?2018年人教版小升初數(shù)學復習卷（1）
一、解答題（共19小題，滿分0分）
1．（2018?長沙）如圖，ABCD是一個邊長為6米的模擬跑道，甲玩具車從A出發(fā)順時針行進，速度是每秒5厘米，乙玩具車從CD的中點出發(fā)逆時針行進（乙車速度小于甲車速度），結果兩車第二次相遇恰好是在B點，求乙車每秒走多少厘米？

2．（2017?雨花區(qū)）已知甲車速度為每小時90千米，乙車速度為每小時60千米，甲乙兩車分別從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，在途徑C地時乙車比甲車早到10分鐘；第二天甲乙分別從B，A兩地出發(fā)同時返回原來出發(fā)地，在途徑C地時甲車比乙車早到1個半小時，那么AB距離是多少？
3．甲、乙、丙三人步行的速度分別是：每分鐘甲走90米，乙走75米，丙走60米．甲、丙從某長街的西頭、乙從該長街的東頭同時出發(fā)相向而行，甲、乙相遇后恰好4分鐘乙、丙相遇，那麼這條長街的長度是多少米？
4．（2014?成都模擬）甲乙兩人在A、B兩地間往返散步，甲從A、乙從B同時出發(fā)；第一次相遇點距B處60米．當乙從A處返回時走了lO米第二次與甲相遇．A、B相距多少米？
5．甲，乙兩人在一條長100米的直路上來回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒．如果他們同時分別從直路的兩端出發(fā)，當他們跑了10分鐘后，共相遇多少次？
6．（2017?重慶）從一個長為8厘米，寬為7厘米，高為6厘米的長方體中截下一個最大的正方體，剩下的幾何體的表面積是　 　平方厘米．
7．有一個棱長為1米的立方體，沿長、寬、高分別切二刀、三刀、四刀后，成為60個小長方體這60個小長方體的表面積總和是　 　平方米．
8．一千個體積為1立方厘米的小正方體合在一起成為一個邊長為10厘米的大正方體，大正方體表面涂油漆后再分開為原來的小正方體，這些小正方體至少有一面被油漆涂過的數(shù)目是多少個？
9．大貨車和小轎車從同一地點出發(fā)沿同一公路行駛，大貨車先走1.5小時，小轎車出發(fā)后4小時后追上了大貨車．如果小轎車每小時多行5千米，那么出發(fā)后3小時就追上了大貨車．問：小轎車實際上每小時行多少千米？
10．（2017?重慶）小強騎自行車從家到學校去，平常只用20分鐘．由于途中有2千米正在修路，只好推車步行，步行速度只有騎車的，結果用了36分鐘才到學校．小強家到學校有多少千米？
11．小靈通和爺爺同時從這里出發(fā)回家，小靈通步行回去，爺爺在前的路程中乘車，車速是小靈通步行速度的10倍．其余路程爺爺走回去，爺爺步行的速度只有小靈通步行速度的一半，您猜一猜咱們爺孫倆誰先到家？
12．客車和貨車同時從甲、乙兩城之間的中點向相反的方向相反的方向行駛，3小時后，客車到達甲城，貨車離乙城還有30千米．已知貨車的速度是客車的，甲、乙兩城相距多少千米？
13．（2014?成都模擬）小明跑步速度是步行速度的3倍，他每天從家到學校都是步行．有一天由于晚出發(fā)10分鐘，他不得不跑步行了一半路程，另一半路程步行，這樣與平時到達學校的時間一樣．那么小明每天步行上學需要時間多少分鐘？
14．如果將八個數(shù)14，30，33，35，39，75，143，169平均分成兩組，使得這兩組數(shù)的乘積相等，那么分
組的情況是什么？
15．觀察1+3＝4；4+5＝9；9+7＝16；16+9＝25；25+11＝36這五道算式，找出規(guī)律，然后填寫20012+　 ?。?0022．
16．請你從01、02、03、…、98、99中選取一些數(shù)，使得對于任何由0～9當中的某些數(shù)字組成的無窮長的一串數(shù)當中，都有某兩個相鄰的數(shù)字，是你所選出的那些數(shù)中當中的一個．為了達到這些目的：
（1）請你說明：11這個數(shù)必須選出來；
（2）請你說明：37和73這兩個數(shù)當中至少要選出一個；
（3）你能選出55個數(shù)滿足要求嗎？
17．如數(shù)表：
第1行 1 2 3…1415
第2行 30 29 28…1716
第3行 31 32 33…4445
……………………
第n行…………A………………
第n+1行…………B………………
第n行有一個數(shù)A，它的下一行（第n+1行）有一個數(shù)B，且A和B在同一豎列．如果A+B＝391，那么n＝　 ?。?br /> 18．在環(huán)形跑道上，兩人都按順時針方向跑時，每12分鐘相遇一次，如果兩人速度不變，其中一人改成按逆時針方向跑，每隔4分鐘相遇一次，問兩人各跑一圈需要幾分鐘？
19．小馬虎上學忘了帶書包，爸爸發(fā)現(xiàn)后立即騎車去追，把書包交給他后立即返回家．小馬虎接到書包后又走了10分鐘到達學校，這時爸爸也正好到家．如果爸爸的速度是小馬虎速度的4倍，那么小馬虎從家到學校共用多少時間？

2018年人教版小升初數(shù)學復習卷（1）
參考答案與試題解析
一、解答題（共19小題，滿分0分）
1．（2018?長沙）如圖，ABCD是一個邊長為6米的模擬跑道，甲玩具車從A出發(fā)順時針行進，速度是每秒5厘米，乙玩具車從CD的中點出發(fā)逆時針行進（乙車速度小于甲車速度），結果兩車第二次相遇恰好是在B點，求乙車每秒走多少厘米？

【考點】M4：多次相遇問題．菁優(yōu)網版權所有
【分析】第二次同時到達B點，說明甲、乙用的時間是相同的，因此只要根據甲的速度及行駛路程求出相遇時間即能求出乙的速度．6米＝600厘米，第二次相遇在B點，則甲走了一圈再加上AB，即甲走的路程為五個邊長：600×5＝3000厘米，所以甲所用時間為：3000÷5＝600秒；此時第二次相遇，乙車應該走了DC的一半和CB的路程，路程為600+600÷2＝900厘米，則乙的速度為900÷600＝1.5厘米/秒．
【解答】解：6米＝600厘米；
（600+600÷2）÷（600×5÷5）
＝900÷600
＝1.5（厘米）
答：乙車每秒走1.5厘米．
【點評】根據甲的速度及行駛路程求出相遇時間是完成本題的關鍵．
2．（2017?雨花區(qū)）已知甲車速度為每小時90千米，乙車速度為每小時60千米，甲乙兩車分別從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，在途徑C地時乙車比甲車早到10分鐘；第二天甲乙分別從B，A兩地出發(fā)同時返回原來出發(fā)地，在途徑C地時甲車比乙車早到1個半小時，那么AB距離是多少？
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【分析】根據題意可知，甲乙兩車的速度比為90：60＝3：2，如圖，第一天，當乙車行駛到C點時（乙車行駛了BC路段），甲車行駛的距離是BC段的倍，那么AC路段的長度是BC90；第二天，當甲車行駛到C點時（甲車行駛了BC段），
乙車行駛的距離是BC段的倍，那么AC段的長度是BC60×1.5．由此可設BC的長度為x千米，可得方程：x90x60×1.5，解此方程后求得BC的距離后即能求得AB的距離是多少．

【解答】解：由于甲、乙車的速度比 90：60＝3：2，
10分鐘小時，1個半小時＝1.5小時．
由此可設BC的長度為x千米，可得方程：
x90x60×1.5，
x+15x+90，
x＝75，
x＝90．
則AB的全長為：
（90+60）×（90÷60）+90，
＝150×1.5+15，
＝225+15，
＝240（千米）．
答：A、B的距離為240千米．
【點評】同行程問題中，行駛相同的時間，兩人的速度比就是兩人所行路程的比．
3．甲、乙、丙三人步行的速度分別是：每分鐘甲走90米，乙走75米，丙走60米．甲、丙從某長街的西頭、乙從該長街的東頭同時出發(fā)相向而行，甲、乙相遇后恰好4分鐘乙、丙相遇，那麼這條長街的長度是多少米？
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【分析】甲、乙相遇后4分鐘乙、丙相遇，說明甲、乙相遇時乙、丙還差4分鐘的路程，即還差4×（75+60）＝540米；而這540米也是甲、乙相遇時間里甲、丙的路程差，根據路程÷速度差＝時間可知甲、乙相遇時間＝540÷（90﹣60）＝18分鐘，所以長街長＝18×（90+75）＝2970米．
【解答】解：相遇時甲丙相距：4×（75+60）＝540（米）；
甲乙的相遇時間為：540÷（90﹣60）＝18（分鐘）；
長街長為：18×（90+75）＝2970（米）．
答：這條長街的長度是2970米．
【點評】由甲乙相遇后乙丙的相遇時間求出甲乙相遇時甲丙相距的路程是完成本題的關鍵．
4．（2014?成都模擬）甲乙兩人在A、B兩地間往返散步，甲從A、乙從B同時出發(fā)；第一次相遇點距B處60米．當乙從A處返回時走了lO米第二次與甲相遇．A、B相距多少米？
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【分析】“第一次相遇點距B處60 米”意味著乙走了60米和甲相遇，兩次相遇兩人總共走了3個全程，一個全程里乙走了60，則3個全程里乙走了3×60＝180米，第二次相遇是距A地10米．此時乙走的路程是一個全程多10米，所以A、B相距＝180﹣10＝170米．
【解答】解：60×3﹣10
＝180﹣10，
＝170（米）．
答：A、B兩地直距170米．
【點評】根據兩次相遇點距起點的距離求出兩次相遇時乙所行的路程是完成本題的關鍵．
5．甲，乙兩人在一條長100米的直路上來回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒．如果他們同時分別從直路的兩端出發(fā)，當他們跑了10分鐘后，共相遇多少次？
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【分析】根據速度和×時間＝共行路程可知，10分鐘兩人共跑了（3+2）×60×10＝3000米，直路共長100米，所以10分內兩人共跑了3000÷100＝30個全程．第一次相遇時他們共行一個全程，以后每相遇一次就共行兩個全程，即他們總是在奇數(shù)個全程時相遇（不包括追上）1、3、5、7…29共15次．
【解答】解：兩人10分鐘共行的全程為：
（3+2）×60×10÷100，
＝5×60×10÷100，
＝30（個）；
由于他們總是在奇數(shù)個全程時相遇，
1～30共有30÷2＝15個奇數(shù)，
所以他們跑了10分鐘后，共相遇15次．
答：他們跑了10分鐘后，共相遇15次．
【點評】在兩人同時從兩地相向而行并不斷往返的多次相遇問題中，他們總是在奇數(shù)個全程時相遇．
6．（2017?重慶）從一個長為8厘米，寬為7厘米，高為6厘米的長方體中截下一個最大的正方體，剩下的幾何體的表面積是　220　平方厘米．
【考點】8S：簡單的立方體切拼問題；AB：長方體和正方體的表面積．菁優(yōu)網版權所有
【分析】最大正方體的棱長為6厘米，根據切割方法可知：切割后剩下表面積就是少了2個面積為6×6的上下面，側面根據移補都沒有減少，所以現(xiàn)在的面積為（8×7+8×6+7×6）×2﹣6×6×2＝220平方厘米．
【解答】解：（8×7+8×6+7×6）×2﹣6×6×2，
＝（56+48+42）×2﹣72，
＝292﹣72
＝220（平方厘米）；
答：剩下的幾何體的表面積是220平方厘米．
故答案為：220．
【點評】此題抓住題干得出此長方體中最大正方體的棱長特點，找出切割后減少的面積即可解決問題．
7．有一個棱長為1米的立方體，沿長、寬、高分別切二刀、三刀、四刀后，成為60個小長方體這60個小長方體的表面積總和是　24　平方米．
【考點】OB：規(guī)則立體圖形的表面積．菁優(yōu)網版權所有
【專題】462：立體圖形的認識與計算．
【分析】棱長為1m的正方體的表面積是6m2，每切一刀，總面積增加1×1×2＝2m2，因為分成60個小長方體，共切（2+3+4）＝9刀，進而求出增加的面積，然后加上原來正方體的表面積即可．
【解答】解：棱長為1m的正方體的表面積是：1×1×6＝6（m2）
每切一刀，總面積增加：1×1×2＝2（m2）
則表面積總和：6+（2+3+4）×2
＝6+18
＝24（m2）；
答：這60個小長方體表面積總和是24平方米．
故答案為：24
【點評】明確每切一刀，總面積增加1×1×2＝2m2，是解答此題的關鍵．
8．一千個體積為1立方厘米的小正方體合在一起成為一個邊長為10厘米的大正方體，大正方體表面涂油漆后再分開為原來的小正方體，這些小正方體至少有一面被油漆涂過的數(shù)目是多少個？
【考點】8S：簡單的立方體切拼問題．菁優(yōu)網版權所有
【分析】表面涂漆的小正方體都在大正方體的表面上，由此可以先求得內部沒有涂色的小正方體的個數(shù)，再利用小正方體的總個數(shù)﹣沒有涂色的即可解答．
【解答】解：共有小正方體：10×10×10＝1000（個），
其中沒有涂色的為：（10﹣2）×（10﹣2）×（10﹣2）＝8×8×8＝512（個），
所以至少有一面被油漆漆過的小正方體為1000﹣512＝488（個）．
答：至少有一面被油漆漆過的小正方體為488個．
【點評】涂色的小正方體都在大正方體的表面上．
9．大貨車和小轎車從同一地點出發(fā)沿同一公路行駛，大貨車先走1.5小時，小轎車出發(fā)后4小時后追上了大貨車．如果小轎車每小時多行5千米，那么出發(fā)后3小時就追上了大貨車．問：小轎車實際上每小時行多少千米？
【考點】M2：追及問題．菁優(yōu)網版權所有
【分析】從大貨車先走1.5小時，小轎車出發(fā)4小時后追上大貨車．可知大貨車5.5小時的路程等于小轎車走4小時的路程，則大貨車的速度是小轎車的；
從小轎車每小時多走5千米，出發(fā)后3小時就可以追上大貨車，所以每小時的速度差是5×3＝15（千米），因為大貨車的速度是小轎車的．所以小轎車的速度是：15÷（1），解決問題．
【解答】解：大貨車的速度是小轎車速度的：
4：（1.5+4），
＝4+5.5，
；
小轎車實際上每小時行：
5×3÷（1），
＝15，
＝15，
＝55（千米）；
答：小轎車實際上每小時行55千米．
【點評】此題實際上屬于差倍問題，先求出大貨車比小轎車每小時少行幾分之幾，再根據速度差，即可求出小轎車的速度．
10．（2017?重慶）小強騎自行車從家到學校去，平常只用20分鐘．由于途中有2千米正在修路，只好推車步行，步行速度只有騎車的，結果用了36分鐘才到學校．小強家到學校有多少千米？
【考點】37：分數(shù)四則復合應用題．菁優(yōu)網版權所有
【專題】45A：分數(shù)百分數(shù)應用題．
【分析】首先根據速度×時間＝路程，可得路程一定時，速度和用的時間成反比，據此求出騎車行2千米用的時間是多少，進而求出小強騎車的速度是多少；然后根據速度×時間＝路程，用小強騎車的速度乘以小強騎自行車從家到學校用的時間，求出小強家到學校有多少千米即可．
【解答】解：因為步行速度是騎車速度的，所以推車步行2千米用的時間是平時騎車行2千米用的時間的3倍；
2÷[（36﹣20）÷（3﹣1）]×20
＝2÷8×20
＝5（千米）
答：小強家到學校有5千米．
【點評】此題主要考查了行程問題中速度、時間和路程的關系：速度×時間＝路程，路程÷時間＝速度，路程÷速度＝時間，要熟練掌握，解答此題的關鍵是求出小強騎車的速度是多少．
11．小靈通和爺爺同時從這里出發(fā)回家，小靈通步行回去，爺爺在前的路程中乘車，車速是小靈通步行速度的10倍．其余路程爺爺走回去，爺爺步行的速度只有小靈通步行速度的一半，您猜一猜咱們爺孫倆誰先到家？
【考點】3E：簡單的行程問題．菁優(yōu)網版權所有
【分析】由題意可知，爺爺步行的速度只有小靈通步行速度的一半，即小靈通的速度是爺爺?shù)?倍，可設設爺爺步行的速度為“1”，則小靈通步行的速度為“2”，則車速為2×10＝20．到家需走的路程為“1”．由此根據路程÷速度＝時間進行解答即可．
【解答】解：設爺爺步行的速度為“1”，則小靈通步行的速度為“2”，車速則為“20”．到家需走的路程為“1”．
小靈通到家所需時間為：1÷2，
爺爺?shù)郊宜钑r間為：
201
，
．
，所以爺爺先到家．
答：爺爺先到家．
【點評】在此類沒有給出具體數(shù)量的題目可根據他們速度之間倍數(shù)關系給他們的速度設一個數(shù)值進行解答．
12．客車和貨車同時從甲、乙兩城之間的中點向相反的方向相反的方向行駛，3小時后，客車到達甲城，貨車離乙城還有30千米．已知貨車的速度是客車的，甲、乙兩城相距多少千米？
【考點】3E：簡單的行程問題．菁優(yōu)網版權所有
【分析】由于客車速度：貨車速度＝4：3，那么同樣時間里所行的路程比也是4：3，也就是說客車比貨車多行了1份，多30千米；所以客車走了30×4＝120千米，所以兩城相距120×2＝240千米．
【解答】解：由于兩車的速度比是4：3，
所以兩車所行的路程比是4：3，
則全程為：
30×4×2＝240（千米）．
答：甲乙兩地相距240千米．
【點評】在行程問題中，在相同的時間內，兩車所行路程比等于兩車的速度比．
13．（2014?成都模擬）小明跑步速度是步行速度的3倍，他每天從家到學校都是步行．有一天由于晚出發(fā)10分鐘，他不得不跑步行了一半路程，另一半路程步行，這樣與平時到達學校的時間一樣．那么小明每天步行上學需要時間多少分鐘？
【考點】3E：簡單的行程問題．菁優(yōu)網版權所有
【分析】由題意可知，跑步行了一半路程，另一半路程步行，則后一半路程用的時間和原來的時間相等；由于小明跑步速度是步行速度的3倍即跑步的速度比步行的速度比是3：1，則跑步行前一半路程所用的時間是原來的，比原來節(jié)省了的時間，所以原來走一半路程需要1015分鐘，則全程要15×2＝30分鐘．
【解答】解：由題意可知，跑步的速度比步行的速度比是3：1，
則跑步行前一半路程所用的時間是原來的，比原來節(jié)省了的時間，
所以原來走一半路程需要1015（分鐘），
則全程要15×2＝30（分鐘）．
答：小明每天步行上學需要時間30分鐘．
【點評】行駛相同的路程，速度和所用時間成反比．
14．如果將八個數(shù)14，30，33，35，39，75，143，169平均分成兩組，使得這兩組數(shù)的乘積相等，那么分
組的情況是什么？
【考點】D9：平均數(shù)的含義及求平均數(shù)的方法．菁優(yōu)網版權所有
【專題】45G：平均數(shù)問題．
【分析】將14，30，33，35，39，75，143，169這八個數(shù)平均分成兩組，使他們的乘積相等．根據題目要求，我們首先把這8個數(shù)分別分解質因數(shù)，把含有相同質因數(shù)的數(shù)歸為一組，然后根據質因數(shù)的情況調配即可得到答案．
【解答】解：14＝2×7，
30＝2×3×5，
33＝3×11，
35＝5×7，
39＝3×13，
75＝3×5×5，
143＝11×13，
169＝13×13，
再根據質因數(shù)的情況，把含有相同質因數(shù)的數(shù)歸為一組．其中質因數(shù)3、5、13各有四個，質因數(shù)2、7、11各有二個，因其中二個5及二個13在同一個數(shù)中，故分攤時應先考慮，于是可得如下兩個小組，每小組中兩個數(shù)的積分別相等．
所以得如下兩種分組結果：
第一種：一組是：75、14、169、33，
另一組是：35、30、143、39；
第二種：一組是：75、14、143、39
另一組是：35、30、169、33；
【點評】此題考查的目的是理解掌握合數(shù)分解質因數(shù)的方法及應用，解題時，要細心觀察．
15．觀察1+3＝4；4+5＝9；9+7＝16；16+9＝25；25+11＝36這五道算式，找出規(guī)律，然后填寫20012+　4003　＝20022．
【考點】73：“式”的規(guī)律．菁優(yōu)網版權所有
【專題】424：探索數(shù)的規(guī)律．
【分析】根據已知的五道算式變形可得：22﹣12＝3；32﹣22＝5；42﹣32＝7；52﹣42＝9；62﹣52＝11，通過觀察可以找出規(guī)律：相鄰的兩個自然數(shù)的平方差，得到的差等于這兩個自然數(shù)的和；根據這個規(guī)律，把20012+（　　）＝20022變形為20022﹣20012＝（　?。蝗缓蠹纯山獯穑?br /> 【解答】解：通過觀察可以得出規(guī)律：相鄰的兩個自然數(shù)的平方差，得到的差等于這兩個自然數(shù)的和．
20022﹣20012
＝2002+2001
＝4003
所以：20012+4003＝20022．
故答案為：4003．
【點評】本題可以從問題發(fā)現(xiàn)一些信息，即一定和平方數(shù)有關系，所以把已知的五道算式變形就找出規(guī)律了．
16．請你從01、02、03、…、98、99中選取一些數(shù)，使得對于任何由0～9當中的某些數(shù)字組成的無窮長的一串數(shù)當中，都有某兩個相鄰的數(shù)字，是你所選出的那些數(shù)中當中的一個．為了達到這些目的：
（1）請你說明：11這個數(shù)必須選出來；
（2）請你說明：37和73這兩個數(shù)當中至少要選出一個；
（3）你能選出55個數(shù)滿足要求嗎？
【考點】J1：數(shù)字問題．菁優(yōu)網版權所有
【專題】16：壓軸題．
【分析】（1）11，22，33，…99，這就9個數(shù)都是必選的，因為如果組成這個無窮長數(shù)的就是1～9某個單一的數(shù)比如111…11…，只出現(xiàn)11，因此11必選，同理要求前述9個數(shù)必選．
（2）比如這個數(shù)3737…37…，同時出現(xiàn)且只出現(xiàn)37和37，這就要求37和73必須選出一個來．
（3）同37的例子，
01和10必選其一，02和20必選其一，……09和90必選其一，選出9個
12和21必選其一，13和31必選其一，……19和91必選其一，選出8個．
23和32必選其一，24和42必選其一，……29和92必選其一，選出7個．
………
89和98必選其一，選出1個．
如果我們只選兩個中的小數(shù)這樣將會選出9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45個．再加上11～99這9個數(shù)就是54個．
【解答】解：（1）如果出現(xiàn)的數(shù)是111…11…，只出現(xiàn)11，因此11必選．
（2）如果出現(xiàn)的這個數(shù)是3737…37…，同時出現(xiàn)且只出現(xiàn)37和37，這就要求37和73必須選出一個來．
（3）01和10必選其一，02和20必選其一，……09和90必選其一，選出9個；12和21必選其一，13和31必選其一，……19和91必選其一，選出8個；23和32必選其一，24和42必選其一，……29和92必選其一，選出7個；………89和98必選其一，選出1個．
這樣將會選出9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45（個）
45+9＝54（個）
另外再任意選一個即可．
【點評】此題在分析的時候，要注意前兩題是為解決最后一題作準備的，體現(xiàn)了從特殊到一般的研究方法．
17．如數(shù)表：
第1行 1 2 3…1415
第2行 30 29 28…1716
第3行 31 32 33…4445
……………………
第n行…………A………………
第n+1行…………B………………
第n行有一個數(shù)A，它的下一行（第n+1行）有一個數(shù)B，且A和B在同一豎列．如果A+B＝391，那么n＝　13　．
【考點】OE：數(shù)陣圖中找規(guī)律的問題．菁優(yōu)網版權所有
【專題】48Q：數(shù)陣圖中找規(guī)律的問題．
【分析】從上面數(shù)列可以看出，第n行與第n+1行對應的數(shù)和從左往右都是相等的，如1+30＝2+29＝3+28，并且奇數(shù)行與偶數(shù)行的末尾數(shù)相差1，偶數(shù)行與奇數(shù)行的首位數(shù)相差1，據此解答．
【解答】解：
（391﹣1）÷2＝195
195÷15＝13
故答案為：13．
【點評】此題的關鍵是找出數(shù)陣中的數(shù)的排布規(guī)律，利用規(guī)律解題．
18．在環(huán)形跑道上，兩人都按順時針方向跑時，每12分鐘相遇一次，如果兩人速度不變，其中一人改成按逆時針方向跑，每隔4分鐘相遇一次，問兩人各跑一圈需要幾分鐘？
【考點】M5：環(huán)形跑道問題．菁優(yōu)網版權所有
【專題】48G：綜合行程問題．
【分析】把這個跑道的長度看作單位“1”，分別求得二人的速度，即可求出他們跑一圈各自用的時間：
（1）兩人都按順時針方向跑時，屬于追及問題，假設兩人為甲和乙，甲比乙跑的快，12分鐘相遇說明二人的速度差是；
（2）其中一人改成按逆時針方向跑，屬于相遇問題：每隔4分鐘相遇一次說明二人的速度之和是；
有上述推理，根據和差公式可得：即可得出甲的速度為：（）÷2，從而得出乙的速度是：；由此即可解決問題．
【解答】解：兩人的速度差是：，
兩人的速度和是，
（）÷2
2


所以跑完一圈，速度快的人需要的時間：16（分鐘）
速度慢的人需要時間：112（分鐘）
答：兩人各跑一圈需要6分鐘和12分鐘．
【點評】根據題干得出二人的速度之和與速度之差，再根據和差公式：（兩數(shù)和+兩數(shù)差）÷2＝較大數(shù)，得出速度快人的速度，進而得出另一人的速度，再根據時間＝路程÷速度求解．
19．小馬虎上學忘了帶書包，爸爸發(fā)現(xiàn)后立即騎車去追，把書包交給他后立即返回家．小馬虎接到書包后又走了10分鐘到達學校，這時爸爸也正好到家．如果爸爸的速度是小馬虎速度的4倍，那么小馬虎從家到學校共用多少時間？
【考點】M2：追及問題．菁優(yōu)網版權所有
【專題】48G：綜合行程問題．
【分析】根據題意，爸爸給小馬虎書包后，二人相離，爸爸回家，小馬虎去學校，同時到達各自目的地，爸爸速度是小馬虎的四倍，相同時間內，所走路程也應是小馬虎的四倍．所以，如果讓小馬虎走這段路，所用時間就是他去學校時間的四倍．兩個時間相加即是小馬虎上學所用時間．此題得解．
【解答】解：10×4+10
＝40+10
＝50（分鐘）
答：小馬虎從家到學校所用時間為50分鐘．
【點評】本題主要考查行程問題．注意路程、速度及時間之間的關系．

考點卡片
1．分數(shù)四則復合應用題
【知識點歸納】



【命題方向】
?？碱}型：
例：一瓶油千克，先倒出它的，然后再加千克．現(xiàn)在瓶內的油比原來（　?。?br /> A、增加 B、減少 C、不變
分析：一瓶油千克，先倒出它的，還剩（1）（千克），再加千克，這時油重（）千克，計算即可．
解：現(xiàn)在油重：
（1），
，
，
（千克）；
原來油重：
（千克）；
因為．
所以增多了．
答：現(xiàn)在瓶內的油比原來增多．
故選：A．
點評：解答此題應分清兩個“”的區(qū)別，第一個“”表示分率，第二個“”表示數(shù)量，在列式時不要混淆．
2．簡單的行程問題
【知識點歸納】
計算路程，時間，速度的問題，叫做行程問題．
解題關鍵及規(guī)律：
同時同地相背而行：路程＝速度和×時間
同時相向而行：兩地的路程＝速度和×時間
同時同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及問題＝路程÷速度差
同時同地同向而行（ 速度慢在后，快的在前）：路程＝速度差×時間．

【命題方向】
?？碱}型：
例1：甲乙兩車從A、B兩地同時相對開出，甲車每小時行63.5千米，乙車每小時行56.5千米，4小時相遇．A、B兩地相距多少千米？
分析：要求A、B∝兩地相距多少千米，根據題意，應先求出兩車的速度和，即63.5+56.5＝120（千米），然后乘相遇時間，列式解答即可．
解：（63.5+56.5）×4
＝120×4
＝480（千米）
答：A、B兩地相距480千米．
點評：此題考查了關系式：速度和×相遇時間＝路程．

例2：王華以每小時4千米的速度從家去學校，小時行了全程的，王華家離學校有多少千米？
分析：先依據路程＝速度×時間，求出王華小時行駛的路程，再運用分數(shù)除法意義即可解答．
解：4，
，
＝1（千米），
答：王華家離學校有1千米．
點評：分數(shù)除法意義是解答本題的依據，關鍵是求出王華小時行駛的路程．

例3：甲、乙兩車同時從兩地相向而行，距中點14千米的地方相遇，兩車相遇時，它們所行路程的差是（　?。┣祝?br /> A、7 B、14 C、28 D、42
分析：由題意可知：兩車相遇時，快車超過中點14千米，而慢車距離終點還有14千米，因此它們的路程差為14×2＝28千米，據此即可進行解答．
解：因為兩車相遇時，快車超過中點14千米，
而慢車距離終點還有14千米，
因此它們的路程差為14×2＝28千米；
故選：C．
點評：本題主要考查學生時間、路程、速度差的掌握情況．
3．“式”的規(guī)律
【知識點歸納】
把一些算式排列在一起，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，也是探索規(guī)律的重要內容．在探索“式”的規(guī)律時，要從組成“式”的要素中去探索．

【命題方向】
?？碱}型：
例：觀察1+3＝4 4+5＝9 9+7＝16 16+9＝25 25+11＝36這五道算式，找出規(guī)律，則下一道算式是　36+13＝49?。?br /> 分析：觀察所給出的式子，知道從第二個算式起，第一個加數(shù)分別是前一算式的和；從第二個式子起，第二個加數(shù)分別是前一算式中的第二個加數(shù)加2所得；由此得出要求的算式．
解：因為，要求的算式的前一個算式是：25+11＝36，
所以，要求的算式的第一個加數(shù)是：36，
第二個加數(shù)是：11+2＝13，
所以要求的算式是：36+13＝49，
故答案為：36+13＝49．
點評：解答此題的關鍵是觀察所給出的算式，找出算式之間數(shù)與數(shù)的關系，得出規(guī)律，再根據規(guī)律解決問題．
4．簡單的立方體切拼問題
【知識點歸納】
1．拼起來，表面積減小，因為面的數(shù)目減少．
2．剪切會增加表面積，因為面的數(shù)目增加．
3．兩種方式的體積都沒有發(fā)生變化．

【命題方向】
?？碱}型：
例1：把兩個棱長都是2分米的正方體拼成一個長方體，這個長方體的表面積比兩個正方體的表面積的和減少了（　　）平方分米．
A、4 B、8 C、16
分析：兩個棱長都是2分米的正方體拼成一個長方體，表面積正好減少了2個2×2的小正方體的面，由此計算出減少的表面積即可選擇．
解：2×2×2＝8（平方分米），
答：這個長方體的表面積比兩個正方體的表面積的和減少了8平方分米．
故選：B．
點評：兩個正方體拼成一個長方體，表面積減少2個正方體的面．

例2：有一個棱長是4厘米的正方體，從它的一個頂點處挖去一個棱長是1厘米的正方體后，剩下物體表面積和原來的表面積相比較，（　　）
A、大了 B、小了 C、不變 D、無法確定
分析：根據觀察可得：挖去小正方體后，減少三個面，同時又增加三個面，其實剩下的圖形的表面積與原正方體的面表積是相等的．
解：由圖可知，挖去小正方體后，其實剩下的圖形的表面積與原正方體的面表積是相等的，
因此，剩下圖形的表面積與原來小正方體的表面積大小不變．
故選：C．
點評：本題主要考查正方體的截面．挖去的正方體中相對的面的面積都相等．

5．長方體和正方體的表面積
【知識點歸納】
長方體表面積：六個面積之和．
公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的長，b表示底面的寬，h表示高）
正方體表面積：六個正方形面積之和．
公式：S＝6a2．（a表示棱長）

【命題方向】
?？碱}型：
例1：如果一個正方體的棱長擴大到原來的2倍，那么它的表面積就擴大到原來的（　?。┍叮?br /> A、2 B、4 C、6 D、8
分析：正方體的表面積＝棱長×棱長×6，設原來的棱長為a，則擴大后的棱長為2a，分別代入正方體的表面積公式，即可求得面積擴大了多少．
解：設原來的棱長為a，則擴大后的棱長為2a，
原正方體的表面積＝a×a×6＝6a2，
新正方體的表面積＝2a×2a×6＝24a2，
所以24a2÷6a2＝4倍，
故選：B．
點評：此題主要考查正方體表面積的計算方法．

例2：兩個表面積都是24平方厘米的正方體，拼成一個長方體．這個長方體的表面積是（　?。┢椒嚼迕祝?br /> A、48 B、44 C、40 D、16
分析：兩個表面積都是24平方厘米的正方體拼成一個長方體，長方體的表面積就比原來兩個正方體減少了2個面，那么長方體的表面積等于正方體10個面的面積，所以先求出正方體一個面的面積，然后即可求出長方體的表面積．
解：24÷6＝4（平方厘米），
4×10＝40（平方厘米）；
答：長方體的表面積是40平方厘米．
故選：C．
點評：此題解答關鍵是理解兩個正方體拼成長方體后，表面積會減少2個面，由此即可解決問題．
6．平均數(shù)的含義及求平均數(shù)的方法
【知識點歸納】
1．平均數(shù)：是指在一組數(shù)據中所有數(shù)據之和再除以數(shù)據的個數(shù)．
2．平均數(shù)的求解方法：用所有數(shù)據相加的總和除以數(shù)據的個數(shù)，需要計算才得求出．

【命題方向】
?？碱}型：
例1：參加某次數(shù)學競賽的女生和男生人數(shù)的比是1：3，這次競賽的平均成績是82分，其中男生的平均成績是80分，女生的平均成績是（　　）
A、82分 B、86分 C、87分 D、88分
分析：根據題意，可找出數(shù)量間的相等關系：女生的平均成績×1+男生的平均成績×3＝全班平均成績×4，設女生的平均成績是x，列并解方程即可．
解：設女生的平均成績是x，因為總成績不變，由題意得，
x×1+3×80＝82×（1+3），
x+240＝328，
x＝328﹣240，
x＝88；
或：[82×（1+3）﹣80×3]÷1，
＝（328﹣240）÷1，
＝88（分）；
答：女生的平均成績是88分．
故選：D．
點評：解答此題關鍵是先求出全班的總成績和男生的總成績，然后求出女生的總成績，進而求出女生的平均成績．
7．數(shù)字問題
【知識點歸納】
1．數(shù)字問題的主要題型：
數(shù)字問題是研究有關數(shù)字的特殊結構、特殊關系以及數(shù)字運算中變換問題的一類問題，相對來說，難度較大．通常情況下題目會給出某個數(shù)各個位數(shù)關系，求這個數(shù)為多少．
2．核心知識
（1）數(shù)字的拆分
是將一個數(shù)拆分成幾個因數(shù)相乘或者相加的形式，經常需要綜合應用整除性質、奇偶性質、因式分解、同余理論等．
（2）數(shù)字的排列與位數(shù)關系
解答數(shù)字的排列與位數(shù)關系時，經常需要借助于首尾數(shù)法進行考慮、判斷，同時可以利用列方程法、代入法、假設法等一些方法，進行快速求解．

【命題方向】
?？碱}型：
例1：在1到400的整數(shù)中，至少能被3和5中的一個數(shù)整除的數(shù)有（　　）個5．
A、213 B、187 C、133 D、80
分析：先求出400里面有幾個3，就是1﹣400中有多少個數(shù)能被3整除，再求出400里面有幾個5，就是1﹣400中有多少個數(shù)能被5整除；能同時倍3和5整除的數(shù)是15的倍數(shù)；求出400里面有多少個15，就是能同時被3和5整除的數(shù)，然后用3的倍數(shù)的個數(shù)加上5的倍數(shù)的個數(shù)然后減去15的倍數(shù)的個數(shù)即可．
解：1到400中能被3整除有：400÷3≈133（個）；
1到400中能被5整除有：400÷5＝80（個）；
1到400中既能被3也能被5整除有：400÷（3×5）≈26（個）；
在1到400的整數(shù)中，至少能被3和5中的一個數(shù)整除的數(shù)：133+80﹣26＝187（個）；
故選：B．
點評：本題要注意能同時被3和5整除的數(shù)，是重復計算的數(shù)字．

例2：自然數(shù)12321，90009，41014 …有一個共同特征：它們倒過來寫還是原來的數(shù)，那么具有這種“特征”的五位偶數(shù)有　400　個．
分析：倒過來寫還是原來的數(shù)，具有這種“特征”的五位偶數(shù)萬位和個位有2，4，6，8這4種選擇；千位和十位有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10種選擇；百位有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10種選擇．可以組成倒過來寫還是原來的數(shù)具有這種“特征”的五位偶數(shù)則有4×10×10＝400個．
解：根據分析，倒過來寫還是原來的數(shù)，具有這種“特征”的五位偶數(shù)有4×10×10＝400個．
答：具有這種“特征”的五位偶數(shù)有400個．
故答案為：400．
點評：根據這種數(shù)的特征，分析各對稱數(shù)位會出現(xiàn)的數(shù)字可能，把出現(xiàn)可能的種數(shù)相乘即可得這種特征數(shù)的個數(shù)．
8．追及問題
【知識點歸納】
1．追擊問題的概念：
追及問題的地點可以相同（如環(huán)形跑道上的追及問題），也可以不同，但方向一般是相同的．由于速度不同，就發(fā)生快的追及慢的問題．
2．追及問題公式：根據速度差、距離差和追及時間三者之間的關系，常用下面的公式：
距離差＝速度差×追及時間
追及時間＝距離差÷速度差
速度差＝距離差÷追及時間
速度差＝快速﹣慢速
3．解題的關鍵是在互相關聯(lián)、互相對應的距離差、速度差、追及時間三者之中，找出兩者，然后運用公式求出第三者來達到解題目的．

【命題方向】
?？碱}型：
例1：上午8時8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他，然后爸爸立刻回家．到家后又立刻回頭去追小明，再追上他的時候，離家恰好是8千米，問這時是幾時幾分？
分析：由題意可知：爸爸第一次追上小明后，立即回家，到家后又回頭去追小明，再追上小明時走了12千米．可見小明的速度是爸爸的速度的．爸爸從家到第一次追上小明，小明走了4千米，若爸爸與小明同時出發(fā)，則爸爸應走出12千米，但是由于爸爸晚出發(fā)8分鐘，所以只走了4千米，所以爸爸8分鐘應走8千米，則爸爸的速度為1千米/分鐘．
那么，小明先走8分鐘后，爸爸只花了4分鐘即可追上，這段時間爸爸走了4千米．
解：爸爸的速度是小明的幾倍：（4+8）÷4＝3（倍），
爸爸從家到第一次追上小明，小明走了4千米，若爸爸與小明同時出發(fā)，則爸爸應走出12千米，但是由于爸爸晚出發(fā)8分鐘，所以只走了4千米，所以爸爸8分鐘應走8千米，則爸爸的速度為1千米/分鐘．
爸爸所用的時間：（4+4+8）÷1＝16（分鐘）
16+16＝32（分鐘）
答：這時是8時32分．
點評：此題既需要根據關系式而且還要更加深刻的理解題意．
9．多次相遇問題
【知識點歸納】
多次相遇的基本公式和方法計算：
距離、速度、時間這三個量之間的關系，可以用下面的公式來表示：距離＝速度×時間．顯然，知道其中的兩個量，就可以求出第三個量．
還可以發(fā)現(xiàn)：當時間相同時，路程和速度成正比；當速度相同時，路程和時間成正比；當路程相同時，速度和時間成反比．也就是說：設甲、乙兩個人，所走的路程分別為S甲、S乙；速度分別為V甲、V乙；所用時間分別為T甲、T乙時，由于S甲＝V甲×T甲，S乙＝V乙×T乙，有如下關系：
（1）當時間相同即T甲＝T乙時，有S甲：S乙＝V甲：V乙；
（2）當速度相同即V甲＝V乙時，有S甲：S乙＝T甲：T乙；
（3）當路程相同即S甲＝S乙時，有V甲：V乙＝T乙：T甲．
在多次相遇、追及問題中，用比例方法來解往往能收到很好的效果．

【命題方向】
經典題型：
例1：如圖：A、B是圓直徑的兩端，小張在A點，小王在B點，同時出發(fā)反向而行，他們在C點第一次相遇，C點離A點100米，在D點第二次相遇，D點離A點有60米，求這個圖的周長．

分析：由題意可知，第一次相遇于C點，兩人合走了半個周長．從C點開始到第二次相遇于D點，兩人合起來走了一個周長．因為兩速度和一定，所以第一段所需時間是第二段的一半．對于小王而言，他第一段所走的行程是第二段的一半．則C，D的關系有如下兩種情況：

對于第一種情況，小王第一段所走的行程為BC，第二段所走的為CD，則CD＝2BC，所以CD＝AC+AD＝160米，則BC＝160÷2＝80米，所以半圓周長是100+80＝180米，圓的周長是180×2＝360米．
對于第二種情況，小王所走的行程為BC，第二段所走的為CD，同樣有CD＝2BC，CD＝AC﹣AD＝40米，則BC＝40÷2＝20米，則半圓周長是100+20＝120米，圓的周長是120×2＝240米．
即這個圓的周長為360米或240米．

解：由題可知，C，D的關系有如下兩種情況：

對于第一種情況，CD＝2BC，所以CD＝AC+AD＝160米，則BC＝160÷2＝80米，
所以半圓周長是100+80＝180（米），
圓的周長是180×2＝360（米）．
對于第二種情況，CD＝2BC，CD＝AC﹣AD＝40米，則BC＝40÷2＝20米，
則半圓周長是100+20＝120（米），
圓的周長是120×2＝240（米）．
即這個圓的周長為360米或240米．
點評：完成本題要細心，注意分析所給條件，從兩種情況進行分析解答．

10．環(huán)形跑道問題
【知識點歸納】
1．環(huán)形跑道問題，從同一地點出發(fā)，如果是相向而行，則每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇時間就相遇一次）；第幾次相遇就合走幾圈；如果是同向而行，則每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及時間就追上一次）．第幾次追上就多跑幾圈．
環(huán)形跑道：同相向而行的等量關系：乙程﹣甲程＝跑道長，背向而行的等量關系：乙程+甲程＝跑道長．
2．解題方法：
（1）審題：看題目有幾個人或物參與； 看題目時間：“再過多長時間”就是從此時開始計時，“多長時間后”就是從開始計時；看地點是指是同地還是兩地甚至更多． 看方向是同向、背向還是相向；看事件指的是結果是相遇還是追及 相遇問題中一個重要的環(huán)節(jié)是確定相遇地點，準確找到相遇地點對我們解題有很大幫助，一些是題目中直接給出在哪里相遇，有些則需要我們自己根據兩人速度來判斷． 追擊問題中一個重要環(huán)節(jié)就是確定追上地點，從而找到路程差．比如“用10秒鐘快比慢多跑100米”我們立刻知道快慢的速度差．這個是追擊問題經常用到的，通過路程差求速度差
（2）簡單題利用公式
（3）復雜題，尤其是多人多次相遇，一定要畫路徑圖，即怎么走的線路畫出來．相遇問題就找路程和，追擊問題就找路程差．

【命題方向】
經典題型：
例1：環(huán)繞小山一周的公路長1920米，甲、乙兩人沿公路競走，兩人同時同地出發(fā)，反方向行走，甲比乙走得快，12分鐘后兩人相遇．如果兩人每分鐘多走16米，則相遇地點與前次相差20米．
（1）求甲乙兩人原來的行走速度．
（2）如果甲、乙兩人各以原速度同時同地出發(fā)，同向行走，則甲在何處第二次追上乙？

分析：（1）根據題干不難得出甲乙的速度之和是：1920÷12＝160米/分；則提高速度后的速度之和就是160+16+16＝192米/分，所以提高速度后甲乙二人相遇的時間是：1920÷192＝10分鐘；
因為甲的速度較快，提高速度之后，二人行走的時間變短，所以甲比原來少走了20米，由此設甲原來的速度是x米/分，則提高速度后，甲的速度是x+16米/分，由此根據，即可列出方程，求出x的值即可解答．
（2）甲第二次追上乙時，比乙多走了兩周，用兩周的路程除以速度差即可得走的時間，用甲的速度乘以時間再除以一周的路程，余數(shù)即是離出發(fā)點的距離．
解：（1）甲乙原來的速度之和是：1920÷12＝160（米），
提高速度之后的速度之和是：160+16+16＝192（米），
所以提高速度之后二人相遇的時間是：1920÷192＝10（分鐘），
設甲原來的速度是x米/分，則提高速度后，甲的速度是（x+16）米/分，根據題意可得方程：
12x﹣10（x+16）＝20，
12x﹣10x﹣160＝20，
2x＝180，
x＝90，
則乙原來的速度是：160﹣90＝70（米/分），
答：甲原來的速度是90米/分，乙原來的速度是70米/分；

（2）1920×2÷（90﹣70）
＝1920×2÷20
＝192（分），
192×90÷1920＝9，說明正好在出發(fā)點．
答：甲在出發(fā)點第二次追上乙．
點評：本題考查了環(huán)形跑道問題．解答此題的關鍵是根據甲乙第一次相遇的時間求出甲乙的速度之和，從而得出第二次相遇的時間，設出甲的速度，利用甲前后兩次行走的路程之差即可列出方程解決問題．
11．規(guī)則立體圖形的表面積
【知識點歸納】
立體圖形表面積公式：
1．圓柱體：
表面積：2πR2+2πRh 體積：πR2h （R為圓柱體上下底圓半徑，h為圓柱體高）
2．圓錐體：
體積：πR2h （r為圓錐體低圓半徑，h為其高）
3．長方體：
表面積＝（長×寬+長×高+寬×高）×2
4．球：
表面積＝4πR2．
12．數(shù)陣圖中找規(guī)律的問題
【知識點歸納】
一般地說，在觀察圖形變化規(guī)律時，應抓住以下幾點來考慮問題：
（1）圖形數(shù)量的變化；（2）圖形形狀的變化；（3）圖形大小的變化；
（4）圖形顏色的變化；（5）圖形位置的變化；（6）圖形繁簡的變化
對于較復雜的圖形，也可分為幾部分來分別考慮，總而言之，只要全面觀察，勤于思考就一定能抓住規(guī)律，解決問題．
聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網所有，未經書面同意，不得復制發(fā)布
日期：2019/5/6 9:13:34；用戶：jiangwenxiu；郵箱：jiangwenxiu@xyh.com；學號：26799902

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