1．點(diǎn)A(－2，5)在反比例函數(shù)y＝eq \f(k,x)(k≠0)的圖象上，則k的值是( )
A．10 B．5 C．－5 D．－10
2．模擬關(guān)于反比例函數(shù)y＝－eq \f(2,x)，下列說(shuō)法正確的是( )
A．圖象過(guò)(1，2)點(diǎn) B．圖象在第一、三象限
C．當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減小 D．當(dāng)x0)的圖象上，當(dāng)m>1時(shí)，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，垂足為點(diǎn)A，B；過(guò)點(diǎn)Q分別作x軸、y軸的垂線，垂足為點(diǎn)C，D.QD交PA于點(diǎn)E，隨著m的增大，四邊形ACQE的面積( )
A．減小 B．增大
C．先減小后增大 D．先增大后減小
圖K13－3 圖K13－4
7．如圖K13－4，A，B兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y＝eq \f(k1,x)的圖象上，C，D兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y＝eq \f(k2,x)的圖象上，AC⊥y軸于點(diǎn)E，BD⊥y軸于點(diǎn)F，AC＝2，BD＝1，EF＝3，則k1－k2的值是( )
A．6 B．4 C．3 D．2
二、填空題
8．[2017·菏澤]直線y＝kx(k>0)與雙曲線y＝eq \f(6,x)交于A(x1，y1)和B(x2，y2)兩點(diǎn)，則3x1y2－9x2y1的值為________．
9．如圖K13－5，一塊含30°、60°、90°的直角三角板，直角頂點(diǎn)O位于坐標(biāo)原點(diǎn)，斜邊AB垂直于x軸，頂點(diǎn)A在函數(shù)y1＝eq \f(k1,x)(x>0)的圖象上，頂點(diǎn)B在函數(shù)y2＝eq \f(k2,x)(x>0)的圖象上，∠ABO＝30°，則eq \f(k1,k2)＝________．
圖K13－5
圖K13－6
10．如圖K13－6，點(diǎn)A在函數(shù)y＝eq \f(4,x)(x＞0)的圖象上，且OA＝4，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，則△ABO的周長(zhǎng)為________．
三、解答題
11．如圖K13－7，直線y＝x＋b與雙曲線y＝eq \f(k,x)(k為常數(shù)，k≠0)在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)A(1，2)，且與x軸、y軸交于B，C兩點(diǎn)．
(1)求直線和雙曲線的解析式；
(2)點(diǎn)P在x軸上，且△BCP的面積等于2，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．
圖K13－7
12．麗水某公司將“麗水山耕”農(nóng)副產(chǎn)品運(yùn)往杭州市場(chǎng)進(jìn)行銷售．記汽車的行駛時(shí)間為t小時(shí)，平均速度為v千米/時(shí)(汽車行駛速度不超過(guò)100千米/時(shí))．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，v，t的一組對(duì)應(yīng)值如下表：
(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出平均速度v(千米/時(shí))關(guān)于行駛時(shí)間t(小時(shí))的函數(shù)表達(dá)式；
(2)汽車上午7：30從麗水出發(fā)，能否在上午10：00之前到達(dá)杭州市場(chǎng)？請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)若汽車到達(dá)杭州市場(chǎng)的行駛時(shí)間t滿足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范圍．
13．已知點(diǎn)A在函數(shù)y1＝－eq \f(1,x)(x>0)的圖象上，點(diǎn)B在直線y2＝kx＋1＋k(k為常數(shù)，且k≥0)上，若A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)A，B為函數(shù)y1，y2圖象上的一對(duì)“友好點(diǎn)”．請(qǐng)問(wèn)這兩個(gè)函數(shù)圖象上的“友好點(diǎn)”對(duì)數(shù)的情況為( )
A．有1對(duì)或2對(duì) B．只有1對(duì)
C．只有2對(duì) D．有2對(duì)或3對(duì)
14．[2015·邵陽(yáng)]如圖K13－8，已知直線y＝x＋k和雙曲線y＝eq \f(k＋1,x)(k為正整數(shù))交于A，B兩點(diǎn)．
(1)當(dāng)k＝1時(shí)，求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
(2)當(dāng)k＝2時(shí)，求△AOB的面積．
(3)當(dāng)k＝1時(shí)，△OAB的面積記為S1；當(dāng)k＝2時(shí)，△OAB的面積記為S2；….依此類推，當(dāng)k＝n時(shí)，△OAB的面積記為Sn，若S1＋S2＋…＋Sn＝eq \f(133,2)，求n的值．[提示：12＋22＋…＋n2＝eq \f(n（n＋1）（2n＋1）,6)]
圖K13－8
參考答案
1．D
2．D [解析] ∵當(dāng)x＝1時(shí)，y＝－2，∴圖象過(guò)點(diǎn)(1，－2)，∴A錯(cuò)誤；∵k＝－2＜0，∴函數(shù)圖象位于二、四象限，在各自象限內(nèi)y隨x的增大而增大，故B、C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D正確．故選D.
3．A [解析] 由于反比例函數(shù)y＝eq \f(k－1,x)的圖象位于第二、四象限，所以k－1＜0，解得k＜1，只有選項(xiàng)A符合條件，故選A.
4．C [解析] 由題意得y＝eq \f(100,x)，由兩邊長(zhǎng)均不小于5 m，可得5≤x≤20，符合題意的選項(xiàng)只有C.
5．C [解析] ∵ab＜0，∴a、b異號(hào)．選項(xiàng)A中由一次函數(shù)的圖象可知a＞0，b＜0，則a＞b，由反比例函數(shù)的圖象可知a－b＜0，即a＜b，產(chǎn)生矛盾，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中由一次函數(shù)的圖象可知a＜0，b＞0，則a＜b，由反比例函數(shù)的圖象可知a－b＞0，即a＞b，產(chǎn)生矛盾，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C中由一次函數(shù)的圖象可知a＞0，b＜0，則a＞b，由反比例函數(shù)的圖象可知a－b＞0，即a＞b，與一次函數(shù)一致，故C正確；選項(xiàng)D中由一次函數(shù)的圖象可知a＜0，b＜0，則ab＞0，這與題設(shè)矛盾，故D錯(cuò)誤．
6．B [解析] 因?yàn)辄c(diǎn)P(1，4)在函數(shù)y＝eq \f(k,x)(x>0)的圖象上，所以k＝4，又點(diǎn)Q(m，n)也在函數(shù)圖象上，所以mn＝4，QE＝m－1，QC＝n，所以四邊形ACQE的面積為(m－1)n＝mn－n＝－n＋4，當(dāng)m增大時(shí)，n減小，－n＋4是增大的，故選B.
7．D [解析] 連接OA、OC、OD、OB，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知S△AOE＝S△BOF＝eq \f(1,2)|k1|＝eq \f(1,2)k1，S△COE＝S△DOF＝eq \f(1,2)|k2|＝－eq \f(1,2)k2，∵S△AOC＝S△AOE＋S△COE，∴eq \f(1,2)AC·OE＝eq \f(1,2)×2OE＝OE＝eq \f(1,2)(k1－k2)…①，∵S△BOD＝S△DOF＋S△BOF，∴eq \f(1,2)BD·OF＝eq \f(1,2)×(EF－OE)＝eq \f(1,2)×(3－OE)＝eq \f(3,2)－eq \f(1,2)OE＝eq \f(1,2)(k1－k2)…②，由①②兩式解得OE＝1，則k1－k2＝2.
8．36 [解析] 由圖象可知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴x1＝－x2，y1＝－y2，把(x1，y1)代入y＝eq \f(6,x)，得x1y1＝6，所以3x1y2－9x2y1＝－3x1y1＋9x1y1＝－18＋54＝36.
9．－eq \f(1,3) [解析] 在Rt△ACO與Rt△BCO中，∠A＝60°，∠B＝30°，設(shè)AC＝a，則OC＝eq \r(3)a，BC＝3a，則可知A(eq \r(3)a，a)，B(eq \r(3)a，－3a)．故k1＝eq \r(3)a2，k2＝－3 eq \r(3)a2，故eq \f(k1,k2)＝－eq \f(1,3).
10．2 eq \r(6)＋4 [解析] ∵點(diǎn)A在函數(shù)y＝eq \f(4,x)(x＞0)的圖象上，∴設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(n，eq \f(4,n))(n＞0)．
在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，OA＝4，∴OA2＝AB2＋OB2，
又∵AB·OB＝eq \f(4,n)·n＝4，∴(AB＋OB)2＝AB2＋OB2＋2AB·OB＝42＋2×4＝24，
∴AB＋OB＝2 eq \r(6)或AB＋OB＝－2 eq \r(6)(舍去)，
∴C△ABO＝AB＋OB＋OA＝2 eq \r(6)＋4.
11．解：(1)∵直線y＝x＋b與雙曲線y＝eq \f(k,x)交于點(diǎn)A(1，2)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2＝1＋b，,2＝\f(k,1)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝2，,b＝1.))
∴y＝x＋1，y＝eq \f(2,x).
(2)分別將x＝0，y＝0代入y＝x＋1求得C(0，1)，B(－1，0)，∴OC＝1，S△BCP＝eq \f(1,2)·OC·BP＝2，解得BP＝4.∴當(dāng)P在B左邊時(shí)，P(－5，0)；當(dāng)P在B右邊時(shí)，P(3，0)．
12．解：(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可畫出v關(guān)于t的函數(shù)圖象如圖所示：
根據(jù)圖象形狀，選擇反比例函數(shù)模型進(jìn)行嘗試．
設(shè)v關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式為v＝eq \f(k,t)，
∵當(dāng)v＝75時(shí)，t＝4，
∴k＝4×75＝300.
∴v＝eq \f(300,t).
將點(diǎn)(3.75，80)，(3.53，85)，(3.33，90)，(3.16，95)的坐標(biāo)代入v＝eq \f(300,t)，
驗(yàn)證：eq \f(300,80)＝3.75，eq \f(300,85)≈3.53，eq \f(300,90)≈3.33，eq \f(300,95)≈3.16，
∴v與t的函數(shù)表達(dá)式為v＝eq \f(300,t)(t≥3)．
(2)∵10－7.5＝2.5，
∴當(dāng)t＝2.5時(shí)，v＝eq \f(300,2.5)＝120>100.
∴汽車上午7：30從麗水出發(fā)，不能在上午10：00之前到達(dá)杭州市場(chǎng)．
(3)由圖象或反比例函數(shù)的性質(zhì)得，
當(dāng)3.5≤t≤4時(shí)，75≤v≤eq \f(600,7).
答：平均速度v的取值范圍是75≤v≤eq \f(600,7).
13．A [解析] ①當(dāng)k＝0時(shí)y2＝1，y1＝－eq \f(1,x)(x>0)，則一對(duì)“友好點(diǎn)”為A(1，－1)，B(－1，1)；
②當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x，－eq \f(1,x))，由于A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則可設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(－x，－kx＋1＋k)．A、B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，因此eq \f(1,x)＝－kx＋1＋k，將其化為一元二次方程，得到kx2－(1＋k)x＋1＝0，Δ＝(k－1)2≥0，因此，當(dāng)k＝1時(shí)，有1對(duì)“友好點(diǎn)”，坐標(biāo)為A(1，－1)，B(－1，1)；當(dāng)k>0且k≠1時(shí)，有兩對(duì)“友好點(diǎn)”，因此答案為A.
14．解：(1)當(dāng)k＝1時(shí)，直線y＝x＋k和雙曲線y＝eq \f(k＋1,x)化為y＝x＋1和y＝eq \f(2,x)，
解方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋1，,y＝\f(2,x)，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝－1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2.))
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，2)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－2，－1)．
(2)當(dāng)k＝2時(shí)，直線y＝x＋k和雙曲線y＝eq \f(k＋1,x)化為y＝x＋2和y＝eq \f(3,x)，
解方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋2，,y＝\f(3,x)，))
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝－1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝3，))
∴點(diǎn)A(1，3)，點(diǎn)B(－3，－1)．
∵直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)，
∴S△AOB＝eq \f(1,2)×2×1＋eq \f(1,2)×2×3＝4.
(3)當(dāng)k＝1時(shí)，S1＝eq \f(1,2)×1×(1＋2)＝eq \f(3,2)；
當(dāng)k＝2時(shí)，S2＝eq \f(1,2)×2×(1＋3)＝4；
…
當(dāng)k＝n時(shí)，Sn＝eq \f(1,2)n(1＋n＋1)＝eq \f(1,2)n2＋n.
∵S1＋S2＋…＋Sn＝eq \f(133,2)，
∴eq \f(1,2)×(12＋22＋32＋…＋n2)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝eq \f(133,2)，
整理得eq \f(1,2)×eq \f(n（n＋1）（2n＋1）,6)＋eq \f(n（n＋1）,2)＝eq \f(133,2)，
解得n＝6.
v(千米/時(shí))
75
80
85
90
95
t(小時(shí))
4.00
3.75
3.53
3.33
3.16

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