2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)檢測(cè)：第5章 第2節(jié)　等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和(含解析)

限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練(限時(shí)練·夯基練·提能練)A級(jí)　基礎(chǔ)夯實(shí)練1．(2018·北京東城區(qū)二模)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3＝3，a5＝5，則S7的值是(　　)A．30　　　　　　　　　 B．29C．28  D．27解析：選C.由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則d＝＝1，故a4＝a3＋d＝4，所以S7＝＝＝7×4＝28.故選C.2．(2018·唐山統(tǒng)考)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S11＝22，則a3＋a7＋a8等于(　　)A．18  B．12C．9  D．6解析：選D.由題意得S11＝＝＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，故選D.3．在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2 017，其前n項(xiàng)和為Sn，若－＝2，則S2 020＝(　　)A．2 020  B．－2 020C．4 040  D．－4 040解析：選C.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝An2＋Bn，則＝An＋B，∴是等差數(shù)列．∵－＝2，∴的公差為1，又＝＝－2 017，∴是以－2 017為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，∴＝－2 017＋2 019×1＝2，∴S2 020＝4 040.故選C.4．(2018·山西太原模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n，Sn)(n∈N*)在函數(shù)y＝x2－10x的圖象上，等差數(shù)列{bn}滿足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n項(xiàng)和為Tn，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．Sn＜2Tn  B．b4＝0C．T7＞b7  D．T5＝T6解析：選D.因?yàn)辄c(diǎn)(n，Sn)(n∈N*)在函數(shù)y＝x2－10x的圖象上，所以Sn＝n2－10n，所以an＝2n－11，又bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，所以2b1＋d＝－9,2b1＋3d＝－7，解得b1＝－5，d＝1，所以bn＝n－6，所以b6＝0，所以T5＝T6，故選D.5．(2018·江西南昌模擬)《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為(　　)A．1升  B．升C.升  D．升解析：選B.設(shè)該等差數(shù)列為{an}，公差為d，由題意得即解得∴a5＝＋4×＝.故選B.6．(2018·山東五校聯(lián)考)下面是關(guān)于公差d＞0的等差數(shù)列{an}的四個(gè)命題：p1：數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；p2：數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列；p3：數(shù)列{}是遞增數(shù)列；p4：數(shù)列{an＋3nd}是遞增數(shù)列．其中的真命題為(　　)A．p1，p2  B．p3，p4C．p2，p3  D．p1，p4解析：選D.{an}是等差數(shù)列，則an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，因?yàn)?/span>d＞0，所以{an}是遞增數(shù)列，故p1正確；對(duì)p2，舉反例，令a1＝－3，a2＝－2，d＝1，則a1＞2a2，故{nan}不是遞增數(shù)列，p2不正確；＝d＋，當(dāng)a1－d＞0時(shí)，{}遞減，p3不正確；an＋3nd＝4nd＋a1－d,4d＞0，{an＋3nd}是遞增數(shù)列，p4正確．故p1，p4是正確的，選D.7．(2018·揭陽質(zhì)檢)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3，{bn}為等差數(shù)列且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，則a8等于(　　)A．0  B．3C．8  D．11解析：選B.∵{bn}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，由b3＝－2，b10＝12，∴7d＝b10－b3＝12－(－2)＝14，∴d＝2，∵b3＝－2，∴b1＝b3－2d＝－2－4＝－6，∴b1＋b2＋…＋b7＝7b1＋d＝7×(－6)＋21×2＝0，又b1＋b2＋…＋b7＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a8－a7)＝a8－a1＝a8－3，∴a8－3＝0，∴a8＝3.故選B.8．(2018·日照二模)若數(shù)列{an}滿足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，則使ak·ak＋1＜0的k值為________．解析：因?yàn)?/span>3an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為15，公差為－的等差數(shù)列，所以an＝15－·(n－1)＝－n＋，令an＝－n＋＞0，得n＜23.5，所以使ak·ak＋1＜0的k值為23.答案：239．(2018·長春模擬)《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾．初日織五尺，今一月日織九匹三丈．則月末日織幾何？”其意思為今有女子善織布，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布．若第一天織5尺布，現(xiàn)在一個(gè)月(按30天計(jì))共織390尺布，則該女最后一天織________尺布．解析：由題意得，該女每天所織的布的尺數(shù)依次排列形成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)為{an}，其中a1＝5，前30項(xiàng)和為390，于是有＝390，解得a30＝21，即該女最后一天織21尺布．答案：2110．(2017·全國卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S2＝2，S3＝－6.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求Sn，并判斷Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差數(shù)列．解：(1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)可得解得q＝－2，a1＝－2.故{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－2)n.(2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1)n·.由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n·＝2＝2Sn，故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列．B級(jí)　能力提升練11．(2018·濰坊模擬)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，(n＋1)Sn＜nSn＋1(n∈N*)．若＜－1，則(　　)A．Sn的最大值是S8  B．Sn的最小值是S8C．Sn的最大值是S7  D．Sn的最小值是S7解析：選D.由已知條件得＜，即＜，所以an＜an＋1，所以等差數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．又＜－1，所以a8＞0，a7＜0，即數(shù)列{an}前7項(xiàng)均小于0，第8項(xiàng)大于零，所以Sn的最小值為S7，故選D. 12．如圖，點(diǎn)列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示點(diǎn)P與Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn為△AnBnBn＋1的面積，則(　　)A．{Sn}是等差數(shù)列  B．{S}是等差數(shù)列C．{dn}是等差數(shù)列  D．{d}是等差數(shù)列解析：選A.作A1C1，A2C2，A3C3，…，AnCn垂直于直線B1Bn，垂足分別為C1，C2，C3，…，Cn，則A1C1∥A2C2∥…∥AnCn.∵|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，∴|CnCn＋1|＝|Cn＋1Cn＋2|.設(shè)|A1C1|＝a，|A2C2|＝b，|B1B2|＝c，則|A3C3|＝2b－a，…，|AnCn|＝(n－1)b－(n－2)a(n≥3)，∴Sn＝c[(n－1)b－(n－2)a]＝c[(b－a)n＋(2a－b)]，∴Sn＋1－Sn＝c[(b－a)(n＋1)＋(2a－b)－(b－a)n－(2a－b)]＝c(b－a)，∴數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列．13．(2018·南充模擬)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若＜－1，且它們的前n項(xiàng)和Sn有最大值，則使Sn＞0的n的最大值為________．解析：∵＜－1，且Sn有最大值，∴a10＞0，a11＜0，且a10＋a11＜0，∴S19＝＝19·a10＞0，S20＝＝10(a10＋a11)＜0，故使得Sn＞0的n的最大值為19.答案：1914．(2018·山東菏澤二模)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，n∈N*，滿足a1＋a2＝10，S5＝40.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝|13－an|，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意知，a1＋a2＝2a1＋d＝10，S5＝5a3＝40，即a3＝8，所以a1＋2d＝8，所以所以an＝4＋(n－1)·2＝2n＋2.(2)令cn＝13－an＝11－2n，bn＝|cn|＝|11－2n|＝設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Qn，則Qn＝－n2＋10n.當(dāng)n≤5時(shí)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝Qn＝－n2＋10n.當(dāng)n≥6時(shí)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝c1＋c2＋…＋c5－(c6＋c7＋…＋cn)＝－Qn＋2Q5＝n2－10n＋2(－52＋10×5)＝n2－10n＋50.∴Tn＝15．(2018·惠州市二調(diào))在公差不為0的等差數(shù)列{an}中，a1，a4，a8成等比數(shù)列．(1)若數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和為45，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若bn＝，且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若Tn＝－，求數(shù)列{an}的公差．解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，由a1，a4，a8成等比數(shù)列可得a＝a1·a8，即(a1＋3d)2＝a1·(a1＋7d)，解得a1＝9d.由數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和為45得10a1＋45d＝45，即90d＋45d＝45，所以d＝，a1＝3.故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3＋(n－1)×＝.(2)因?yàn)?/span>bn＝＝，所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝＋＋…＋＝，即Tn＝＝＝＝－，因此＝1，解得d＝－1或d＝1.故數(shù)列{an}的公差為－1或1.C級(jí)　素養(yǎng)加強(qiáng)練16．(2018·湘東五校聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a5＋a13＝34，S3＝9.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式；(2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝，問：是否存在正整數(shù)t，使得b1，b2，bm(m≥3，m∈N)成等差數(shù)列？若存在，求出t和m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：(1)設(shè){an}的公差為d，由題意得解得a1＝1，d＝2，故an＝2n－1，Sn＝n2.(2)由(1)知bn＝，要使b1，b2，bm成等差數(shù)列，必須有2b2＝b1＋bm，即2×＝＋，移項(xiàng)得＝－＝，整理得m＝3＋.因?yàn)?/span>m，t為正整數(shù)，所以t只能取2,3,5.當(dāng)t＝2時(shí)，m＝7；當(dāng)t＝3時(shí)，m＝5；當(dāng)t＝5時(shí)，m＝4.所以存在正整數(shù)t，使得b1，b2，bm成等差數(shù)列．