一、重力做功與重力勢(shì)能的關(guān)系
1．重力做功的特點(diǎn)
(1)重力做功與路徑無(wú)關(guān)，只與始末位置的高度差有關(guān)．
(2)重力做功不引起物體機(jī)械能的變化．
2．重力勢(shì)能
(1)表達(dá)式：Ep＝mgh.
(2)重力勢(shì)能的特點(diǎn)
重力勢(shì)能是物體和地球所共有的，重力勢(shì)能的大小與參考平面的選取有關(guān)，但重力勢(shì)能的變化與參考平面的選取無(wú)關(guān)．
3．重力做功與重力勢(shì)能變化的關(guān)系
(1)定性關(guān)系：重力對(duì)物體做正功，重力勢(shì)能減?。恢亓?duì)物體做負(fù)功，重力勢(shì)能增大；
(2)定量關(guān)系：重力對(duì)物體做的功等于物體重力勢(shì)能的減小量．即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp.
自測(cè)1　關(guān)于重力勢(shì)能，下列說(shuō)法中正確的是(　　)
A．物體的位置一旦確定，它的重力勢(shì)能的大小也隨之確定
B．物體與零勢(shì)能面的距離越大，它的重力勢(shì)能也越大
C．一個(gè)物體的重力勢(shì)能從－5 J變化到－3 J，重力勢(shì)能減少了
D．重力勢(shì)能的減少量等于重力對(duì)物體做的功
答案　D
二、彈性勢(shì)能
1．定義：發(fā)生彈性形變的物體之間，由于有彈力的相互作用而具有的勢(shì)能．
2．彈力做功與彈性勢(shì)能變化的關(guān)系：
彈力做正功，彈性勢(shì)能減小；彈力做負(fù)功，彈性勢(shì)能增加．即W＝－ΔEp.
自測(cè)2　(多選)關(guān)于彈性勢(shì)能，下列說(shuō)法中正確的是(　　)
A．任何發(fā)生彈性形變的物體，都具有彈性勢(shì)能
B．任何具有彈性勢(shì)能的物體，一定發(fā)生了彈性形變
C．物體只要發(fā)生形變，就一定具有彈性勢(shì)能
D．彈簧的彈性勢(shì)能只跟彈簧被拉伸或壓縮的長(zhǎng)度有關(guān)
答案　AB

三、機(jī)械能守恒定律
1．內(nèi)容：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動(dòng)能與勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能保持不變．
2．表達(dá)式：mgh1＋mv＝mgh2＋mv.
3．機(jī)械能守恒的條件
(1)系統(tǒng)只受重力或彈簧彈力的作用，不受其他外力．
(2)系統(tǒng)除受重力或彈簧彈力作用外，還受其他內(nèi)力和外力，但這些力對(duì)系統(tǒng)不做功．
(3)系統(tǒng)內(nèi)除重力或彈簧彈力做功外，還有其他內(nèi)力和外力做功，但這些力做功的代數(shù)和為零．
(4)系統(tǒng)跟外界沒(méi)有發(fā)生機(jī)械能的傳遞，系統(tǒng)內(nèi)、外也沒(méi)有機(jī)械能與其他形式的能發(fā)生轉(zhuǎn)化．
自測(cè)3　下列幾種運(yùn)動(dòng)中，機(jī)械能一定守恒的是(　　)
A．做勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體
B．做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體
C．做平拋運(yùn)動(dòng)的物體
D．做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體
答案　C
解析　做勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體，動(dòng)能不變，重力勢(shì)能可能變化，機(jī)械能不一定守恒，故A錯(cuò)誤；若是在水平面上的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能增大，重力勢(shì)能不變，則機(jī)械能不守恒，故B錯(cuò)誤；做平拋運(yùn)動(dòng)的物體，只有重力做功，機(jī)械能必定守恒，故C正確；若物體在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能不變，重力勢(shì)能在變化，機(jī)械能不守恒，故D錯(cuò)誤.


例1　(2019·湖南衡陽(yáng)市第二次聯(lián)考)2019年春晚在開(kāi)場(chǎng)舞蹈《春海》中拉開(kāi)帷幕．如圖1所示，五名領(lǐng)舞者在鋼絲繩的拉動(dòng)下以相同速度緩緩升起，若五名領(lǐng)舞者的質(zhì)量(包括衣服和道具)相等，下面說(shuō)法中正確的是(　　)

圖1
A．觀眾欣賞表演時(shí)可把領(lǐng)舞者看做質(zhì)點(diǎn)
B．2號(hào)和4號(hào)領(lǐng)舞者的重力勢(shì)能相等
C．3號(hào)領(lǐng)舞者處于超重狀態(tài)
D．她們?cè)谏仙^(guò)程中機(jī)械能守恒
答案　B
解析　觀眾欣賞表演時(shí)要看領(lǐng)舞者的動(dòng)作，所以不能將領(lǐng)舞者看做質(zhì)點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；2號(hào)和4號(hào)領(lǐng)舞者始終處于同一高度，質(zhì)量相等，所以重力勢(shì)能相等，故B正確；五名領(lǐng)舞者在鋼絲繩的拉動(dòng)下以相同速度緩緩升起，所以處于平衡狀態(tài)，故C錯(cuò)誤；上升過(guò)程中，鋼絲繩對(duì)她們做正功，所以機(jī)械能增大，故D錯(cuò)誤．
變式1　(多選)一蹦極運(yùn)動(dòng)員身系彈性蹦極繩從水面上方的高臺(tái)下落，到最低點(diǎn)時(shí)距水面還有數(shù)米距離．假定空氣阻力可忽略，運(yùn)動(dòng)員可視為質(zhì)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．運(yùn)動(dòng)員到達(dá)最低點(diǎn)前重力勢(shì)能始終減小
B．蹦極繩張緊后的下落過(guò)程中，彈力做負(fù)功，彈性勢(shì)能增加
C．蹦極過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員、地球和蹦極繩所組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
D．蹦極過(guò)程中，重力勢(shì)能的改變量與重力勢(shì)能零點(diǎn)的選取有關(guān)
答案　ABC
解析　在運(yùn)動(dòng)員到達(dá)最低點(diǎn)前，運(yùn)動(dòng)員一直向下運(yùn)動(dòng)，根據(jù)重力勢(shì)能的定義可知重力勢(shì)能始終減小，故選項(xiàng)A正確；蹦極繩張緊后的下落過(guò)程中，彈力方向向上，而運(yùn)動(dòng)員向下運(yùn)動(dòng)，所以彈力做負(fù)功，彈性勢(shì)能增加，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于運(yùn)動(dòng)員、地球和蹦極繩所組成的系統(tǒng)，蹦極過(guò)程中只有重力和彈力做功，所以系統(tǒng)機(jī)械能守恒，故選項(xiàng)C正確；重力做功是重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化的量度，即WG＝－ΔEp，而蹦極過(guò)程中重力做功與重力勢(shì)能零點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)，所以重力勢(shì)能的改變量與重力勢(shì)能零點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
變式2　如圖2所示，P、Q兩球質(zhì)量相等，開(kāi)始兩球靜止，將P上方的細(xì)繩燒斷，在Q落地之前，下列說(shuō)法正確的是(不計(jì)空氣阻力)(　　)

圖2
A．在任一時(shí)刻，兩球動(dòng)能相等
B．在任一時(shí)刻，兩球加速度相等
C．在任一時(shí)刻，系統(tǒng)動(dòng)能與重力勢(shì)能之和保持不變
D．在任一時(shí)刻，系統(tǒng)機(jī)械能是不變的
答案　D
解析　細(xì)繩燒斷后，由于彈簧處于伸長(zhǎng)狀態(tài)，通過(guò)對(duì)P、Q兩球受力分析可知aP>aQ，在任一時(shí)刻，兩球的動(dòng)能不一定相等，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；系統(tǒng)內(nèi)有彈力做功，彈性勢(shì)能發(fā)生變化，系統(tǒng)的動(dòng)能與重力勢(shì)能之和發(fā)生變化，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；Q落地前，兩球及彈簧組成的系統(tǒng)只有重力和彈簧的彈力做功，整個(gè)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，選項(xiàng)D正確．

1．表達(dá)式

2．一般步驟

3．選用技巧
在處理單個(gè)物體機(jī)械能守恒問(wèn)題時(shí)通常應(yīng)用守恒觀點(diǎn)和轉(zhuǎn)化觀點(diǎn)，轉(zhuǎn)化觀點(diǎn)不用選取零勢(shì)能面．
例2　如圖3所示，傾角為37°的斜面與一豎直光滑圓軌道相切于A點(diǎn)，軌道半徑R＝1 m，將滑塊由B點(diǎn)無(wú)初速度釋放，滑塊恰能運(yùn)動(dòng)到圓周的C點(diǎn)，OC水平，OD豎直，xAB＝2 m，滑塊可視為質(zhì)點(diǎn)，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：

圖3
(1)滑塊在斜面上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
(2)若滑塊能從D點(diǎn)拋出，滑塊仍從斜面上無(wú)初速度釋放，釋放點(diǎn)至少應(yīng)距A點(diǎn)多遠(yuǎn)．
答案　(1)1 s　(2)5.75 m
解析　(1)設(shè)滑塊到達(dá)A點(diǎn)的速度為vA，從A到C過(guò)程機(jī)械能守恒有
mv＝mgRcos 37°
從B到A過(guò)程，滑塊做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知v＝2axAB
vA＝at
聯(lián)立各式解得a＝4 m/s2，t＝1 s
(2)設(shè)滑塊能從D點(diǎn)拋出的最小速度為vD，在D點(diǎn)，由重力提供向心力，有mg＝m
從A到D由機(jī)械能守恒有
mvA′2＝mgR(1＋cos 37°)＋mv
vA′2＝2ax′
聯(lián)立各式解得x′＝5.75 m.
變式3　如圖4所示，在豎直平面內(nèi)有由圓弧AB和圓弧BC組成的光滑固定軌道，兩者在最低點(diǎn)B平滑連接．AB弧的半徑為R，BC弧的半徑為.一小球在A點(diǎn)正上方與A相距處由靜止開(kāi)始自由下落，經(jīng)A點(diǎn)沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)．

圖4
(1)求小球在B、A兩點(diǎn)的動(dòng)能之比；
(2)通過(guò)計(jì)算判斷小球能否沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)．
答案　(1)5∶1　(2)能，理由見(jiàn)解析
解析　(1)設(shè)小球的質(zhì)量為m，小球在A點(diǎn)的動(dòng)能為EkA，由機(jī)械能守恒得
EkA＝mg·①
設(shè)小球在B點(diǎn)的動(dòng)能為EkB，同理有
EkB＝mg·②
由①②式得＝5③
(2)若小球能沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，小球在C點(diǎn)所受軌道的正壓力FN應(yīng)滿足FN≥0④
設(shè)小球在C點(diǎn)的速度大小為vC，由牛頓第二定律和向心加速度公式有
FN＋mg＝m⑤
由④⑤式得vC≥
對(duì)全程由機(jī)械能守恒定律得mg·＝mvC′2⑦
則vC′＝
vC的最小值恰好等于vC′，即小球恰好可以沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)．

1．對(duì)多個(gè)物體組成的系統(tǒng)要注意判斷物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒．
2．注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關(guān)系和位移關(guān)系．
3．列機(jī)械能守恒方程時(shí)，一般選用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式．
例3　(2019·東北三省三校第二次聯(lián)合模擬)如圖5所示，豎直平面內(nèi)固定兩根足夠長(zhǎng)的細(xì)桿L1、L2，兩桿不接觸，且兩桿間的距離忽略不計(jì)．兩個(gè)小球a、b(視為質(zhì)點(diǎn))質(zhì)量均為m，a球套在豎直桿L1上，b球套在水平桿L2上，a、b通過(guò)鉸鏈用長(zhǎng)度為l的剛性輕桿L連接，將a球從圖示位置(輕桿與L2桿夾角為45°)由靜止釋放，不計(jì)一切摩擦，已知重力加速度為g.在此后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，下列說(shuō)法中正確的是(　　)

圖5
A．a(chǎn)球和b球所組成的系統(tǒng)機(jī)械能不守恒
B．b球的速度為零時(shí)，a球的加速度大小為零
C．b球的最大速度為
D．a(chǎn)球的最大速度為
答案　C
解析　a球和b球組成的系統(tǒng)沒(méi)有外力做功，只有a球和b球的動(dòng)能和重力勢(shì)能相互轉(zhuǎn)換，因此a球和b球所組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，A錯(cuò)誤；設(shè)輕桿L和水平桿L2的夾角為θ，由運(yùn)動(dòng)關(guān)聯(lián)可知vbcos θ＝vasin θ，則vb＝vatan θ，可知當(dāng)b球的速度為零時(shí)，輕桿L處于水平位置且與桿L2平行，則此時(shí)a球在豎直方向只受重力mg，因此a球的加速度大小為g，B錯(cuò)誤；當(dāng)桿L和桿L1第一次平行時(shí)，a球運(yùn)動(dòng)到最下方，b球運(yùn)動(dòng)到L1和L2交點(diǎn)位置，b球的速度達(dá)到最大，此時(shí)a球的速度為0，因此由系統(tǒng)機(jī)械能守恒有mg(l＋l)＝mv，解得vb＝，C正確；當(dāng)輕桿L和桿L2第一次平行時(shí)，由運(yùn)動(dòng)的關(guān)聯(lián)可知此時(shí)b球的速度為零，由系統(tǒng)機(jī)械能守恒有mg·l＝mv，解得va＝，此時(shí)a球具有向下的加速度g，故此時(shí)a球的速度不是最大，a球?qū)⒗^續(xù)向下做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，到加速度為0時(shí)速度達(dá)到最大，D錯(cuò)誤．
變式4　(多選)(2019·云南昆明市4月質(zhì)檢)如圖6所示，質(zhì)量為m的小環(huán)(可視為質(zhì)點(diǎn))套在固定的光滑豎直桿上，一足夠長(zhǎng)且不可伸長(zhǎng)的輕繩一端與小環(huán)相連，另一端跨過(guò)光滑的定滑輪與質(zhì)量為M的物塊相連，已知M＝2m.與定滑輪等高的A點(diǎn)和定滑輪之間的距離為d＝3 m，定滑輪大小及質(zhì)量可忽略．現(xiàn)將小環(huán)從A點(diǎn)由靜止釋放，小環(huán)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)速度為0，重力加速度取g＝10 m/s2，則下列說(shuō)法正確的是(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)(　　)

圖6
A．A、C間距離為4 m
B．小環(huán)最終靜止在C點(diǎn)
C．小環(huán)下落過(guò)程中減少的重力勢(shì)能始終等于物塊增加的機(jī)械能
D．當(dāng)小環(huán)下滑至繩與桿的夾角為60°時(shí)，小環(huán)與物塊的動(dòng)能之比為2∶1
答案　AD
解析　小環(huán)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，由機(jī)械能守恒得：mgLAC＝Mg(－d)，解得：LAC＝4 m，故A正確；假設(shè)小環(huán)最終靜止在C點(diǎn)，則繩中的拉力大小等于2mg，在C點(diǎn)對(duì)小環(huán)有：FT＝＝mg≠2mg，所以假設(shè)不成立，小環(huán)不能靜止，故B錯(cuò)誤；由機(jī)械能守恒可知，小環(huán)下落過(guò)程中減少的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為物塊增加的機(jī)械能和小環(huán)增加的動(dòng)能，故C錯(cuò)誤；將小環(huán)的速度沿繩和垂直繩方向分解，沿繩方向的速度即為物塊的速度vM＝vmcos 60°，由Ek＝
mv2可知，小環(huán)與物塊的動(dòng)能之比為2∶1，故D正確.



1．由于彈簧的形變會(huì)具有彈性勢(shì)能，系統(tǒng)的總動(dòng)能將發(fā)生變化，若系統(tǒng)所受的外力(除重力外)和除彈簧彈力以外的內(nèi)力不做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒．
2．彈簧兩端物體把彈簧拉伸至最長(zhǎng)(或壓縮至最短)時(shí)，兩端的物體具有相同的速度，彈性勢(shì)能最大．
3．如果系統(tǒng)每個(gè)物體除彈簧彈力外所受合力為零，當(dāng)彈簧為自然長(zhǎng)度時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)彈簧某一端的物體具有最大速度(如繃緊的彈簧由靜止釋放)．
例4　(多選)(2019·湖南衡陽(yáng)市第二次模擬)如圖7所示，一根輕彈簧一端固定在O點(diǎn)，另一端固定一個(gè)帶有孔的小球，小球套在固定的豎直光滑桿上，小球位于圖中的A點(diǎn)時(shí)，彈簧處于原長(zhǎng)，現(xiàn)將小球從A點(diǎn)由靜止釋放，小球向下運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)與A點(diǎn)關(guān)于B點(diǎn)對(duì)稱的C點(diǎn)后，小球能運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)D點(diǎn)，OB垂直于桿，則下列結(jié)論正確的是(　　)

圖7
A．小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的過(guò)程中，其最大加速度一定大于重力加速度g
B．小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程，小球的重力勢(shì)能和彈簧的彈性勢(shì)能之和可能增大
C．小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，重力對(duì)其做功的功率最大
D．小球在D點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能一定最大
答案　AD
解析　在B點(diǎn)時(shí)，小球的加速度為g，在BC間彈簧處于壓縮狀態(tài)，小球在豎直方向除受重力外還有彈簧彈力沿豎直方向向下的分力，所以小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的過(guò)程中，其最大加速度一定大于重力加速度g，故A正確；由機(jī)械能守恒可知，小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程，小球做加速運(yùn)動(dòng)，即動(dòng)能增大，所以小球的重力勢(shì)能和彈簧的彈性勢(shì)能之和一定減小，故B錯(cuò)誤；小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，由于彈簧的彈力為零，合力為重力G，所以小球從C點(diǎn)往下還會(huì)加速一段，所以小球在C點(diǎn)的速度不是最大，即重力的功率不是最大，故C錯(cuò)誤；D點(diǎn)為小球運(yùn)動(dòng)的最低點(diǎn)，即速度為零，彈簧形變量最大，所以小球在D點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能最大，故D正確．
變式5　(2019·安徽巢湖市質(zhì)檢)如圖8所示，光滑水平軌道AB與光滑半圓形軌道BC在B點(diǎn)相切連接，半圓軌道半徑為R，軌道AB、BC在同一豎直平面內(nèi)．一質(zhì)量為m的物塊在A處壓縮彈簧，并由靜止釋放，物塊恰好能通過(guò)半圓軌道的最高點(diǎn)C.已知物塊在到達(dá)B點(diǎn)之前已經(jīng)與彈簧分離，重力加速度為g.求：

圖8
(1)物塊由C點(diǎn)平拋出去后在水平軌道上的落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離；
(2)物塊在B點(diǎn)時(shí)對(duì)半圓軌道的壓力大小；
(3)物塊在A點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能．
答案　(1)2R　(2)6mg　(3)mgR
解析　(1)因?yàn)槲飰K恰好能通過(guò)C點(diǎn)，則有：mg＝m
x＝vCt，2R＝gt2
解得x＝2R
即物塊在水平軌道上的落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離為2R；
(2)物塊由B到C過(guò)程中機(jī)械能守恒，
則有mv＝2mgR＋mv
設(shè)物塊在B點(diǎn)時(shí)受到的半圓軌道的支持力為FN，
則有：FN－mg＝m，
解得FN＝6mg
由牛頓第三定律可知，物塊在B點(diǎn)時(shí)對(duì)半圓軌道的壓力大小FN′＝FN＝6mg.
(3)由機(jī)械能守恒定律可知，物塊在A點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為
Ep＝2mgR＋mv，解得Ep＝mgR.


1．(多選)下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．如果物體受到的合力為零，則其機(jī)械能一定守恒
B．如果物體受到的合力做功為零，則其機(jī)械能一定守恒
C．物體沿光滑曲面自由下滑的過(guò)程中，其機(jī)械能一定守恒
D．做勻加速運(yùn)動(dòng)的物體，其機(jī)械能可能守恒
答案　CD
解析　物體沿光滑曲面自由下滑的過(guò)程中，只有重力做功，所以機(jī)械能守恒，選項(xiàng)C正確；做勻加速運(yùn)動(dòng)的物體，其機(jī)械能可能守恒，如自由落體運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)D正確．
2．蹦極是一項(xiàng)非常刺激的戶外休閑活動(dòng)．某蹦極跳塔高度為68米，身系彈性蹦極繩的蹦極運(yùn)動(dòng)員從高臺(tái)跳下，下落高度大約為50米．假定空氣阻力可忽略，運(yùn)動(dòng)員可視為質(zhì)點(diǎn)．下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．運(yùn)動(dòng)員到達(dá)最低點(diǎn)前加速度先不變后增大
B．蹦極過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員的機(jī)械能守恒
C．蹦極繩張緊后的下落過(guò)程中，動(dòng)能一直減小
D．蹦極繩張緊后的下落過(guò)程中，彈力一直增大
答案　D
解析　蹦極繩張緊前，運(yùn)動(dòng)員只受重力，加速度不變，蹦極繩張緊后，運(yùn)動(dòng)員受重力、彈力，開(kāi)始時(shí)重力大于彈力，加速度向下，后來(lái)重力小于彈力，加速度向上，則蹦極繩張緊后，運(yùn)動(dòng)員加速度先減小到零再反向增大，故A錯(cuò)誤；蹦極過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員和彈性繩組成的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，故B錯(cuò)誤；蹦極繩張緊后的下落過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員加速度先減小到零再反向增大，運(yùn)動(dòng)員速度先增大再減小，運(yùn)動(dòng)員動(dòng)能先增大再減小，故C錯(cuò)誤；蹦極繩張緊后的下落過(guò)程中，彈性繩的伸長(zhǎng)量增大，彈力一直增大，故D正確．
3.如圖1所示，將一個(gè)內(nèi)外側(cè)均光滑的半圓形槽置于光滑的水平面上，槽的左側(cè)有一豎直墻壁．現(xiàn)讓一小球自左端槽口A點(diǎn)的正上方由靜止開(kāi)始下落，小球從A點(diǎn)與半圓形槽相切進(jìn)入槽內(nèi)，則下列說(shuō)法正確的是(　　)

圖1
A．小球在半圓形槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程中，只有重力對(duì)它做功
B．小球從A點(diǎn)向半圓形槽的最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，小球處于失重狀態(tài)
C．小球從A點(diǎn)經(jīng)最低點(diǎn)向右側(cè)最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，小球與槽組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
D．小球從下落到從右側(cè)離開(kāi)槽的過(guò)程中機(jī)械能守恒
答案　C
解析　小球從A點(diǎn)向半圓形槽的最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，半圓形槽有向左運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，但實(shí)際上沒(méi)有動(dòng)，整個(gè)系統(tǒng)中只有重力做功，所以小球與槽組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒；小球過(guò)了半圓形槽的最低點(diǎn)以后，半圓形槽向右運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)沒(méi)有其他形式的能量產(chǎn)生，滿足機(jī)械能守恒的條件，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒；小球從A點(diǎn)至到達(dá)槽最低點(diǎn)過(guò)程中，小球先失重，后超重；小球由最低點(diǎn)向右側(cè)最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，半圓形槽也向右移動(dòng)，半圓形槽對(duì)小球做負(fù)功，小球的機(jī)械能不守恒，故選項(xiàng)C正確．
4．如圖2所示，在下列不同情形中將光滑小球以相同速率v射出，忽略空氣阻力，結(jié)果只有一種情形小球不能到達(dá)天花板，則該情形是(　　)

圖2
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
答案　B
5．如圖3所示，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A、B用不可伸長(zhǎng)的細(xì)軟輕線連接，跨過(guò)固定在地面上、半徑為R的光滑圓柱，A的質(zhì)量為B的兩倍．當(dāng)B位于地面上時(shí)，A恰與圓柱軸心等高．將A由靜止釋放，B上升的最大高度是(　　)

圖3
A．2R B. C. D.
答案　C
解析　設(shè)B球質(zhì)量為m，則A球質(zhì)量為2m，A球剛落地時(shí)，兩球速度大小都為v，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得2mgR＝(2m＋m)v2＋mgR，得v2＝gR，B球繼續(xù)上升的高度h＝＝，B球上升的最大高度為h＋R＝R，故選C.
6．(2019·江西景德鎮(zhèn)市模擬)如圖4所示，將一質(zhì)量為m的小球從A點(diǎn)以初速度v斜向上拋出，小球先后經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)．已知B、C之間的豎直高度和C、A之間的豎直高度都為h，重力加速度為g，取A點(diǎn)所在的水平面為參考平面，不考慮空氣阻力，則(　　)

圖4
A．小球在B點(diǎn)的機(jī)械能是C點(diǎn)機(jī)械能的兩倍
B．小球在B點(diǎn)的動(dòng)能是C點(diǎn)動(dòng)能的兩倍
C．小球在B點(diǎn)的動(dòng)能為mv2＋2mgh
D．小球在C點(diǎn)的動(dòng)能為mv2－mgh
答案　D
7.(多選)(2019·山東臨沂市2月檢測(cè))如圖5所示，半徑為R的光滑圓弧軌道AO對(duì)接半徑為2R的光滑圓弧軌道OB于O點(diǎn)．可視為質(zhì)點(diǎn)的物體從上面圓弧的某點(diǎn)C由靜止下滑(C點(diǎn)未標(biāo)出)，物體恰能從O點(diǎn)平拋出去．則(　　)

圖5
A．∠CO1O＝60°
B．∠CO1O＝90°
C．落地點(diǎn)距O2的距離為2R
D．落地點(diǎn)距O2的距離為2R
答案　BC
解析　要使物體恰能從O點(diǎn)平拋出去，在O點(diǎn)有mg＝m，解得物體從O點(diǎn)平拋出去的最小速度為v＝.設(shè)∠CO1O＝θ，由機(jī)械能守恒定律可知，mgR(1－cos θ)＝mv2，解得θ＝90°，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得，x＝vt，2R＝gt2，解得落地點(diǎn)距O2的距離為2R，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤．

8.(多選)(2019·安徽安慶市二模)如圖6所示，光滑細(xì)桿MN傾斜固定，與水平方向夾角為θ，一輕質(zhì)彈簧一端固定在O點(diǎn)， 另一端連接一小球，小球套在細(xì)桿上，O與桿MN在同一豎直平面內(nèi)，P為MN的中點(diǎn)，且OP垂直于MN，已知小球位于桿上M、P兩點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈力大小相等且在彈性限度內(nèi)．現(xiàn)將小球從細(xì)桿頂端M點(diǎn)由靜止釋放，則在小球沿細(xì)桿從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過(guò)程中(重力加速度為g)，以下判斷正確的是(　　)

圖6
A．彈簧彈力對(duì)小球先做正功再做負(fù)功
B．小球加速度大小等于gsin θ的位置有三個(gè)
C．小球運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)的速度最大
D．小球運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能是運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)動(dòng)能的兩倍
答案　BD
9．(2020·甘肅蘭州市檢測(cè))如圖7所示，豎直平面內(nèi)固定著由兩個(gè)半徑均為R的四分之一圓弧構(gòu)成的細(xì)管道ABC，圓心連線O1O2水平．輕彈簧左端固定在豎直擋板上，右端靠著質(zhì)量為m的小球(小球的直徑略小于管道內(nèi)徑)，長(zhǎng)為R的薄板DE置于水平面上，薄板的左端D到管道右端C的水平距離為R.開(kāi)始時(shí)彈簧處于鎖定狀態(tài)，具有一定的彈性勢(shì)能．解除鎖定，小球離開(kāi)彈簧后進(jìn)入管道，最后從C點(diǎn)拋出(不計(jì)一切摩擦，重力加速度為g)，小球經(jīng)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道外側(cè)的彈力大小為mg.

圖7
(1)求彈簧鎖定時(shí)具有的彈性勢(shì)能Ep；
(2)試通過(guò)計(jì)算判斷小球能否落在薄板DE上．
答案　(1)3mgR　(2)見(jiàn)解析
解析　(1)從解除彈簧鎖定到小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程，彈簧和小球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，設(shè)小球到達(dá)C點(diǎn)的速度大小為v1，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得Ep＝2mgR＋mv
由題意知，小球經(jīng)C點(diǎn)時(shí)所受的彈力的大小為mg，方向豎直向下，由牛頓第二定律，
mg＋mg＝
聯(lián)立解得v1＝，Ep＝3mgR.
(2)小球離開(kāi)C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)從拋出到落到水平面上的時(shí)間為t，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有
2R＝gt2，x＝v1t
解得x＝2R>2R
所以小球不能落在薄板DE上．
10.如圖8所示，半徑為R的光滑圓周軌道AB固定在豎直平面內(nèi)，O為圓心，OA與水平方向的夾角為30°，OB在豎直方向．一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球從O點(diǎn)正上方某處以某一水平初速度向右拋出，小球恰好能無(wú)碰撞地從A點(diǎn)進(jìn)入圓軌道內(nèi)側(cè)，此后沿圓軌道運(yùn)動(dòng)到達(dá)B點(diǎn)．已知重力加速度為g，求：(不計(jì)空氣阻力)

圖8
(1)小球初速度的大小；
(2)小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)對(duì)圓軌道壓力的大?。?br /> 答案　(1)　(2)6mg
解析　(1)設(shè)小球的初速度大小為v0，飛行時(shí)間為t，則在水平方向有Rcos 30°＝v0t
在豎直方向有h1＝gt2，vy＝gt
小球運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)與軌道無(wú)碰撞，故tan 30°＝
聯(lián)立解得v0＝，h1＝R.
(2)拋出點(diǎn)距軌道最低點(diǎn)的高度h＝R＋Rsin 30°＋h1
設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)B時(shí)速度為v，圓軌道對(duì)小球的彈力大小為FN，
根據(jù)機(jī)械能守恒有mgh＋mv＝mv2
根據(jù)牛頓第二定律有FN－mg＝m
聯(lián)立解得FN＝6mg
由牛頓第三定律，在B點(diǎn)時(shí)小球?qū)A軌道的壓力大小為FN′＝FN＝6mg.
11．(2020·陜西商洛市調(diào)研)如圖9甲所示，豎直平面內(nèi)的光滑軌道由傾斜直軌道AB和圓軌道BCD組成，AB和BCD相切于B點(diǎn)，CD連線是圓軌道豎直方向的直徑(C、D為圓軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn))，已知∠BOC＝30°.可視為質(zhì)點(diǎn)的小滑塊從軌道AB上高H處的某點(diǎn)由靜止滑下，用力傳感器測(cè)出小滑塊經(jīng)過(guò)圓軌道最高點(diǎn)D時(shí)對(duì)軌道的壓力為F，并得到如圖乙所示的壓力F與高度H的關(guān)系圖象，取g＝10 m/s2.求：

圖9
(1)滑塊的質(zhì)量和圓軌道的半徑；
(2)是否存在某個(gè)H值，使得小滑塊經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)D后能直接落到直軌道AB上與圓心等高的點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出H值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
答案　(1)0.1 kg　0.2 m　(2)存在　0.6 m
解析　(1)設(shè)小滑塊的質(zhì)量為m，圓軌道的半徑為R
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得mg(H－2R)＝mv，由牛頓
第三定律可知軌道對(duì)小滑塊的支持力F′＝F，由牛頓第二定律有，F(xiàn)′＋mg＝
得：F＝F′＝－mg＝－5mg
取點(diǎn)(0.50 m,0)和(1.00 m,5.0 N)代入上式得：
m＝0.1 kg，R＝0.2 m
(2)假設(shè)小滑塊經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)D后能直接落到直軌道AB上與圓心等高的E點(diǎn)，如圖所示，

由幾何關(guān)系可得
OE＝＝0.4 m
設(shè)小滑塊經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)D時(shí)的速度為vD′
由題意可知，小滑塊從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，水平方向的位移為OE，豎直方向上的位移為R，則OE＝vD′t，R＝gt2
解得vD′＝2 m/s
而小滑塊過(guò)D點(diǎn)的臨界速度vD0＝＝ m/s
由于vD′＞vD0，所以存在一個(gè)H值，使得小滑塊經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)D后能直接落到直軌道AB上與圓心等高的點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律得
mg(H－2R)＝mvD′2
解得H＝0.6 m.

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