(shù)的圖象按向量a=平移后得到圖象,則的函數(shù)解析式為.
(3) 圖象按向量a=平移后得到圖象,若的解析式,則的函數(shù)解析式為.
(4)曲線:按向量a=平移后得到圖象,則的方程為.
(5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然為m=.
70. 三角形五“心”向量形式的充要條件
設為所在平面上一點，角所對邊長分別為，則
（1）為的外心.
（2）為的重心.
（3）為的垂心.
（4）為的內(nèi)心.
（5）為的的旁心.
71.常用不等式：
（1）(當且僅當a＝b時取“=”號)．
（2）(當且僅當a＝b時取“=”號)．
（3）
（4）柯西不等式

（5）.
72.極值定理
已知都是正數(shù)，則有
（1）若積是定值，則當時和有最小值；
（2）若和是定值，則當時積有最大值.
推廣 已知，則有
（1）若積是定值,則當最大時,最大；
當最小時,最小.
（2）若和是定值,則當最大時, 最小；
當最小時, 最大.
73.一元二次不等式，如果與同號，則其解集在兩根之外；如果與異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.
；
.
74.含有絕對值的不等式
當a> 0時，有
.
或.
75.無理不等式
（1） .
（2）.
（3）.
76.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式
(1)當時,
;
.
(2)當時,
;

77.斜率公式
（、）.
78.直線的五種方程
（1）點斜式 (直線過點，且斜率為)．
（2）斜截式 (b為直線在y軸上的截距).
（3）兩點式 ()(、 ()).
(4)截距式 (分別為直線的橫、縱截距，)
（5）一般式 (其中A、B不同時為0).
79.兩條直線的平行和垂直
(1)若，
①;
②.
(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不為零,
①；
②；
80.夾角公式
(1).
(，,)
(2).
(,,).
直線時，直線l1與l2的夾角是.
81. 到的角公式
(1).
(，,)
(2).
(,,).
直線時，直線l1到l2的角是.
82．四種常用直線系方程
(1)定點直線系方程：經(jīng)過定點的直線系方程為(除直線),其中是待定的系數(shù); 經(jīng)過定點的直線系方程為,其中是待定的系數(shù)．
(2)共點直線系方程：經(jīng)過兩直線,的交點的直線系方程為(除)，其中λ是待定的系數(shù)．
(3)平行直線系方程：直線中當斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程．與直線平行的直線系方程是()，λ是參變量．
(4)垂直直線系方程：與直線 (A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是,λ是參變量．
83.點到直線的距離
(點,直線：).
84. 或所表示的平面區(qū)域
設直線，則或所表示的平面區(qū)域是：
若，當與同號時，表示直線的上方的區(qū)域；當與異號時，表示直線的下方的區(qū)域.簡言之,同號在上,異號在下.
若，當與同號時，表示直線的右方的區(qū)域；當與異號時，表示直線的左方的區(qū)域. 簡言之,同號在右,異號在左.
85. 或所表示的平面區(qū)域
設曲線（），則
或所表示的平面區(qū)域是：
所表示的平面區(qū)域上下兩部分；
所表示的平面區(qū)域上下兩部分.
86. 圓的四種方程
（1）圓的標準方程 .
（2）圓的一般方程 (＞0).
（3）圓的參數(shù)方程 .
（4）圓的直徑式方程 (圓的直徑的端點是、).
87. 圓系方程
(1)過點,的圓系方程是

,其中是直線的方程,λ是待定的系數(shù)．
(2)過直線:與圓:的交點的圓系方程是,λ是待定的系數(shù)．
(3) 過圓:與圓:的交點的圓系方程是,λ是待定的系數(shù)．
88.點與圓的位置關系
點與圓的位置關系有三種
若，則
點在圓外;點在圓上;點在圓內(nèi).
89.直線與圓的位置關系
直線與圓的位置關系有三種:
;
;
.
其中.
90.兩圓位置關系的判定方法
設兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，
;
;
;
;
.
91.圓的切線方程
(1)已知圓．
①若已知切點在圓上，則切線只有一條，其方程是
.
當圓外時, 表示過兩個切點的切點弦方程．
②過圓外一點的切線方程可設為，再利用相切條件求k，這時必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線．
③斜率為k的切線方程可設為，再利用相切條件求b，必有兩條切線．
(2)已知圓．
①過圓上的點的切線方程為;
②斜率為的圓的切線方程為.
92.橢圓的參數(shù)方程是.
93.橢圓焦半徑公式
，.
94．橢圓的的內(nèi)外部
（1）點在橢圓的內(nèi)部.
（2）點在橢圓的外部.
95. 橢圓的切線方程
(1)橢圓上一點處的切線方程是.
（2）過橢圓外一點所引兩條切線的切點弦方程是
.
（3）橢圓與直線相切的條件是.
96.雙曲線的焦半徑公式
，.
97.雙曲線的內(nèi)外部
(1)點在雙曲線的內(nèi)部.
(2)點在雙曲線的外部.
98.雙曲線的方程與漸近線方程的關系
(1）若雙曲線方程為漸近線方程：.
(2)若漸近線方程為雙曲線可設為.
(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設為（，焦點在x軸上，，焦點在y軸上）.
99. 雙曲線的切線方程
(1)雙曲線上一點處的切線方程是.
（2）過雙曲線外一點所引兩條切線的切點弦方程是
.
（3）雙曲線與直線相切的條件是.
100. 拋物線的焦半徑公式
拋物線焦半徑.
過焦點弦長.
101.拋物線上的動點可設為P或 P，其中 .
102.二次函數(shù)的圖象是拋物線：（1）頂點坐標為；（2）焦點的坐標為；（3）準線方程是.
103.拋物線的內(nèi)外部
(1)點在拋物線的內(nèi)部.
點在拋物線的外部.
(2)點在拋物線的內(nèi)部.
點在拋物線的外部.
(3)點在拋物線的內(nèi)部.
點在拋物線的外部.
(4) 點在拋物線的內(nèi)部.
點在拋物線的外部.
104. 拋物線的切線方程
(1)拋物線上一點處的切線方程是.
（2）過拋物線外一點所引兩條切線的切點弦方程是.
（3）拋物線與直線相切的條件是.
105.兩個常見的曲線系方程
(1)過曲線,的交點的曲線系方程是
(為參數(shù)).
(2)共焦點的有心圓錐曲線系方程,其中.當時,表示橢圓; 當時,表示雙曲線.
106.直線與圓錐曲線相交的弦長公式 或
（弦端點A，由方程 消去y得到，,為直線的傾斜角，為直線的斜率）.
107.圓錐曲線的兩類對稱問題
（1）曲線關于點成中心對稱的曲線是.
（2）曲線關于直線成軸對稱的曲線是
.
108.“四線”一方程
對于一般的二次曲線，用代，用代，用代，用代，用代即得方程
，曲線的切線，切點弦，中點弦，弦中點方程均是此方程得到.
109．證明直線與直線的平行的思考途徑
（1）轉化為判定共面二直線無交點；
（2）轉化為二直線同與第三條直線平行；
（3）轉化為線面平行；
（4）轉化為線面垂直；
（5）轉化為面面平行.
110．證明直線與平面的平行的思考途徑
（1）轉化為直線與平面無公共點；
（2）轉化為線線平行；
（3）轉化為面面平行.
111．證明平面與平面平行的思考途徑
（1）轉化為判定二平面無公共點；
（2）轉化為線面平行；
（3）轉化為線面垂直.
112．證明直線與直線的垂直的思考途徑
（1）轉化為相交垂直；
（2）轉化為線面垂直；
（3）轉化為線與另一線的射影垂直；
（4）轉化為線與形成射影的斜線垂直.
113．證明直線與平面垂直的思考途徑
（1）轉化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；
（2）轉化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；
（3）轉化為該直線與平面的一條垂線平行；
（4）轉化為該直線垂直于另一個平行平面；
（5）轉化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直.
114．證明平面與平面的垂直的思考途徑
（1）轉化為判斷二面角是直二面角；
（2）轉化為線面垂直.
115.空間向量的加法與數(shù)乘向量運算的運算律
(1)加法交換律：a＋b=b＋a．
(2)加法結合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．
(3)數(shù)乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．
116.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣
始點相同且不在同一個平面內(nèi)的三個向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量.
117.共線向量定理
對空間任意兩個向量a、b(b≠0 )，a∥b存在實數(shù)λ使a=λb．
三點共線.
、共線且不共線且不共線.
118.共面向量定理
向量p與兩個不共線的向量a、b共面的存在實數(shù)對,使．
推論 空間一點P位于平面MAB內(nèi)的存在有序實數(shù)對,使，
或對空間任一定點O，有序實數(shù)對，使.
119.對空間任一點和不共線的三點A、B、C，滿足（），則當時，對于空間任一點，總有P、A、B、C四點共面；當時，若平面ABC，則P、A、B、C四點共面；若平面ABC，則P、A、B、C四點不共面．
四點共面與、共面
（平面ABC）.
120.空間向量基本定理
如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序實數(shù)組x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．
推論 設O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序實數(shù)x，y，z，使.
121.射影公式
已知向量=a和軸，e是上與同方向的單位向量.作A點在上的射影，作B點在上的射影，則
〈a，e〉=a·e
122.向量的直角坐標運算
設a＝，b＝則
(1)a＋b＝；
(2)a－b＝；
(3)λa＝ (λ∈R)；
(4)a·b＝；
123.設A，B，則
= .
124．空間的線線平行或垂直
設，，則
；
.
125.夾角公式
設a＝，b＝，則
cos〈a，b〉=.
推論 ，此即三維柯西不等式.
126. 四面體的對棱所成的角
四面體中, 與所成的角為,則
.
127．異面直線所成角

=
（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）
128.直線與平面所成角
(為平面的法向量).
129.若所在平面若與過若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個內(nèi)角，則
.
特別地,當時,有
.
130.若所在平面若與過若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個內(nèi)角，則
.
特別地,當時,有
.
131.二面角的平面角
或（，為平面，的法向量）.
132.三余弦定理
設AC是α內(nèi)的任一條直線，且BC⊥AC，垂足為C，又設AO與AB所成的角為，AB與AC所成的角為，AO與AC所成的角為．則.
133. 三射線定理
若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個半平面所成的角是,,與二面角的棱所成的角是θ，則有 ;
(當且僅當時等號成立).
134.空間兩點間的距離公式
若A，B，則
=.
135.點到直線距離
(點在直線上，直線的方向向量a=，向量b=).
136.異面直線間的距離
(是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點，為間的距離).
137.點到平面的距離
（為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）.
138.異面直線上兩點距離公式
.
.
（）.
(兩條異面直線a、b所成的角為θ，其公垂線段的長度為h.在直線a、b上分別取兩點E、F，,,).
139.三個向量和的平方公式


140. 長度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為，夾角分別為,則有
.
（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.
141. 面積射影定理
.
(平面多邊形及其射影的面積分別是、，它們所在平面所成銳二面角的為).
142. 斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的側棱長是,側面積和體積分別是和,它的直截面的周長和面積分別是和,則
①.
②.
143．作截面的依據(jù)
三個平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點或互相平行.
144．棱錐的平行截面的性質
如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比（對應角相等，對應邊對應成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對應邊的比的平方）；相應小棱錐與小棱錐的側面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比．
145.歐拉定理(歐拉公式)
(簡單多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F).
（1）=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,若每個面的邊數(shù)為的多邊形，則面數(shù)F與棱數(shù)E的關系：；
（2）若每個頂點引出的棱數(shù)為，則頂點數(shù)V與棱數(shù)E的關系：.
146.球的半徑是R，則
其體積,
其表面積．
147.球的組合體
(1)球與長方體的組合體:
長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.
(2)球與正方體的組合體:
正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長, 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長, 正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.
(3) 球與正四面體的組合體:
棱長為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為.
148．柱體、錐體的體積
（是柱體的底面積、是柱體的高）.
（是錐體的底面積、是錐體的高）.
149.分類計數(shù)原理（加法原理）
.
150.分步計數(shù)原理（乘法原理）
.
151.排列數(shù)公式
==.(，∈N*，且)．
注:規(guī)定.
152.排列恒等式
(1）;
（2）;
（3）;
（4）;
（5）.
(6) .
153.組合數(shù)公式
===(∈N*，，且).
154.組合數(shù)的兩個性質
(1)= ;
(2) +=.
注:規(guī)定.
155.組合恒等式
（1）;
（2）;
（3）;
（4）=;
（5）.
(6).
(7).
(8).
(9).
(10).
156.排列數(shù)與組合數(shù)的關系
.
157．單條件排列
以下各條的大前提是從個元素中取個元素的排列.
（1）“在位”與“不在位”
①某（特）元必在某位有種；②某（特）元不在某位有（補集思想）（著眼位置）（著眼元素）種.
（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）
①定位緊貼：個元在固定位的排列有種.
②浮動緊貼：個元素的全排列把k個元排在一起的排法有種.注：此類問題常用捆綁法；
③插空：兩組元素分別有k、h個（），把它們合在一起來作全排列，k個的一組互不能挨近的所有排列數(shù)有種.
（3）兩組元素各相同的插空
個大球個小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？
當時，無解；當時，有種排法.
（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個和n個，各組元素分別相同的排列數(shù)為.
158．分配問題
（1）(平均分組有歸屬問題)將相異的、個物件等分給個人，各得件，其分配方法數(shù)共有.
（2）(平均分組無歸屬問題)將相異的·個物體等分為無記號或無順序的堆，其分配方法數(shù)共有
.
（3）(非平均分組有歸屬問題)將相異的個物體分給個人，物件必須被分完，分別得到，，…，件，且，，…，這個數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)共有.
（4）(非完全平均分組有歸屬問題)將相異的個物體分給個人，物件必須被分完，分別得到，，…，件，且，，…，這個數(shù)中分別有a、b、c、…個相等，則其分配方法數(shù)有 .
（5）(非平均分組無歸屬問題)將相異的個物體分為任意的，，…，件無記號的堆，且，，…，這個數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)有.
（6）(非完全平均分組無歸屬問題)將相異的個物體分為任意的，，…，件無記號的堆，且，，…，這個數(shù)中分別有a、b、c、…個相等，則其分配方法數(shù)有.
（7）(限定分組有歸屬問題)將相異的（）個物體分給甲、乙、丙，……等個人，物體必須被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，…時，則無論，，…，等個數(shù)是否全相異或不全相異其分配方法數(shù)恒有
.
159．“錯位問題”及其推廣
貝努利裝錯箋問題:信封信與個信封全部錯位的組合數(shù)為
.
推廣: 個元素與個位置,其中至少有個元素錯位的不同組合總數(shù)為

.
160．不定方程的解的個數(shù)
(1)方程（）的正整數(shù)解有個.
(2) 方程（）的非負整數(shù)解有 個.
(3) 方程（）滿足條件(,)的非負整數(shù)解有個.
(4) 方程（）滿足條件(,)的正整數(shù)解有個.
161.二項式定理 ;
二項展開式的通項公式
.
162.等可能性事件的概率
.
163.互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和
P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
164.個互斥事件分別發(fā)生的概率的和
P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
165.獨立事件A，B同時發(fā)生的概率
P(A·B)= P(A)·P(B).
166.n個獨立事件同時發(fā)生的概率
P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)．
167.n次獨立重復試驗中某事件恰好發(fā)生k次的概率

168.離散型隨機變量的分布列的兩個性質
（1）;
（2）.
169.數(shù)學期望

170.數(shù)學期望的性質
（1）.
（2）若～,則.
(3) 若服從幾何分布,且，則.
171.方差

172.標準差
=.
173.方差的性質
(1)；
(2）若～，則.
(3) 若服從幾何分布,且，則.
174.方差與期望的關系
.
175.正態(tài)分布密度函數(shù)
，式中的實數(shù)μ，（>0）是參數(shù)，分別表示個體的平均數(shù)與標準差.
176.標準正態(tài)分布密度函數(shù)
.
177.對于，取值小于x的概率
.


.
178.回歸直線方程
，其中.
179.相關系數(shù)
.
|r|≤1，且|r|越接近于1，相關程度越大；|r|越接近于0，相關程度越小.
180.特殊數(shù)列的極限
（1）.
（2）.
（3）（無窮等比數(shù)列 ()的和）.
181. 函數(shù)的極限定理
.
182.函數(shù)的夾逼性定理
如果函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)在點x0的附近滿足：
（1）;
（2）（常數(shù)）,
則.
本定理對于單側極限和的情況仍然成立.
183.幾個常用極限
（1），（）；
（2），.
184.兩個重要的極限
（1）；
（2）(e=2.718281845…).
185.函數(shù)極限的四則運算法則
若，，則
(1)；
(2);
(3).
186.數(shù)列極限的四則運算法則
若，則
(1)；
(2)；
(3)
(4)( c是常數(shù)).
187.在處的導數(shù)（或變化率或微商）
.
188.瞬時速度
.
189.瞬時加速度
.
190.在的導數(shù)
.
191. 函數(shù)在點處的導數(shù)的幾何意義
函數(shù)在點處的導數(shù)是曲線在處的切線的斜率，相應的切線方程是.
192.幾種常見函數(shù)的導數(shù)
(1) （C為常數(shù)）.
(2) .
(3) .
(4) .
(5) ；.
(6) ; .
193.導數(shù)的運算法則
（1）.
（2）.
（3）.
194.復合函數(shù)的求導法則
設函數(shù)在點處有導數(shù)，函數(shù)在點處的對應點U處有導數(shù)，則復合函數(shù)在點處有導數(shù)，且，或寫作.
195.常用的近似計算公式（當充小時）
(1);；
(2)； ；
(3)；
(4)；
(5)（為弧度）；
(6)（為弧度）；
(7)（為弧度）
196.判別是極大（?。┲档姆椒?br /> 當函數(shù)在點處連續(xù)時，
（1）如果在附近的左側，右側，則是極大值；
（2）如果在附近的左側，右側，則是極小值.
197.復數(shù)的相等
.（）
198.復數(shù)的模（或絕對值）
==.
199.復數(shù)的四則運算法則
(1);
(2);
(3);
(4).
200.復數(shù)的乘法的運算律
對于任何，有
交換律:.
結合律:.
分配律: .
201.復平面上的兩點間的距離公式
（，）.
202.向量的垂直
非零復數(shù)，對應的向量分別是，，則
的實部為零為純虛數(shù)
(λ為非零實數(shù)).
203.實系數(shù)一元二次方程的解
實系數(shù)一元二次方程，
①若,則;
②若,則;
③若，它在實數(shù)集內(nèi)沒有實數(shù)根；在復數(shù)集內(nèi)有且僅有兩個共軛復數(shù)根.


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