2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第3講簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞全稱量詞與存在量詞學(xué)案理新人教A版Word版

第3講　簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞1.簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞命題中的　　　　、　　　　、　　　　叫作邏輯聯(lián)結(jié)詞,分別表示為　　　　、　　　　、　　　　. 2.全稱量詞與存在量詞(1)短語“對所有的”“對任意一個”在邏輯中通常叫作　　　　,用符號“　　　　”表示. (2)短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫作　　　　,用符號“　　　　”表示. (3)含有一個量詞的命題的否定:全稱命題p:?x∈M,p(x),它的否定是　. 特稱命題q:?x0∈M,q(x0),它的否定是　.  常用結(jié)論1.否命題是把原命題的條件與結(jié)論都否定,命題的否定只需否定命題的結(jié)論.2.記憶口訣:(1)“p或q”,有真則真;(2)“p且q”,有假則假;(3)“非p”,真假相反.3.命題p∧q的否定是(?p)∨(?q);命題p∨q的否定是(?p)∧(?q). 題組一　常識題1.[教材改編] 命題p:x∈R,x2+1≥0,命題q:函數(shù)y=ax2+x的圖像是拋物線,則p∨q是　　　　命題,p∧(?q)是　　　　命題,(?p)∨(?q)是　　　　命題,(?p)∧(?q)是　　　　命題.(以上各空填“真”或“假”) 2.[教材改編] 命題“?x0∈R,log2x0+2<0”的否定是　　　　　　　　　　　　　　　　. 3.[教材改編] 命題“表面積相等的三棱錐體積也相等”的否定是　　　　　　　　　　　　　　　　. 4.[教材改編] 在一次駕照考試中,甲、乙兩名學(xué)員各試駕一次.設(shè)p是“甲試駕成功”,q是“乙試駕成功”,則“兩名學(xué)員至少有一人沒有試駕成功”可表示為　　　　. 題組二　常錯題◆索引:全稱命題或特稱命題的否定出錯;不會利用真值表判斷命題的真假;復(fù)合命題的否定中出現(xiàn)邏輯聯(lián)結(jié)詞錯誤;判斷命題真假時(shí)忽視對參數(shù)的討論.5.命題“所有奇數(shù)的立方都是奇數(shù)”的否定是 　　　　　. 6.已知命題p:所有有理數(shù)都是實(shí)數(shù),命題q:正數(shù)的對數(shù)都是負(fù)數(shù),則下列命題中為真命題的是　　　　.(填序號) ①(?p)∨q;②p∧q;③(?p)∧(?q);④(?p)∨(?q).7.已知命題“若ab=0,則a=0或b=0”,則其否命題為　　　　　　　　　. 8.已知p:?x∈R,ax2+4x+1>0,則?p:　　　　　　　　　　　.若p是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　. 探究點(diǎn)一　含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題及其真假例1 (1)在一次射擊訓(xùn)練中,甲、乙兩位運(yùn)動員各射擊一次.設(shè)命題p是“甲擊中目標(biāo)”,q是“乙擊中目標(biāo)”,則命題“兩位運(yùn)動員都沒有擊中目標(biāo)”可表示為????????????? (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.(?p)∨(?q) B.p∨(?q)C.p∨q D.(?p)∧(?q)(2)[2018·福建三明5月質(zhì)檢] 已知函數(shù)f(x)=cos2x+.命題p:f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱,命題q:f(x)在區(qū)間上為減函數(shù),則????????????? (　　)A.p∧q為真命題 B.(?p)∧q為假命題C.p∨q為真命題 D.(?p)∨q為假命題  [總結(jié)反思] 判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的一般步驟:(1)判斷復(fù)合命題的結(jié)構(gòu);(2)判斷構(gòu)成復(fù)合命題的每個簡單命題的真假;(3)依據(jù)“‘或’:一真即真;‘且’:一假即假;‘非’:真假相反”作出判斷即可.變式題 (1)[2018·太原三模] 設(shè)命題p:函數(shù)y=sin 2x的最小正周期為π,命題q:函數(shù)y=cos x的圖像關(guān)于直線x=對稱,則下列結(jié)論正確的是????????????? (　　)A.p為假命題 B.?q為假命題C.p∨q為假命題 D.p∧q為假命題(2)已知命題p:方程ex-1=0有實(shí)數(shù)根,命題q:不等式x2-x+1≤0有解,則p∧q,p∨q,(?p)∨q,p∧(?q)這四個命題中真命題的個數(shù)為????????????? (　　)A.1 B.2 C.3 D.4探究點(diǎn)二　全稱命題與特稱命題例2 (1)命題p:對任意x∈R,都存在m>1,使得mx>ex成立,則?p為 (　　)A.對任意x∈R,都存在m>1,使得mx≤ex成立B.對任意x∈R,不存在m>1,使得mx>ex成立C.存在x0∈R,對任意m>1,都有mx0≤成立D.存在x0∈R,對任意m>1,都有mx0>成立(2)[2018·大同質(zhì)檢] 下列說法正確的是(　　)A.命題“?x0∈R且x0≠1,<0”的否定是“?x∈R,≥0”B.?x>0,ln(x+1)>0C.?φ∈R,函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函數(shù)D.?x∈R,2x>x2  [總結(jié)反思] (1)全稱命題與特稱命題的否定:①改寫量詞:確定命題所含量詞的類型,省去量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞,再對量詞進(jìn)行改寫.②否定結(jié)論:對原命題的結(jié)論進(jìn)行否定.(2)全稱命題與特稱命題真假的判斷方法:命題名稱真假判斷方法一判斷方法二全稱命題真所有對象使命題真否定為假假存在一個對象使命題假否定為真特稱命題真存在一個對象使命題真否定為假變式題 [2018·西安質(zhì)檢] 已知命題p:?x0∈R,log2(+1)≤0,則 (　　)A.p是假命題;?p:?x∈R,log2(3x+1)≤0B.p是假命題;?p:?x∈R,log2(3x+1)>0C.p是真命題;?p:?x∈R,log2(3x+1)≤0D.p是真命題;?p:?x∈R,log2(3x+1)>0探究點(diǎn)三　根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍例3 (1)已知命題p:?x0∈[1,e],ln x0-a≥0,若?p是真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (　　)A.(-∞,0) B.(0,1)C.(1,e) D.(1,+∞)(2)已知命題p:?x0∈R,m+1≤0,命題q:?x∈R,x2+mx+1>0,若p∧q為真命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)A.(-∞,-2) B.[-2,0)C.(0,2) D.(-2,0)   [總結(jié)反思] 根據(jù)命題真假求參數(shù)的方法步驟:(1)根據(jù)題目條件,推出每一個命題的真假(有時(shí)不一定只有一種情況);(2)求出每個命題是真命題時(shí)參數(shù)的取值范圍;(3)根據(jù)每個命題的真假情況,求出參數(shù)的取值范圍.變式題 (1)若命題“?x∈(0,+∞),x+≥m”是假命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是　　　　. (2)設(shè)p:?x0∈,g(x0)=log2(t+2x0-2)有意義,若?p為假命題,則t的取值范圍為　　　　.         第3講　簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞考試說明 1.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義;2.理解全稱量詞與存在量詞的意義;3.能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定. 【課前雙基鞏固】知識聚焦1.“且”　“或”　“非”　∧　∨　?2.(1)全稱量詞　?　(2)存在量詞　?　(3)?x0∈M,?p(x0)　?x∈M,?q(x)對點(diǎn)演練1.真　真　真　假　[解析] 命題p是真命題,當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)圖像是直線,所以命題q是假命題,所以?p是假命題,?q是真命題,所以p∨q是真命題,p∧(?q)是真命題,(?p)∨(?q)是真命題,(?p)∧(?q)是假命題.2.?x∈R,log2x+2≥0　[解析] 這是一個特稱命題,特稱命題的否定是全稱命題,將存在量詞改為全稱量詞,再將結(jié)論否定,所以命題的否定是“?x∈R,log2x+2≥0”.3.有些表面積相等的三棱錐體積不相等　[解析] 命題為全稱命題,即“所有表面積相等的三棱錐體積相等”,所以其否定是“有些表面積相等的三棱錐體積不相等”.4.(?p)∨(?q)　[解析] ?p:甲沒有試駕成功,?q:乙沒有試駕成功,所以“兩名學(xué)員至少有一人沒有試駕成功”可表示為(?p)∨(?q).5.“存在一個奇數(shù),它的立方不是奇數(shù)”　[解析] 利用全稱命題的否定是特稱命題即可得出.6.④　[解析] 顯然命題p為真命題,命題q為假命題,從而只有(?p)∨(?q)為真命題.7.若ab≠0,則a≠0且b≠08.?x0∈R,a+4x0+1≤0　(-∞,4]　[解析] 根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題,得?p:?x0∈R,a+4x0+1≤0.若p為假命題,則?p是真命題,所以a≤0或解得a≤0或0<a≤4,所以a≤4.【課堂考點(diǎn)探究】例1　[思路點(diǎn)撥] (1)兩位運(yùn)動員都沒有擊中目標(biāo),即甲、乙都沒有擊中目標(biāo);(2)由題意首先確定命題p和q的真假,然后逐一判斷所給選項(xiàng)的真假即可求得最終結(jié)果.(1)D　(2)C　[解析] (1)由題意可得,命題?p:甲沒有擊中目標(biāo),?q:乙沒有擊中目標(biāo),所以兩位運(yùn)動員都沒有擊中目標(biāo)可表示為(?p)∧(?q).故選D.(2)結(jié)合函數(shù)的解析式可得f=cos=cos≠0, 則f(x)的圖像不關(guān)于點(diǎn)對稱,命題p是假命題,則?p是真命題.x∈,則2x+∈,故函數(shù)f(x)在區(qū)間上為減函數(shù),命題q是真命題.故p∧q為假命題,(?p)∧q為真命題,p∨q為真命題,(?p)∨q為真命題,故選C.變式題　(1)D　(2)B　[解析] (1)易知命題p是真命題,命題q是假命題,所以p∧q是假命題,故選D.(2)∵e0-1=0,∴x=0是方程ex-1=0的根,故命題p為真命題.∵x2-x+1=+>0恒成立,所以命題q為假命題.根據(jù)復(fù)合命題真假性的判斷可得,p∧q為假,p∨q為真,(?p)∨q為假,p∧(?q)為真,即真命題的個數(shù)為2,故選B.例2　[思路點(diǎn)撥] (1)直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可;(2)逐一判斷,如不正確可以舉一反例.(1)C　(2)B　[解析] (1)∵全稱命題的否定是特稱命題,∴命題“對任意x∈R,都存在m>1,使得mx>ex成立”的否定是“存在x0∈R,對任意m>1,都有mx0≤成立”.故選C.(2)命題“?x0∈R且x0≠1,<0”的否定是“?x∈R且x≠1,≥0”,所以A錯;當(dāng)x>0時(shí),x+1>1,所以ln(x+1)>0,所以B正確;當(dāng)φ=時(shí),f(x)=cos 2x為偶函數(shù),所以C錯;當(dāng)x=-2時(shí),2x>x2不成立,所以D錯.變式題　B　[解析] 因?yàn)?/span>3x+1>1,所以log2(3x+1)>0恒成立,所以命題p是假命題.?p:?x∈R,log2(3x+1)>0,所以選B.例3　[思路點(diǎn)撥] (1)若?p是真命題,則p是假命題,求出a的取值范圍即可;(2)據(jù)p∧q為真得到p,q全真,利用不等式的性質(zhì)及不等式恒成立得到m的取值范圍.(1)D　(2)D　[解析] (1)若?p是真命題,則p是假命題,即ln x-a<0在[1,e]上恒成立,即a>ln x在[1,e]上恒成立,∴a>1.(2)∵p∧q為真命題,∴p,q全真.若p真,則m<0;若q真,則m2-4<0,解得-2<m<2.∴m的取值范圍為(-2,0).變式題　(1)(2,+∞)　(2)t>-　[解析] (1)由題意得,命題“?x0∈(0,+∞),x0+<m”是真命題.∵x∈(0,+∞)時(shí),x+≥2,∴m∈(2,+∞).(2)若?p為假命題,則p為真命題.因此不等式tx2+2x-2>0有屬于的解,即t>-有屬于的解,又1<x<時(shí),<<1,所以-=2-∈.故t>-.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【備選理由】 例1考查含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假的判斷;例2考查對含有量詞的命題的否定;例3是根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍問題.例1　[配合例1使用] [2018·威海二模] 已知命題p:?a>b,|a|>|b|,命題q:?x0<0,>0,則下列為真命題的是????????????? (　　)A.p∧q B.(?p)∧(?q)C.p∨q D.p∨(?q) [解析] C　對于命題p,當(dāng)a=0,b=-1時(shí),0>-1,但是|a|=0,|b|=1,|a|<|b|,所以命題p是假命題.對于命題q,如x0=-1,2-1=>0,所以命題q是真命題.所以p∨q為真命題.故答案為C.例2　[配合例2使用] [2018·咸陽一模] 已知命題p:存在x0∈[1,+∞),使得(log23>1,則下列說法正確的是????????????? (　　)A.?p:對任意x∈[1,+∞),都有(log23)x<1B.?p:不存在x0∈[1,+∞),使得(log23<1C.?p:對任意x∈[1,+∞),都有(log23)x≤1D.?p:對任意x∈(-∞,1),都有(log23)x≤1[解析] C　根據(jù)全稱命題與特稱命題的關(guān)系,可得命題?p:對任意x∈[1,+∞),都有(log23)x≤1,故選C.例3　[配合例3使用] 已知命題p:函數(shù)f(x)=2ax2-x-1(a≠0)在(0,1)內(nèi)恰有一個零點(diǎn),命題q:函數(shù)y=x2-a在(0,+∞)上是減函數(shù).若p且?q為真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　. [答案] (1,2][解析] 命題p:函數(shù)f(x)=2ax2-x-1(a≠0)在(0,1)內(nèi)恰有一個零點(diǎn),若p為真命題,則f(0)f(1)=-(2a-2)<0,解得a>1.命題q:函數(shù)y=x2-a在(0,+∞)上是減函數(shù),若q為真命題,則2-a<0,解得a>2.∵p且?q為真命題,∴p與?q都為真命題,∴∴1<a≤2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2].