第三講 用空間向量的方法解立體幾何問題

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高考考點
考點解讀
利用空間向量證明平行與垂直關系
1.建立空間直角坐標系，利用向量的知識證明平行與垂直
2．考查向量的數(shù)量積與向量垂直的關系以及建立空間直角坐標系的方法
利用空間向量求線線角、線面角、面面角
以具體幾何體為命題背景，直接求角或已知角求相關量
利用空間向量解決探索性問題或其他問題
1.常借助空間直角坐標系，設點的坐標探求點的存在問題
2．常利用空間向量的關系，設某一個參數(shù)，利用向量運算探究平行、垂直問題
備考策略
本部分內(nèi)容在備考時應注意以下幾個方面：
(1)加強對空間向量概念及空間向量運算律的理解，掌握空間向量的加、減法，數(shù)乘、數(shù)量積運算等．
(2)掌握各種角與向量之間的關系，并會應用．
(3)掌握利用向量法求線線角、線面角、二面角的方法．
預測2020年命題熱點為：
(1)二面角的求法．
(2)已知二面角的大小，證明線線、線面平行或垂直．
(3)給出線面的位置關系，探究滿足條件的某點是否存在．

Z
1．向量法求空間角
(1)異面直線所成的角：設a，b分別為異面直線a，b的方向向量，則兩異面直線所成的角滿足cosθ＝.
(2)線面角
設l是斜線l的方向向量，n是平面α的法向量，則斜線l與平面α所成的角滿足sinθ＝.
(3)二面角
①如圖(ⅰ)，AB，CD是二面角α－l－β的兩個半平面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈，〉.

②如圖(ⅱ)(ⅲ)，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉.
(4)點到平面的距離的向量求法

如圖，設AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則點B到平面α的距離d＝.
2．利用向量方法證明平行與垂直
設直線l，m的方向向量分別為a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α，β的法向量分別為μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)．
(1)線線平行
l∥m?a∥b?a＝kb?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.
(2)線線垂直
l⊥m?a⊥b?a·b＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(3)線面平行
l∥α?a⊥μ?a·μ＝0?a1a3＋b1b3＋c1c3＝0.
(4)線面垂直
l⊥α?a∥μ?a＝kμ?a1＝ka3，b1＝kb3，c＝kc3.
(5)面面平行
α∥β?μ∥v?μ＝kv?a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4.
(6)面面垂直
α⊥β?μ⊥v?μ·v＝0?a3a4＋b3b4＋c3c4＝0.
3．模、夾角和距離公式
(1)設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則
|a|＝＝，
cos〈a，b〉＝＝.
(2)距離公式
設A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則
||＝.

Y
1．在建立空間直角坐標系時，易忽略說明或證明建系的條件．
2．忽略異面直線的夾角與方向向量夾角的區(qū)別：兩條異面直線所成的角是銳角或直角，與它們的方向向量的夾角不一定相等．
3．不能區(qū)分二面角與兩法向量的夾角：求二面角時，兩法向量的夾角有可能是二面角的補角，要注意從圖中分析．

1．(2018·全國卷Ⅰ，18)如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，以DF為折痕把△DFC折起，使點C到達點P的位置，且PF⊥BF.

(1)證明：平面PEF⊥平面ABFD．
(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值．
[解析]　(1)由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，PF∩EF＝F，
所以BF⊥平面PEF.
又BF?平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD．
(2)方法一：作PH⊥EF，垂足為H.
由(1)得，PH⊥平面ABFD．
以H為坐標原點，的方向為y軸正方向，設正方形ABCD的邊長為2，建立如圖所示的空間直角坐標系H-xyz.

由(1)可得，DE⊥PE.
又DP＝2，DE＝1，所以PE＝.
又PF＝1，EF＝2，故PE⊥PF.
可得PH＝，EH＝.
則H(0,0,0)，P，D，＝，＝為平面ABFD的一個法向量．
設DP與平面ABFD所成角為θ，則sinθ＝＝＝.


所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為.
方法二：因為PF⊥BF，BF∥ED，所以PF⊥ED，
又PF⊥PD，ED∩DP＝D，所以PF⊥平面PED，
所以PF⊥PE，
設AB＝4，則EF＝4，PF＝2，所以PE＝2，
過P作PH⊥EF交EF于H點，
由平面PEF⊥平面ABFD，
所以PH⊥平面ABFD，連接DH，
則∠PDH即為直線DP與平面ABFD所成的角，
由PE·PF＝EF·PH，所以PH＝＝，
因為PD＝4，所以sin∠PDH＝＝，
所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為.
2．(2018·全國卷Ⅱ，20)如圖，在三棱錐P-ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O為AC的中點．
(1)證明：PO⊥平面ABC．
(2)若點M在棱BC上，且二面角M-PA-C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值．
[解析]　(1)因為AP＝CP＝AC＝4，O為AC的中點，
所以OP⊥AC，且OP＝2.
連接OB．因為AB＝BC＝AC，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB．
由OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC．
(2)連接OM，如圖，以O為坐標原點，的方向為x軸正方向，的方向為y軸正方向，的方向為z軸正方向，建立空間直角坐標系．

由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，－2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，＝(0,2,2)，取平面PAC的法向量＝(2,0,0)．
設M(a,2－a,0)(0＜a≤2)，則＝(a,4－a,0)．
設平面PAM的法向量為n＝(x，y，z)．
由·n＝0，·n＝0得
可取n＝((a－4)，a，－a)，
所以cos〈，n〉＝.
由已知得|cos〈，n〉|＝.
所以＝.
解得a＝－4(舍去)，a＝.
所以n＝.
又＝(0,2，－2)，
所以cos〈，n〉＝.
所以PC與平面PAM所成角的正弦值為.
3．(2018·北京卷，16)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為AA1，AC，A1C1，BB1的中點，AB＝BC＝，AC＝AA1＝2.
(1)求證：AC⊥平面BEF.
(2)求二面角B-CD-C1的余弦值．
(3)證明：直線FG與平面BCD相交．

[解析]　(1)因為CC1⊥平面ABC，AC?平面ABC，
所以CC1⊥AC．
在平行四邊形A1ACC1中，E，F(xiàn)分別是AC，A1C1的中點，
所以EF∥CC1，
所以AC⊥EF.
在△ABC中，AB＝BC，E是AC的中點，
所以AC⊥BE，
又因為AC⊥EF，BE，EF?平面BEF，BE∩EF＝E，
所以AC⊥平面BEF.
(2)如圖，建立空間直角坐標系E-xyz，則E(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(－1,0,0)，A1(1,0,2)，B1(0,2,2)，C1(－1,0,2)，D(1,0,1)，F(xiàn)(0,0,2)，G(0,2,1)，
顯然＝(0,2,0)是平面CDC1的一個法向量，
設m＝(x，y，z)是平面BCD的一個法向量，
又＝(－1，－2,0)，＝(1，－2,1)，
所以不妨取y＝1，則x＝－2，z＝4，
所以平面BCD的一個法向量為m＝(－2,1,4)，
cos〈，m〉＝＝＝，
由圖知，二面角B-CD-C1為鈍角，
所以，二面角B-CD-C1的余弦值為－.
(3)方法一：記CD，EF交點為I，連接BI，
由(1)及已知，EF∥CC1，CC1∥BB1，
所以EF∥BB1，直線BG與直線FI共面，
又因為BG＝BB1＝AA1＝A1D，A1D