1.知識規(guī)律(1)掌握“兩個(gè)磁場力”。①安培力:F=BILsin θ,其中θ為B與I的夾角。②洛倫茲力:F=qvBsin θ,其中θ為B與v的夾角。(2)明確“兩個(gè)公式”。
(3)用準(zhǔn)“兩個(gè)定則”。①對電流的磁場用準(zhǔn)安培定則。②對通電導(dǎo)線在磁場中所受的安培力和帶電粒子在磁場中所受的洛倫茲力用準(zhǔn)左手定則。(4)畫好“兩個(gè)圖形”。①對安培力作用下的平衡、運(yùn)動問題畫好受力分析圖。②對帶電粒子的勻速圓周運(yùn)動問題畫好與圓有關(guān)的幾何圖形。2.思想方法(1)物理思想:對稱思想、等效思想。(2)物理方法:理想化模型方法、對稱法、臨界法。
對磁場性質(zhì)和磁場力的理解常以選擇題的形式考查通電導(dǎo)線周圍的磁場的性質(zhì)及磁場力的情況。例1如圖所示,用絕緣細(xì)線懸掛一個(gè)導(dǎo)線框,導(dǎo)線框是由兩同心半圓弧導(dǎo)線和直導(dǎo)線ab、cd(ab、cd在同一條水平直線上)連接而成的閉合回路,導(dǎo)線框中通有圖示方向的電流,處于靜止?fàn)顟B(tài)。在半圓弧導(dǎo)線的圓心處沿垂直于導(dǎo)線框平面的方向放置一根長直導(dǎo)線P。當(dāng)P中通以方向向外的電流時(shí)(　　)A.導(dǎo)線框?qū)⑾蜃髷[動B.導(dǎo)線框?qū)⑾蛴覕[動C.從上往下看,導(dǎo)線框?qū)㈨槙r(shí)針轉(zhuǎn)動D.從上往下看,導(dǎo)線框?qū)⒛鏁r(shí)針轉(zhuǎn)動
解析:當(dāng)直導(dǎo)線P中通以方向向外的電流時(shí),由安培定則可判斷出長直導(dǎo)線P產(chǎn)生的磁場方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向,磁感線是以P為圓心的同心圓,半圓弧導(dǎo)線與磁感線平行,不受安培力,由左手定則可判斷出直導(dǎo)線ab所受的安培力方向垂直紙面向外,cd所受的安培力方向垂直紙面向里,從上往下看,導(dǎo)線框?qū)⒛鏁r(shí)針轉(zhuǎn)動,故D正確。
規(guī)律方法分析磁場對電流的作用要做到“一明確、一轉(zhuǎn)化、一分析”
拓展訓(xùn)練1(2019·全國卷Ⅰ)如圖所示,等邊三角形線框LMN由三根相同的導(dǎo)體棒連接而成,固定于勻強(qiáng)磁場中,線框平面與磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直,線框頂點(diǎn)M、N與直流電源兩端相接。已知導(dǎo)體棒MN受到的安培力大小為F,則線框LMN受到的安培力的大小為(　　)A.2FD.0
解析:導(dǎo)體棒MN受到的安培力為F=BIl。根據(jù)串、并聯(lián)電路的特點(diǎn)可知,導(dǎo)體棒ML與LN的電阻之和是導(dǎo)體棒MN電阻的2倍,導(dǎo)體棒MN的電流是導(dǎo)體棒ML與LN電流的2倍,導(dǎo)體棒處在同一磁場中,導(dǎo)體棒ML與LN的有效長度與導(dǎo)體棒MN相同,導(dǎo)體棒ML與LN受到安培力的合力為0.5F。根據(jù)左手定則,導(dǎo)體棒ML與LN受到安培力的合力方向與導(dǎo)體棒MN受到的安培力方向相同,線框LMN受到安培力的合力為1.5F,故選B。
帶電粒子在磁場中的圓周運(yùn)動常以選擇題、計(jì)算題的形式考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動的情況。例2如圖所示,直角△OAC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O(0,0)、A(l,0)、C(0, l),在△OAC 區(qū)域內(nèi)有垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場。在t=0時(shí)刻,同時(shí)從三角形的OA邊各處以沿y軸正向的相同速度將質(zhì)量均為m、電荷量均為q的帶正電粒子射入磁場,已知在t=t0時(shí)刻從OC邊射出磁場的粒子的速度方向垂直于y軸。不計(jì)粒子重力和空氣阻力及粒子間相互作用。
(1)求磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小。(2)若從OA邊兩個(gè)不同位置射入磁場的粒子,先后從OC邊上的同一點(diǎn)P(P點(diǎn)圖中未標(biāo)出)射出磁場,求這兩個(gè)粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間t1與t2之間應(yīng)滿足的關(guān)系。(3)從OC邊上的同一點(diǎn)P射出磁場的這兩個(gè)粒子經(jīng)過P點(diǎn)的時(shí)間間隔與P點(diǎn)位置有關(guān),若該時(shí)間間隔最大值為 ,求粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度大小。思維導(dǎo)引
解析:(1)粒子在t0時(shí)間內(nèi),速度方向改變了90°,故周期T=4t0①
(2)在同一點(diǎn)射出磁場的兩粒子軌跡如圖所示,軌跡所對應(yīng)的圓心角分別為θ1和θ2,由幾何關(guān)系有θ1 =180°-θ2③
(3)由圓周運(yùn)動知識可知,兩粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間差Δt與Δθ成正比,即
粒子運(yùn)動周期T=4t0⑧則由⑤⑥⑦⑧得θ2最大值θ=150°在磁場中運(yùn)動時(shí)間最長的粒子軌跡如圖所示,由幾何關(guān)系α=180°-θ=30°
得∠A=60°β=90°-∠A=30°
規(guī)律方法帶電粒子在磁場中運(yùn)動的一般解題方法1.找圓心:用幾何方法確定圓心的位置,畫出運(yùn)動軌跡。
2.求半徑:分析帶電粒子在磁場中的運(yùn)動,對于軌跡圓半徑的求解是解決問題的瓶頸。求解半徑一般來說有以下兩種情況:(1)若題中已給出帶電粒子的質(zhì)量、電荷量、運(yùn)動的速度、磁感應(yīng)強(qiáng)度,由
若題中未給帶電粒子的電荷量、質(zhì)量等,而是給我們磁場的寬度、粒子的速度方向等,我們需要作出運(yùn)動的軌跡,構(gòu)造直角三角形,從幾何角度求解半徑,一般稱為幾何半徑。3.找關(guān)系:規(guī)范作出帶電粒子運(yùn)動軌跡圖線,并作適當(dāng)輔助線,找出其中隱含的幾何關(guān)系。4.用規(guī)律:一般應(yīng)用牛頓運(yùn)動定律求解,特別是半徑及周期公式。
拓展訓(xùn)練2如圖所示,無限寬廣的勻強(qiáng)磁場分布在xOy平面內(nèi),x軸上下方磁場均垂直xOy平面向里,x軸上方的磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,x軸下方的磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為-q的粒子以速度v0從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸正方向進(jìn)入上方磁場。在粒子運(yùn)動過程中,與x軸交于若干點(diǎn)。不計(jì)粒子的重力。
(1)求粒子在x軸上方磁場中做勻速圓周運(yùn)動的半徑。(2)設(shè)粒子在x軸上方的周期為T1,x軸下方的周期為T2,求T1∶T2。(3)如把x軸上方運(yùn)動的半周與x軸下方運(yùn)動的半周稱為一周期的話,則每經(jīng)過一周期,在x軸上粒子右移的距離。(4)在與x軸的所有交點(diǎn)中,粒子兩次通過同一點(diǎn)的坐標(biāo)位置。
解析:(1)設(shè)粒子在x軸上方磁場做勻速圓周運(yùn)動的半徑為r1,在下方磁場中做勻速圓周運(yùn)動的半徑為r2,
T1∶T2=4∶3。
(3)在磁場中粒子的運(yùn)動軌跡如圖所示,如把x軸上方運(yùn)動的半周與x軸下方運(yùn)動的半周稱為一周期的話,則每經(jīng)過一周期,
(4)則在第4周期剛結(jié)束時(shí)粒子第二次經(jīng)過x1=2r1的這一點(diǎn),以后每過一周期將會出現(xiàn)符合要求的點(diǎn)。
帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的臨界和極值問題常以計(jì)算題的形式考查帶電粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡及速度的臨界和極值問題。例3如圖所示,空間存在一個(gè)半徑為R0的圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域,磁場的方向垂直于紙面向里,磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B。有一個(gè)粒子源在紙面內(nèi)沿各個(gè)方向以一定速率發(fā)射大量粒子,粒子的質(zhì)量為m、電荷量為+q。將粒子源置于圓心,則所有粒子剛好都不能離開磁場。不考慮粒子之間的相互作用。
(1)求帶電粒子的速率。(2)若粒子源可置于磁場中任意位置,且磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小變?yōu)? B,求粒子在磁場中最長的運(yùn)動時(shí)間t。(3)若原磁場不變(磁感應(yīng)強(qiáng)度依舊為B),再疊加另一個(gè)半徑為R1(R1>R0)的圓形勻強(qiáng)磁場,疊加磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為 ,方向垂直于紙面向外,兩磁場區(qū)域成同心圓,此時(shí)該離子源從圓心出發(fā)的粒子都能回到圓心,求R1的最小值和粒子運(yùn)動的周期T。
解析:(1)粒子離開出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)的距離為軌道半徑的2倍,由幾何關(guān)系,則有R0=2r,r=0.5R0
規(guī)律方法應(yīng)用動態(tài)圓畫臨界軌跡的方法主要有以下兩種情況(1)如圖所示,一束帶負(fù)電的粒子以速度v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場,若初速度v方向相同,大小不同,所有粒子運(yùn)動軌跡的圓心都在垂直于初速度方向的直線上,速度增大時(shí),軌道半徑隨之增大,所有粒子的軌跡組成一組動態(tài)的內(nèi)切圓,與右邊界相切的圓即臨界軌跡。
(2)如圖所示,一束帶負(fù)電的粒子以速度v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場,若初速度v大小相同,方向不同,則所有粒子運(yùn)動的軌跡半徑相同,但不同粒子的圓心位置不同,其共同規(guī)律是所有粒子的圓心都在以入射點(diǎn)為圓心、以粒子軌道半徑為半徑的圓上(圖中虛線),從而可以找出動態(tài)圓的圓心軌跡。利用動態(tài)圓可以畫出粒子打在邊界上的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)。
拓展訓(xùn)練3(2020·全國卷Ⅱ)如圖所示,在0≤x≤h,-∞F2,則磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為(　　)
2.(多選)(2017·全國卷Ⅱ)某同學(xué)自制的簡易電動機(jī)示意圖如圖所示。矩形線圈由一根漆包線繞制而成,漆包線的兩端分別從線圈的一組對邊的中間位置引出,并作為線圈的轉(zhuǎn)軸。將線圈架在兩個(gè)金屬支架之間,線圈平面位于豎直面內(nèi),永磁鐵置于線圈下方。為了使電池與兩金屬支架連接后線圈能連續(xù)轉(zhuǎn)動起來,該同學(xué)應(yīng)將(　　)A.左、右轉(zhuǎn)軸下側(cè)的絕緣漆都刮掉B.左、右轉(zhuǎn)軸上下兩側(cè)的絕緣漆都刮掉C.左轉(zhuǎn)軸上側(cè)的絕緣漆刮掉,右轉(zhuǎn)軸下側(cè)的絕緣漆刮掉D.左轉(zhuǎn)軸上下兩側(cè)的絕緣漆都刮掉,右轉(zhuǎn)軸下側(cè)的絕緣漆刮掉
3.(2019·全國卷Ⅱ)如圖,邊長為l的正方形abcd內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直于紙面(abcd所在平面)向外。ab邊中點(diǎn)有一電子發(fā)射源O,可向磁場內(nèi)沿垂直于ab邊的方向發(fā)射電子。已知電子的比荷為k,則從a、d兩點(diǎn)射出的電子的速度大小分別為(　　)
4.(多選)(2019·江蘇無錫模擬)如圖所示,在一個(gè)等腰直角三角形區(qū)域ABC內(nèi),存在方向垂直于紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(邊界上有磁場),AC=BC=l,∠C=90°。質(zhì)量為m、電荷量為+q的大量相同的粒子以不同速率從AB邊上距A點(diǎn)為l的D點(diǎn)垂直于邊界AB和磁場方向射入勻強(qiáng)磁場,不計(jì)粒子間的相互作用及粒子重力,則以下結(jié)論正確的是(　　)
5.為了進(jìn)一步提高回旋加速器的能量,科學(xué)家建造了“扇形聚焦回旋加速器”。在扇形聚焦過程中,離子能以不變的速率在閉合平衡軌道上周期性旋轉(zhuǎn)。扇形聚焦磁場分布的簡化圖如圖所示,圓心為O的圓形區(qū)域等分成六個(gè)扇形區(qū)域,其中三個(gè)為峰區(qū),三個(gè)為谷區(qū),峰區(qū)和谷區(qū)相間分布。峰區(qū)內(nèi)存在方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,谷區(qū)內(nèi)沒有磁場。質(zhì)量為m,電荷量為q的正離子,以不變的速率v旋轉(zhuǎn),其閉合平衡軌道如圖中虛線所示。
(1)求閉合平衡軌道在峰區(qū)內(nèi)圓弧的半徑r,并判斷離子旋轉(zhuǎn)的方向是順時(shí)針還是逆時(shí)針。(2)求軌道在一個(gè)峰區(qū)內(nèi)圓弧的圓心角θ,及離子繞閉合平衡軌道旋轉(zhuǎn)的周期T。(3)在谷區(qū)也施加垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B',新的閉合平衡軌道在一個(gè)峰區(qū)內(nèi)的圓心角θ變?yōu)?0°,求B'和B的關(guān)系。
(3)如圖乙所示,谷區(qū)內(nèi)的圓心角θ‘=120°-90°=30°⑧
帶電粒子在磁場中運(yùn)動的多解問題【典例示范】 如圖所示,A、B為一對平行板,板長為l,兩板間距離為d,板間區(qū)域內(nèi)充滿著勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直紙面向里,一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電粒子以初速度v0,從A、B兩板的中間,沿垂直于磁感線的方向射入磁場。求v0在什么范圍內(nèi),粒子能從磁場內(nèi)射出。(粒子重力不計(jì))
分析推理:1.粒子到下極板距離為 ,粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動。2.粒子有可能從磁場的左側(cè)射出,也有可能從右側(cè)射出。
以題說法1.要正確分析帶電粒子在磁場中運(yùn)動的多解原因。帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動的問題形成多解的原因:帶電粒子電性不確定;磁場方向不確定;臨界狀態(tài)不唯一;運(yùn)動的重復(fù)性等。2.要熟練掌握半徑公式。帶電粒子在磁場中受洛倫茲力作用做勻速圓周運(yùn)動的半徑r= ,當(dāng)磁場一定時(shí),粒子的圓周軌道半徑與速度成正比。3.要明確解決多解問題的一般思路。(1)明確帶電粒子的電性和磁場方向。(2)正確找出帶電粒子運(yùn)動的臨界狀態(tài)。(3)結(jié)合帶電粒子的運(yùn)動軌跡利用圓周運(yùn)動的周期性進(jìn)行分析計(jì)算。
針對訓(xùn)練 (多選)如圖所示,S處有一電子源,可向紙面內(nèi)任意方向發(fā)射電子,平板MN垂直于紙面,在紙面內(nèi)的長度L=9.1 cm,中點(diǎn)O與S間的距離d=4.55 cm,MN與SO直線的夾角為θ,板所在平面有電子源的一側(cè)區(qū)域有方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2.0×10-4 T。電子質(zhì)量m=9.1×10-31 kg,電荷量e=-1.6×10-19 C,不計(jì)電子重力。電子源發(fā)射速度v=1.6×106 m/s的一個(gè)電子,該電子打在板上可能位置的區(qū)域的長度為l,則(　　)A.θ=90°時(shí),l=9.1 cmB.θ=60°時(shí),l=9.1 cmC.θ=45°時(shí),l=4.55 cmD.θ=30°時(shí),l=4.55 cm
由左手定則可知,電子在磁場中做逆時(shí)針圓周運(yùn)動,且S為圓周上的一點(diǎn)。當(dāng)θ≤90°時(shí),S發(fā)出的電子中一定有電子打在N點(diǎn)。若電子打在板上的區(qū)域長度l=4.55 cm,則電子最遠(yuǎn)只能打到板右側(cè)的O點(diǎn)處,且 與MN相切,即O1O⊥MN,設(shè)此時(shí)圓心為O1,如圖甲所示,因有O1O=O1S=OS=4.55 cm,則∠O1OS=60°,那么θ=30°,C項(xiàng)錯誤,D項(xiàng)正確;若電子打在板上的區(qū)域長度l=9.1 cm,則電子最遠(yuǎn)可打到板右側(cè)M點(diǎn)處,且 與MN相切,即O2M⊥MN。設(shè)此時(shí)圓心為O2,如圖乙所示,因?yàn)镺2S=O2M=OM=OS=4.55 cm,則SO⊥MN,那么θ=90°,A項(xiàng)正確,B項(xiàng)錯誤。

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