考點(diǎn)三 與圓有關(guān)的計(jì)算知識(shí)點(diǎn)整合一、正多邊形的有關(guān)概念正多邊形中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心．正多邊形半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形半徑．正多邊形中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形中心角．正多邊形邊心距：正多邊形中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．二、與圓有關(guān)的計(jì)算公式1．弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算扇形的弧長(zhǎng)l=；扇形的面積S==．2．圓錐與側(cè)面展開圖（1）圓錐側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng)．（2）若圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，則這個(gè)扇形的半徑為l，扇形的弧長(zhǎng)為2πr，圓錐的側(cè)面積為S圓錐側(cè)=．圓錐的表面積：S圓錐表=S圓錐側(cè)+S圓錐底=πrl+πr2=πr·（l+r）．在求不規(guī)則圖形的面積時(shí)，注意利用割補(bǔ)法與等積變化方法歸為規(guī)則圖形，再利用規(guī)則圖形的公式求解．考向一 正多邊形與圓任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓．典例引領(lǐng)、1．（2019·樂(lè)清市英華學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，連接BD．則∠CBD的度數(shù)是（      ）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】根據(jù)正六邊形的內(nèi)角和求得∠BCD，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】∵在正六邊形ABCDEF中，∠BCD＝＝120°，BC＝CD，∴∠CBD＝（180°﹣120°）＝30°，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓、等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，熟記多邊形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．2．（2015·全國(guó)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）同圓的內(nèi)接正三角形與內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)的比是(    )A． B． C． D．【答案】A【解析】試題解析：設(shè)圓的半徑為R，
如圖（一），連接OB，過(guò)O作OD⊥BC于D，
則∠OBC=30°，BD=OB?cos30°=R，
故BC=2BD=R；
如圖（二），連接OB、OC，過(guò)O作OE⊥BC于E，
則△OBE是等腰直角三角形，
2BE2=OB2，即BE=R，
故BC=R；
故圓內(nèi)接正三角形、正方形的邊長(zhǎng)之比為．
故選A．變式拓展1．（2020·河北衡水市·九年級(jí)期中）如圖，已知正五邊形內(nèi)接于，連結(jié)，則的度數(shù)是（  ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理、正五邊形的性質(zhì)求出∠ABC、CD=CB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠CBD，計(jì)算即可．【詳解】∵五邊形為正五邊形∴∵∴∴故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓、多邊形的內(nèi)角和定理，掌握正多邊形和圓的關(guān)系、多邊形內(nèi)角和等于（n-2）×180°是解題的關(guān)鍵．2．（2015·浙江金華市·中考真題）如圖，正方形ABCD和正△AEF都內(nèi)接于⊙O，EF與BC、CD分別相交于點(diǎn)G、H，則的值是（ ）A． B． C． D．2【答案】C【解析】試題分析：如圖，連接AC、BD、OF，設(shè)⊙O的半徑是r，則OF=r，∵AO是∠EAF的平分線，∴∠OAF=60°÷2=30°，∵OA=OF，∴∠OFA=∠OAF=30°，∴∠COF=30°+30°=60°，∴FI=rsin60°=，∴EF=，∵AO=2OI，∴OI=，CI=r﹣=，∴，∴，∴，即則的值是．故選C．考點(diǎn)：正多邊形與圓的關(guān)系．正多邊形的半徑③中心角邊心距 3．（2017·河南九年級(jí)其他模擬）以半徑為1的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距為三邊作三角形，則該三角形的面積是（  ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由于內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形是特殊內(nèi)角的多邊形，可構(gòu)造直角三角形分別求出邊心距的長(zhǎng)，由勾股定理逆定理可得該三角形是直角三角形，進(jìn)而可得其面積．【詳解】如圖1，∵OC=1，∴OD=1×sin30°=；如圖2，∵OB=1，∴OE=1×sin45°=；如圖3，∵OA=1，∴OD=1×cos30°=，則該三角形的三邊分別為：、、，∵（）2+（）2=（）2，∴該三角形是以、為直角邊，為斜邊的直角三角形，∴該三角形的面積是，故選：D．【點(diǎn)睛】考查正多邊形的外接圓的問(wèn)題，應(yīng)用邊心距，半徑和半弦長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形，來(lái)求相關(guān)長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵。4．（2020·河北九年級(jí)其他模擬）如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為2，分別以正六邊形的六條邊為直徑向外作半圓，與正六邊形的外接圓圍成的6個(gè)月牙形的面積之和（陰影部分面積）是（　　）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】圖中陰影部分面積等于6個(gè)小半圓的面積和﹣（大圓的面積﹣正六邊形的面積）即可得到結(jié)果．【詳解】解：6個(gè)月牙形的面積之和，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，圓的面積的計(jì)算，正六邊形的面積的計(jì)算，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．5．（2016·陜西九年級(jí)專題練習(xí)）已知圓的半徑是，則該圓的內(nèi)接正六邊形的面積是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】試題分析：連接正六邊形的中心與各個(gè)頂點(diǎn)，得到六個(gè)等邊三角形，等邊三角形的邊長(zhǎng)是2，高為3，因而等邊三角形的面積是3，∴正六邊形的面積=18，故選C．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．考向二 弧長(zhǎng)和扇形面積1．弧長(zhǎng)公式：；2．扇形面積公式：或．典例引領(lǐng)1．（2020·江蘇邗江區(qū)·九年級(jí)期末）如圖，分別以等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑畫弧，得到的封閉圖形是萊洛三角形，若AB=2，則萊洛三角形的面積（即陰影部分面積）為（　?。?/span>A． B． C．2 D．2【答案】D【解析】【分析】萊洛三角形的面積是由三塊相同的扇形疊加而成，其面積=三塊扇形的面積相加，再減去兩個(gè)等邊三角形的面積，分別求出即可．【詳解】過(guò)A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵AD⊥BC，∴BD=CD=1，AD=BD=，∴△ABC的面積為BC?AD==，S扇形BAC==，∴萊洛三角形的面積S=3×﹣2×=2π﹣2，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和扇形的面積計(jì)算，能根據(jù)圖形得出萊洛三角形的面積=三塊扇形的面積相加、再減去兩個(gè)等邊三角形的面積是解此題的關(guān)鍵．2．（2020·山西九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中點(diǎn)為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑作半圓交AC于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積為(     )A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】連接OD，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AC，垂足為 H，則有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，繼而可求得OH、AH長(zhǎng)，根據(jù)圓周角定理可求得∠BOC =60°，然后根據(jù)S陰影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】連接OD，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AC，垂足為 H，則有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，tan∠A=，∴∠A=30°，∴OH=OA=，AH=AO?cos∠A=，∠BOC=2∠A=60°，∴AD=2AH=，∴S陰影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD==，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，扇形面積，解直角三角形等知識(shí)，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.3．（2019·安徽九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點(diǎn)，OC∥BD，交AD于點(diǎn)E，連結(jié)BC．（1）求證：AE=ED；（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）【詳解】分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠AEO=90°，再利用垂徑定理證明即可；（2）根據(jù)弧長(zhǎng)公式解答即可．詳證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∵OC∥BD，∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC⊥AD，∴AE=ED；（2）∵OC⊥AD，∴ ，∴∠ABC=∠CBD=36°，∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，∴ =．點(diǎn)睛：此題考查弧長(zhǎng)公式，關(guān)鍵是根據(jù)弧長(zhǎng)公式和垂徑定理解答．變式拓展1．（2020·黑龍江甘南縣·九年級(jí)其他模擬）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，分別交AC，AB于點(diǎn)E，F．（1）試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若BD=2，BF=2，求陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．【答案】（1）直線BC與⊙O相切，證明見解析；（2）【分析】（1）連接OD，證明OD∥AC，即可證得∠ODB=90°，從而證得BC是圓的切線；（2）在直角三角形OBD中，設(shè)OF=OD=x，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為圓的半徑，求出圓心角的度數(shù)，直角三角形ODB的面積減去扇形DOF面積即可確定出陰影部分面積．【詳解】解：（1）BC與⊙O相切．理由如下：連接OD．∵AD是∠BAC的平分線∴∠BAD=∠CAD．∵OD=OA∴∠OAD=∠ODA∴∠CAD=∠ODA∴OD∥AC∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．又∵BC過(guò)半徑OD的外端點(diǎn)D，∴BC與⊙O相切；（2）設(shè)OF=OD=x，則OB=OF+BF=x+2．根據(jù)勾股定理得：，即，解得：x=2，即OD=OF=2∴OB=2+2=4．Rt△ODB中∵OD=OB∴∠B=30°∴∠DOB=60°∴S扇形DOF==則陰影部分的面積為S△ODB﹣S扇形DOF==．故陰影部分的面積為．2．（2020·江西定南縣·九年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點(diǎn)D，E，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線DF，交AC于點(diǎn)F．（1）求證：DF⊥AC；（2）若⊙O的半徑為4，∠CDF=22．5°，求陰影部分的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）連接，易得，由，易得，等量代換得，利用平行線的判定得，由切線的性質(zhì)得，得出結(jié)論；（2）連接，利用（1）的結(jié)論得，易得，得出，利用扇形的面積公式和三角形的面積公式得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，，，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC．∵DF是⊙O的切線，∴DF⊥OD．∴DF⊥AC．（2）連結(jié)OE，∵DF⊥AC，∠CDF=22．5°． ∴∠ABC=∠ACB=67．5°，∴∠BAC=45°．∵OA=OE，∴∠AOE=90°．的半徑為4，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，扇形的面積與三角形的面積公式，圓周角定理等，作出適當(dāng)?shù)妮o助線，利用切線性質(zhì)和圓周角定理，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．3．（2020·江蘇九年級(jí)期中）如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，連結(jié)BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．（1）求證：BD=CD；（2）若圓O的半徑為3，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明過(guò)程見解析；（2）π【分析】（1）直接利用圓周角定理得出∠DCB的度數(shù)，再利用∠DCB=∠DBC求出答案；（2）首先求出的度數(shù)，再利用弧長(zhǎng)公式直接求出答案．【詳解】（1）∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓O， ∴∠DCB+∠BAD=180°， ∵∠BAD=105°，∴∠DCB=180°﹣105°=75°， ∵∠DBC=75°， ∴∠DCB=∠DBC=75°， ∴BD=CD；（2）∵∠DCB=∠DBC=75°， ∴∠BDC=30°，由圓周角定理，得，的度數(shù)為：60°， 故，答：的長(zhǎng)為π．考點(diǎn)：（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；（2）弧長(zhǎng)的計(jì)算．4．（2020·江蘇無(wú)錫市·九年級(jí)期中）如圖，AB為⊙O的直徑，AC、DC為弦，∠ACD=60°，P為AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，∠APD=30°．（1）求證：DP是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為3cm，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根據(jù)切線判定推出即可．（2）求出OP、DP長(zhǎng)，分別求出扇形DOB和△ODP面積，即可求出答案．【詳解】解：（1）證明：連接OD，∵∠ACD=60°，∴由圓周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°．∴∠DOP=180°﹣120°=60°．∵∠APD=30°，∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°．∴OD⊥DP．∵OD為半徑，∴DP是⊙O切線．（2）∵∠ODP=90°，∠P=30°，OD=3cm，∴OP=6cm，由勾股定理得：DP=3cm．∴圖中陰影部分的面積  

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