專題28 函數(shù)的零點的問題-2021年高考數(shù)學(xué)微專題復(fù)習(xí)（新高考地區(qū)專用）練習(xí)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

專題28 函數(shù)的零點的問題一、題型選講題型一、函數(shù)零點個數(shù)判斷與證明可將零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化成方程，進而通過構(gòu)造函數(shù)將方程轉(zhuǎn)化為兩個圖像交點問題，并作出函數(shù)圖像。作圖與根分布綜合的題目，其中作圖是通過分析函數(shù)的單調(diào)性和關(guān)鍵點來進行作圖，在作圖的過程中還要注意漸近線的細節(jié)，從而保證圖像的準確。例1、(2019蘇州三市、蘇北四市二調(diào)）定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)，且在區(qū)間[2，4)上則函數(shù)的零點的個數(shù)為【答案】： 5　【解析】：因為f(x＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期為4的奇函數(shù)，先畫出函數(shù)f(x)在區(qū)間[2，4)上的圖像，根據(jù)奇函數(shù)和周期為4，可以畫出f(x)在R上的圖像，由y＝f(x)－log5| x|＝0，得f(x)＝log5| x|，分別畫出y＝f(x)和y＝log5|x|的圖像，如下圖，由f(5)＝f(1)＝1，而log55＝1，f(－3)＝f(1)＝1，log5|－3|<1，而f(－7)＝f(1)＝1，而log5|－7|＝log57>1，可以得到兩個圖像有5個交點，所以零點的個數(shù)為5. 變式1、【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】已知函數(shù).（1）討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個零點；【解析】（1）f（x）的定義域為（0，1）（1，+∞）．因為，所以在（0，1），（1，+∞）單調(diào)遞增．因為f（e）=，，所以f（x）在（1，+∞）有唯一零點x1，即f（x1）=0．又，，故f（x）在（0，1）有唯一零點．綜上，f（x）有且僅有兩個零點．變式2、【2020年高考浙江】已知，函數(shù)，其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）證明：函數(shù)在上有唯一零點；【解析】（Ⅰ）因為，，所以在上存在零點．因為，所以當時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)以在上有唯一零點．題型二、函數(shù)零點問題中參數(shù)的范圍已知函數(shù)零點的個數(shù)，確定參數(shù)的取值范圍，常用的方法和思路：(1) 直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．(2) 分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決，解法2就是此法．它的本質(zhì)就是將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個靜函數(shù)與一個動函數(shù)的圖像的交點問題來加以處理，這樣就可以通過這種動靜結(jié)合來方便地研究問題．(3) 數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求解．例2、【2019年高考浙江】已知，函數(shù)．若函數(shù)恰有3個零點，則A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0 C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0 【答案】C【解析】當x＜0時，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x，則y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一個零點；當x≥0時，y＝f（x）﹣ax﹣bx3（a+1）x2+ax﹣ax﹣bx3（a+1）x2﹣b，，當a+1≤0，即a≤﹣1時，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上單調(diào)遞增，則y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一個零點，不合題意；當a+1＞0，即a>﹣1時，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此時函數(shù)單調(diào)遞增，令y′＜0得x∈[0，a+1），此時函數(shù)單調(diào)遞減，則函數(shù)最多有2個零點.根據(jù)題意，函數(shù)y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3個零點?函數(shù)y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一個零點，在[0，+∞）上有2個零點，如圖：∴0且，解得b＜0，1﹣a＞0，b（a+1）3，則a>–1，b<0.故選C．變式1、【2018年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】已知函數(shù)．若在只有一個零點，求．【解析】設(shè)函數(shù)．在只有一個零點當且僅當在只有一個零點．（i）當時，，沒有零點；（ii）當時，．當時，；當時，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故是在的最小值．①若，即，在沒有零點；②若，即，在只有一個零點；③若，即，由于，所以在有一個零點，由（1）知，當時，，所以．故在有一個零點，因此在有兩個零點．綜上，在只有一個零點時，．變式2、(2020屆山東省濰坊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）函數(shù)若函數(shù)只有一個零點，則可能取的值有（）A．2 B． C．0 D．1【答案】ABC【解析】∵只有一個零點，
∴函數(shù)與函數(shù)有一個交點，
作函數(shù)函數(shù)與函數(shù)的圖象如下，
結(jié)合圖象可知，當時；函數(shù)與函數(shù)有一個交點；
當時，，可得，令可得，所以函數(shù)在時，直線與相切，可得.綜合得：或.
故選：ABC.變式3、（2020屆山東省濱州市三校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底），若且有四個零點，則實數(shù)m的取值可以為（）A．1 B．e C．2e D．3e【答案】CD【解析】因為，可得，即為偶函數(shù)，由題意可得時，有兩個零點，當時，，即時，，由，可得，由相切，設(shè)切點為，的導(dǎo)數(shù)為，可得切線的斜率為，可得切線的方程為，由切線經(jīng)過點，可得，解得：或（舍去），即有切線的斜率為，故，故選：CD. 二、達標訓(xùn)練1、（2020·山東省淄博實驗中學(xué)高三上期末）已知函數(shù).若函數(shù)在上無零點，則的最小值為________.【答案】【解析】因為在區(qū)間上恒成立不可能，故要使函數(shù)在上無零點，只要對任意的，恒成立，即對任意的，恒成立.令，，則，再令，，則，故在上為減函數(shù)，于是，從而，于是在上為增函數(shù)，所以，故要使恒成立，只要，綜上，若函數(shù)在上無零點，則的最小值為.故答案為：2、（2020屆浙江省臺州市溫嶺中學(xué)3月模擬）已知函數(shù)在區(qū)間上有零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】不妨設(shè)，為函數(shù)的兩個零點，其中，，則，.則，由，，所以，可令，，當，恒成立，所以.則的最大值為，此時，還應(yīng)滿足，顯然，時，，.故選：B.3、（2020屆浙江省嘉興市3月模擬）已知函數(shù)，，若存在實數(shù)使在上有2個零點，則的取值范圍為________．【答案】．【解析】已知實數(shù)使在上有2個零點，等價于與的函數(shù)圖象在上有2個交點，顯然與x軸的交點為，的圖象關(guān)于對稱，當時，若要有2個交點，由數(shù)形結(jié)合知m一定小于e，即；當時，若要有2個交點，須存在a使得在有兩解，所以，因為，即，顯然存在這樣的a使上述不等式成立；由數(shù)形結(jié)合知m須大于在處的切線與x軸交點的橫坐標，即綜上所述，m的范圍為．故答案為：4、（2020屆山東省德州市高三上期末）已知函數(shù)（為常，若為正整數(shù)，函數(shù)恰好有兩個零點，求的值.【解析】因為為正整數(shù)，若，則，，由（2）知在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，所以在區(qū)間內(nèi)僅有實根，，又，所以在區(qū)間內(nèi)僅有實根.此時，在區(qū)間內(nèi)恰有實根；若，在單調(diào)遞增，至多有實根.若，，令，則，，，所以.由（2）知在單調(diào)遞減，在和單調(diào)遞增，所以，所以在至多有實根.綜上，.