豐臺(tái)區(qū)2019—2020學(xué)年度第一學(xué)期期末練習(xí)  高三數(shù)學(xué) 2020.01第一部分 （選擇題  共40分） 一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．若集合，，則（A）（B）（C）（D）2． 命題“”的否定是（A）（B）（C）（D）3． 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（A）（B）（C）（D）4．一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是，，，，則此四面體在坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積為（A）（B）（C）（D） 5．已知菱形邊長(zhǎng)為1，，則（A）（B）（C）（D）6．雙曲線(xiàn)的離心率為（A）（B）（C）（D） 7．已知公差不為0的等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，且成等比數(shù)列，則（A）（B）（C）（D） 8.  在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是（A）（B） （C）（D）9.  大西洋鮭魚(yú)每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域產(chǎn)卵. 記鮭魚(yú)的游速為（單位：），鮭魚(yú)的耗氧量的單位數(shù)為. 科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)與成正比. 當(dāng)時(shí)，鮭魚(yú)的耗氧量的單位數(shù)為. 當(dāng)時(shí)，其耗氧量的單位數(shù)為（A）（B） （C）（D）10. 在邊長(zhǎng)為的等邊三角形中，點(diǎn)分別是邊上的點(diǎn)，滿(mǎn)足且，將△沿直線(xiàn)折到△的位置. 在翻折過(guò)程中，下列結(jié)論成立的是   （A）在邊上存在點(diǎn)，使得在翻折過(guò)程中，滿(mǎn)足平面 （B）存在，使得在翻折過(guò)程中的某個(gè)位置，滿(mǎn)足平面平面（C）若，當(dāng)二面角為直二面角時(shí)， （D）在翻折過(guò)程中，四棱錐體積的最大值記為，的最大值為 第二部分 （非選擇題  共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．11.  復(fù)數(shù)的實(shí)部為          ．12.  我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“”和陰爻“”，右圖就是一重卦．如果某重卦中有2個(gè)陽(yáng)爻，則它可以組成          種重卦．（用數(shù)字作答）13.  已知分別為△內(nèi)角的對(duì)邊，且，則          ．14.  我們稱(chēng)一個(gè)數(shù)列是“有趣數(shù)列”，當(dāng)且僅當(dāng)該數(shù)列滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：①所有的奇數(shù)項(xiàng)滿(mǎn)足，所有的偶數(shù)項(xiàng)滿(mǎn)足；②任意相鄰的兩項(xiàng)，滿(mǎn)足.根據(jù)上面的信息完成下面的問(wèn)題：（i）數(shù)列          “有趣數(shù)列”（填“是”或者“不是”）；（ⅱ）若，則數(shù)列          “有趣數(shù)列”（填“是”或者“不是”）.15．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為          ；過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，若，則△的面積為          ．16．定義域?yàn)?/span>的函數(shù)同時(shí)滿(mǎn)足以下兩條性質(zhì)：①存在,使得；②對(duì)于任意，有.根據(jù)以下條件，分別寫(xiě)出滿(mǎn)足上述性質(zhì)的一個(gè)函數(shù).（i）若是增函數(shù)，則       ；（ⅱ）若不是單調(diào)函數(shù)，則        . 三、解答題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程． 17.（本小題共13分）已知函數(shù).（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值.   18.（本小題共14分）如圖，在三棱柱中，平面，，，的中點(diǎn)為.                                                           （Ⅰ）求證：；                                       （Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．  19.（本小題共13分）目前，中國(guó)有三分之二的城市面臨“垃圾圍城”的窘境. 我國(guó)的垃圾處理多采用填埋的方式，占用上萬(wàn)畝土地，并且嚴(yán)重污染環(huán)境. 垃圾分類(lèi)把不易降解的物質(zhì)分出來(lái)，減輕了土地的嚴(yán)重侵蝕，減少了土地流失. 2020年5月1日起，北京市將實(shí)行生活垃圾分類(lèi)，分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)為廚余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四類(lèi) .生活垃圾中有30%~40%可以回收利用，分出可回收垃圾既環(huán)保，又節(jié)約資源. 如：回收利用1噸廢紙可再造出0.8噸好紙，可以挽救17棵大樹(shù)，少用純堿240千克，降低造紙的污染排放75％，節(jié)省造紙能源消耗40％～50％.現(xiàn)調(diào)查了北京市5個(gè)小區(qū)12月份的生活垃圾投放情況，其中可回收物中廢紙和塑料品的投放量如下表： A小區(qū)B小區(qū)C小區(qū)D小區(qū)E小區(qū)廢紙投放量（噸）55.15.24.84.9塑料品投放量（噸）3.53.63.73.43.3（Ⅰ）從A，B，C，D，E這5個(gè)小區(qū)中任取1個(gè)小區(qū)，求該小區(qū)12月份的可回收物中，廢紙投放量超過(guò)5噸且塑料品投放量超過(guò)3.5噸的概率；（Ⅱ）從A，B，C，D，E這5個(gè)小區(qū)中任取2個(gè)小區(qū)，記X為12月份投放的廢紙可再造好紙超過(guò)4噸的小區(qū)個(gè)數(shù)，求X的分布列及期望． 20.（本小題共13分）已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)相切.（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）設(shè)為橢圓右頂點(diǎn)，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)（異于），直線(xiàn)，分別交直線(xiàn)于，兩點(diǎn). 求證：，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值. 21.（本小題共14分）已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅲ）對(duì)于任意，，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.   22.（本小題共13分）    已知，給定個(gè)整點(diǎn),其中.    （Ⅰ）當(dāng)時(shí),從上面的個(gè)整點(diǎn)中任取兩個(gè)不同的整點(diǎn)，求的所有可能值；    （Ⅱ）從上面個(gè)整點(diǎn)中任取個(gè)不同的整點(diǎn)，. （i）證明：存在互不相同的四個(gè)整點(diǎn)，滿(mǎn)足,；（ii）證明：存在互不相同的四個(gè)整點(diǎn)，滿(mǎn)足, （考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效）
豐臺(tái)區(qū)2019~2020學(xué)年度第一學(xué)期期末練習(xí)高三數(shù)學(xué) 參考答案及評(píng)分參考                                                                         2020．01一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．題號(hào)12345678910答案CCB BAABCDD 二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．11．                       12．15                    13．14．是；是                   15．；          16．；(答案不唯一)注：第14、15、16題第一空3分，第二空2分.三、解答題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．   17.（本小題共13分）解：（Ⅰ）                    .                                                       ……………….4分（Ⅱ）                              .            因?yàn)?/span>，所以.           當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.                                           ……………….13分 18.（本小題共14分）證明：（Ⅰ）因?yàn)?/span>平面，平面，所以.因?yàn)?/span>，所以.又因?yàn)?/span>，所以平面.因?yàn)?/span>平面，所以.                             ……………….4分                                                                                                                         （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，兩兩互相垂直，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．                        因?yàn)?/span>，所以，，，.因?yàn)?/span>平面，所以即為平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，， 則 即 令，則.于是.所以.由題知二面角為銳角，所以其余弦值為.              ……………….10分     （Ⅲ）假設(shè)棱上存在點(diǎn)，使得平面.由，又，故.            因?yàn)?/span>，為的中點(diǎn)，所以.所以.若平面，則，解得.又因?yàn)?/span>平面.            所以在棱上存在點(diǎn)，使得平面，且.                                                                      ……………….14分  19．（本小題共13分）解：（Ⅰ）記“該小區(qū)12月份的可回收物中廢紙投放量超過(guò)5噸且塑料品投放量超過(guò)3.5噸”為事件.            由題意，有B，C兩個(gè)小區(qū)12月份的可回收物中廢紙投放量超過(guò)5噸且塑料品投放量超過(guò)3.5噸，所以.                                                     ……………….4分  （Ⅱ）因?yàn)?/span>回收利用1噸廢紙可再造出0.8噸好紙，         所以12月份投放的廢紙可再造好紙超過(guò)4噸的小區(qū)有B，C，共2個(gè)小區(qū).         的所有可能取值為0，1，2.         ；；.所以的分布列為:012．                                                             ……………….13分  20.（本小題共13分）解：（Ⅰ）因?yàn)?/span>以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)相切，         所以半徑等于原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，，即.         由離心率，可知，且，得.故橢圓的方程為.                                      ……………….4分                      （Ⅱ）由橢圓的方程可知.若直線(xiàn)的斜率不存在，則直線(xiàn)方程為，所以.則直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為.         令，得，.         所以兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為.若直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為,由得，依題意恒成立.設(shè)， 則. 設(shè)，由題意三點(diǎn)共線(xiàn)可知，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.同理得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.所以.                         綜上，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.                                                                   ……………….13分             21．（本小題共14分）解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>所以，.又因?yàn)?/span>，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.                 ……………….4分（Ⅱ）因?yàn)?/span>，所以.令，解得或.若，當(dāng)即或時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；         當(dāng)即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，函數(shù)是增函數(shù).若，當(dāng)即或時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.當(dāng)即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.綜上，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為； 時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.……………….9分                                                                     （Ⅲ） 令，解得或.當(dāng)時(shí)，隨變化， 變化情況如下表：由表可知，此時(shí) ，不符合題意.當(dāng)時(shí)，隨變化， 變化情況如下表： 由表可得 ，且，，所以只需  即 解得.當(dāng)時(shí)，在恒成立，符合題意.當(dāng)時(shí)，只需  即 解得. 當(dāng)時(shí)，，不符合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.                                       ……………….14分      22．（本小題共13分）解:（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，4個(gè)整點(diǎn)分別為.所以的所有可能值.                                      ……………….3分 （Ⅱ）（i）假設(shè)不存在互不相同的四個(gè)整點(diǎn)，滿(mǎn)足.即在直線(xiàn)中至多有一條直線(xiàn)上取多于1個(gè)整點(diǎn)，其余每條直線(xiàn)上至多取一個(gè)整點(diǎn)， 此時(shí)符合條件的整點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為.而，與已知矛盾.故存在互不相同的四個(gè)整點(diǎn)，滿(mǎn)足.（ii）設(shè)直線(xiàn)上有個(gè)選定的點(diǎn).若，設(shè)上的這個(gè)選定的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且滿(mǎn)足.由，知中任意不同兩項(xiàng)之和至少有個(gè)不同的值，這對(duì)于也成立.由于中任意不同兩項(xiàng)之和的不同的值恰有個(gè)，而,可知存在四個(gè)不同的點(diǎn)，滿(mǎn)足,                               ……………….13分    （若用其他方法解題，請(qǐng)酌情給分） 

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