（五）平面解析幾何中的高考熱點問題
[命題解讀]　1. 圓錐曲線是平面解析幾何的核心部分，也是高考必考知識，主要以一個小題一個大題的形式呈現，難度中等偏上．
2．高考中的選擇題或填空題主要考查圓錐曲線的基本性質，高考中的解答題，在第(1)問中常以求曲線的標準方程，在第(2)問以求作或證明位置關系、定點、定值、最值、范圍、探索性問題為主. 這些試題的命制有一個共同特點，就是起點低，但在第(2)問或第(3)問中一般都伴有較為復雜的運算，對考生解決問題的能力要求較高.

圓錐曲線的標準方程與性質
圓錐曲線的方程與性質是高考考查的重點，求離心率、準線、雙曲線的漸近線是常見題型，多以選擇題或填空題的形式考查，各種難度均有可能．

【例1】　(2017·全國卷Ⅲ)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y＝x，且與橢圓＋＝1有公共焦點，則C的方程為(　　)
A.－＝1　　　　 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
B　[由y＝x可得＝.①
由橢圓＋＝1的焦點為(3,0)，(－3,0)，
可得a2＋b2＝9.②
由①②可得a2＝4，b2＝5.
所以C的方程為－＝1.
故選B.]
[規(guī)律方法]　解決此類問題的關鍵是熟練掌握各曲線的定義、性質及相關參數間的聯系. 掌握一些常用的結論及變形技巧，有助于提高運算能力.
(1)(2017·全國卷Ⅱ)若雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長為2，則C的離心率為(　　)
A．2　　　　B. C.　　　　D.
(2)(2017·全國卷Ⅰ)已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|＋|DE|的最小值為(　　)
A．16　　　B．14 C．12　　　D．10
(1)A　(2)A　[(1)設雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，
圓的圓心為(2,0)，半徑為2，
由弦長為2得出圓心到漸近線的距離為＝.
根據點到直線的距離公式得＝，解得b2＝3a2.
所以C的離心率e＝＝＝＝2.
故選A.
(2)因為F為y2＝4x的焦點，所以F(1,0)．

由題意直線l1，l2的斜率均存在，且不為0，設l1的斜率為k，則l2的斜率為－，故直線l1，l2的方程分別為y＝k(x－1)，y＝－(x－1)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝1，
所以|AB|＝·|x1－x2|
＝·
＝·＝.
同理可得|DE|＝4(1＋k2)．
所以|AB|＋|DE|＝＋4(1＋k2)
＝4
＝8＋4≥8＋4×2＝16，
當且僅當k2＝，即k＝±1時，取得等號．
故選A.]

圓錐曲線中的定點、定值問題
定點、定值問題一般涉及曲線過定點、與曲線上的動點有關的定值問題以及與圓錐曲線有關的弦長、面積、橫(縱)坐標等定值問題．
【例2】　(2017·全國卷Ⅰ)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)，四點P1(1,1)，P2(0,1)，P3，P4中恰有三點在橢圓C上．
(1)求C的方程；
(2)設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點．若直線P2A與直線P2B的斜率的和為－1，證明：l過定點．
[解]　(1)由于P3，P4兩點關于y軸對稱，故由題設知橢圓C經過P3，P4兩點．
又由＋＞＋知，橢圓C不經過點P1，
所以點P2在橢圓C上．
因此解得故橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)證明：設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2.
如果l與x軸垂直，設l：x＝t，由題設知t≠0，且|t|＜2，可得A，B的坐標分別為，，則k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不符合題設．
從而可設l：y＝kx＋m(m≠1)．
將y＝kx＋m代入＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
由題設可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝.
而k1＋k2＝＋
＝＋
＝.
由題設k1＋k2＝－1，
故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.
即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0，解得k＝－.
當且僅當m＞－1時，Δ＞0，
于是l：y＝－x＋m，
即y＋1＝－(x－2)，
所以l過定點(2，－1)．
[規(guī)律方法]　1.證明直線過定點，應根據已知條件建立直線方程中斜率k或截距b的關系式，此類問題中的定點多在坐標軸上.
2.解決定值問題應以坐標運算為主，需建立相應的目標函數，然后代入相應的坐標運算，結果即可得到.
3.無論定點或定值問題，都可先用特殊值法求出，然后再驗證即可，這樣可確定方向和目標.
已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)過點(0,1)，且離心率為.
(1)求橢圓E的方程；
(2)設直線l：y＝x＋m與橢圓E交于A，C兩點，以AC為對角線作正方形ABCD，記直線l與x軸的交點為N，問B，N兩點間的距離是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，請說明理由．
[解]　(1)由題意可知，橢圓的焦點在x軸上，橢圓過點(0,1)，則b＝1.
由橢圓的離心率e＝＝＝，解得a＝2，所以橢圓E的標準方程為＋y2＝1.
(2)設A(x1，y1)，C(x2，y2)，線段AC的中點為M(x0，y0)．
由整理得x2＋2mx＋2m2－2＝0.
由Δ＝(2m)2－4(2m2－2)＝8－4m2>0，解得－b>0)過點(－，1)，離心率為，直線l：kx－y＋2＝0與橢圓C交于A，B兩點．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)是否存在實數k，使得|＋|＝|－|(其中O為坐標原點)成立？若存在，求出實數k的值；若不存在，請說明理由．
[解]　(1)依題意，得解得a2＝4，b2＝2，c2＝2，
故橢圓C的標準方程為＋＝1.
(2)假設存在符合條件的實數k.依題意，聯立方程
消去y并整理，得(1＋2k2)x2＋8kx＋4＝0.
則Δ＝64k2－16(1＋2k2)>0，即k>或k0)．
(1)證明：k

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