2021高三物理人教版一輪學(xué)案：第一章第3講　運動圖象　追及相遇問題

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第3講　運動圖象　追及相遇問題
ZHI SHI SHU LI ZI CE GONG GU
知識梳理·自測鞏固
　知識點1　運動圖象
1．直線運動的x－t圖象
(1)意義：反映了直線運動的物體位移隨時間變化的規(guī)律。
(2)圖線上某點切線的斜率的意義
①斜率大小：表示物體速度的大小。
②斜率的正負(fù)：表示物體速度的方向。
(3)兩種特殊的x－t圖象

①若x－t圖象是一條平行于時間軸的直線，說明物體處于靜止?fàn)顟B(tài)。(如圖甲所示)
②若x－t圖象是一條傾斜的直線，說明物體在做勻速直線運動。(如圖乙所示)
2．直線運動的v－t圖象
(1)意義：反映了直線運動的物體速度隨時間變化的規(guī)律。
(2)圖線上某點切線的斜率的意義
①斜率的大小：表示物體加速度的大小。
②斜率的正負(fù)：表示物體加速度的方向。
(3)兩種特殊的v－t圖象

①勻速直線運動的v－t圖象是與橫軸平行的直線。(如圖甲所示)
②勻變速直線運動的v－t圖象是一條傾斜的直線。(如圖乙所示)
(4)圖線與坐標(biāo)軸圍成的“面積”的意義
①圖線與坐標(biāo)軸圍成的“面積”表示相應(yīng)時間內(nèi)的位移。
②若此面積在時間軸的上方，表示這段時間內(nèi)的位移方向為正方向；若此面積在時間軸的下方，表示這段時間內(nèi)的位移方向為負(fù)方向。
3．a(chǎn)－t圖象
(1)物理意義：反映了做直線運動的物體的加速度隨時間變化的規(guī)律。
(2)圖象斜率的意義：圖線上某點切線的斜率表示該點加速度的變化率。
(3)包圍面積的意義：圖象和時間軸所圍的面積，表示物體的速度變化量。
　知識點2　追及相遇問題
1．追及問題的兩類情況
(1)若后者能追上前者，追上時，兩者處于同一位置，且后者速度一定大于等于前者速度。
(2)若追不上前者，則當(dāng)后者速度與前者速度相等時，兩者相距最近。
2．相遇問題的兩類情況
(1)同向運動的兩物體追及并相遇：兩物體位移大小之差等于開始時兩物體間的距離。
(2)相向運動的物體相遇：各自發(fā)生的位移大小之和等于開始時兩物體間的距離。
思維診斷：
(1)x－t圖象是物體的運動軌跡。(　×　)
(2)x－t圖象是一條直線，說明物體一定做勻速直線運動。(　×　)
(3)v－t圖象是一條平行于t軸的直線，說明物體做勻速直線運動。(　√　)
(4)x－t圖象與時間軸圍成的面積表示物體運動的路程。(　×　)
(5)兩條v－t圖象的交點表示兩個物體相遇。(　×　)
(6)兩條x－t圖象的交點表示兩個物體相遇。(　√　)
(7)相向運動的物體各自發(fā)生的位移大小之和等于開始時二者之距時即相遇。(　√　)

1．(2019·云南曲靖一中質(zhì)監(jiān))甲、乙兩車在同一條直線上運動，它們的位移—時間圖象如圖所示，則下列說法正確的是(　B　)

A．乙做勻減速直線運動
B．0～t1時間內(nèi)，兩車之間的距離先增大后減小
C．0～t1時間內(nèi)，乙車的平均速度大
D．t1時刻，甲、乙兩車的速度相等
[解析]　本題考查x－t圖象。x－t圖象的斜率表示速度，可知乙的速度逐漸減小，但不一定做勻減速直線運動，選項A錯誤；由圖象可知，0～t1時間內(nèi)，兩車之間的距離先增大后減小，選項B正確；0～t1時間內(nèi)，兩車的位移相同，則兩車的平均速度相等，選項C錯誤；由x－t圖象的斜率表示速度，可知t1時刻，甲車的速度大于乙車的速度，選項D錯誤。
2．(2019·天津期末)一玩具小車沿x軸運動，其v－t圖象如圖所示。下列說法正確的是(　A　)

A．第1 s內(nèi)和第4 s內(nèi)，小車的加速度大小相等、方向相同
B．0～3 s內(nèi)，小車的平均速度為5 m/s
C．t＝3 s時，小車的速度大小為5 m/s，方向沿x軸正方向
D．第2 s內(nèi)和第3 s內(nèi)，小車位移相同
[解析]　本題考查v－t圖象。v－t圖象的斜率表示加速度，可知小車在第1 s內(nèi)和第4 s內(nèi)的加速度大小a＝＝5 m/s2，方向均為正方向，故A正確；由v－t圖象與t軸圍成圖形的面積表示位移，可知小車在0～3 s內(nèi)的位移為2.5 m，＝＝ m/s＝ m/s，故B錯誤；t＝3 s時，小車的速度大小為5 m/s，方向沿x軸負(fù)方向，故C錯誤；根據(jù)圖象可知，第2 s內(nèi)和第3 s內(nèi)小車位移大小相等，方向相反，故D錯誤。
3．(2020·江蘇鹽城田家炳中學(xué)模擬)在同一水平面上有A、B兩物體，相距x＝7 m，A在后B在前，A以vA＝4 m/s向右做勻速直線運動，此時B的瞬時速度為vB＝10 m/s，方向也向右，且以加速度大小a＝2 m/s2做勻減速直線運動。從此位置開始計時，A追上B所需時間為(　B　)
A．7 s B．8 s
C．9 s D．10 s
[解析]　本題考查勻速追勻減速問題。物體B勻減速運動到停止運動的時間t＝＝ s＝5 s，故B在5 s末停下來，5 s內(nèi)的位移x1＝＝ m＝25 m；此過程A的位移x2＝4×5 m＝20 m；故5 s末二者間的距離Δx＝x1＋7 m－x2＝25 m＋7 m－20 m＝12 m，故還需要的時間t＝＝ s＝3 s才能追上B，故A在8 s末追上B，B正確。
HE XIN KAO DIAN ZHONG DIAN TU PO
核心考點·重點突破
　考點一　四類運動圖象的比較
1．位移—時間(x－t)圖象
(1)位移—時間圖象反映了做直線運動的物體的位移隨時間變化的規(guī)律，并非物體運動的軌跡。
(2)位移—時間圖象只能描述物體做直線運動的情況，這是因為位移—時間圖象只能表示物體運動的兩個方向：t軸上方代表正方向，t軸下方代表負(fù)方向。
(3)位移—時間圖線上每一點的斜率表示物體該時刻的速度，斜率的大小表示速度的大小，斜率的正負(fù)表示速度的方向。
例1　(2019·福建漳州二模)(多選)某個做直線運動的質(zhì)點的位置—時間圖象(拋物線)如圖所示，P(2 s,12 m)為圖線上的一點。PQ為過P點的切線，與x軸交于點Q(0,4 m)。已知t＝0時質(zhì)點的速度大小為8 m/s，則下列說法正確的是(　AC　)

A．質(zhì)點做勻減速直線運動
B．t＝2 s時，質(zhì)點的速度大小為6 m/s
C．質(zhì)點的加速度大小為2 m/s2
D．0～1 s內(nèi)，質(zhì)點的位移大小為4 m
[解析]　本題考查位移—時間圖象。由于位移—時間圖象為拋物線，結(jié)合勻變速直線運動的位移—時間公式x＝v0t＋at2，已知v0＝8 m/s，時間t＝2 s時的位移為x＝12 m，代入解得a＝－2 m/s2，則圖線對應(yīng)的函數(shù)為x＝8t－t2，即質(zhì)點做勻減速直線運動，加速度大小為2 m/s2，故A、C正確；t＝2 s時質(zhì)點的瞬時速度為v2＝v0＋at＝(8－2×2) m/s＝4 m/s，故B錯誤；由位移—時間公式可得0～1 s內(nèi)質(zhì)點的位移x1＝8×1 m－12 m＝7 m，故D錯誤。
2．速度—時間(v－t)圖象
(1)速度—時間圖象反映了做直線運動的物體的速度隨時間變化的規(guī)律，只能描述物體做直線運動的情況。
(2)速度—時間圖線上每一點的斜率表示物體該時刻的加速度。
(3)速度—時間圖線與t軸所圍面積表示這段時間內(nèi)物體的位移。
例2　(2019·遼寧大連模擬)如圖所示為某質(zhì)點做直線運動的v－t圖象，已知t0時刻質(zhì)點的速度為v0,2t0時刻質(zhì)點的速度為2v0。圖中OA與AB是關(guān)于A點中心對稱的曲線。由此可求出的物理量有(　C　)

A．0～t0時間內(nèi)的位移　 B．t0～2t0時間內(nèi)的平均速度
C．0～2t0時間內(nèi)的位移 D．2t0時刻的加速度
[解析]　解答本題的關(guān)鍵是抓住題中的“中心對稱”這一條件，利用對稱性解決問題。
本題考查v－t圖象。對于v－t圖象，圖線與時間軸圍成的面積表示位移，0～t0時間內(nèi)的圖象是曲線且不知曲線方程，無法求解0～t0時間內(nèi)的位移，同理也不清楚t0～2t0時間內(nèi)圖線的曲線方程，無法求解t0～2t0時間內(nèi)的位移，也無法求解該時間段內(nèi)的平均速度，故A、B錯誤；圖中OA和AB是關(guān)于A點中心對稱的曲線，利用割補法可知圖線與時間軸圍成的面積等于連接O、B的直線與時間軸圍成的三角形面積，該面積可求，故C正確；對于v－t圖象，圖象的斜率表示加速度，但2t0時刻圖象的斜率無法求解，即無法求解2t0時刻的加速度，故D錯誤。
3．加速度—時間(a－t)圖象
(1)加速度—時間圖象反映了做直線運動的物體的加速度隨時間變化的規(guī)律，也是只能描述物體做直線運動的情況。
(2)加速度—時間圖線與t軸所圍面積表示這段時間內(nèi)物體的速度變化量。
例3　(2020·山東日照一模)一物體在外力作用下由靜止開始沿直線運動，其加速度隨時間變化的關(guān)系圖線如圖所示。下列說法正確的是(　D　)

A．物體運動的最大速度是4 m/s
B．t＝4 s時物體回到出發(fā)點
C．t＝4 s時物體開始反向運動
D．t＝1 s末和t＝3 s末物體的瞬時速度相同
[解析]　本題根據(jù)a－t圖象考查直線運動問題。a－t圖象與時間軸所圍的面積表示速度變化量，物體初速度為零，由題圖可知，物體運動的最大速度為vmax＝×2×2 m/s＝2 m/s，故A錯誤；0～1 s內(nèi)物體做加速度增大的加速運動，1～2 s內(nèi)物體做加速度減小的加速運動，2～3 s內(nèi)物體做加速度反向增大的減速運動，3～4 s內(nèi)物體做加速度反向減小的減速運動，根據(jù)對稱性可知，物體在4 s末時速度減為零，4 s后物體重復(fù)前面的運動，故B、C錯誤；由B、C項分析可知，t＝1 s末和t＝3 s末物體的瞬時速度相同，故D正確。
4．位置坐標(biāo)(y－x)圖象
表示物體位置的坐標(biāo)圖，圖線表示物體實際運動軌跡的路線，在坐標(biāo)圖上能表示出物體運動的位移。
例4　(多選)如圖為甲、乙、丙三個軍事小分隊進(jìn)行軍事行動的運動圖象，下列說法正確的是(　AB　)

A．甲、丙兩個分隊的運動路線為曲線，乙分隊的運動路線為直線
B．甲、乙、丙三個分隊的位移相等
C．甲、乙、丙三個分隊的平均速度相等
D．甲、乙、丙三個分隊運動的路程相等
[解析]　位置坐標(biāo)圖象顯示的是物體的運動軌跡，從圖可以看出甲、丙兩個分隊運動路線為曲線，乙分隊的運動路線為直線，A正確；三個隊的初、末位置相同，位移相等，但運動路程不同，B正確，D錯誤；因不知道三個分隊運動的時間大小關(guān)系，故無法比較三個分隊的平均速度大小關(guān)系，C錯誤。
　考點二　圖象問題的解題思路
用圖象來描述兩個物理量之間的關(guān)系，是物理學(xué)中常用的方法，是一種直觀且形象的語言和工具。它運用數(shù)和形的巧妙結(jié)合，恰當(dāng)?shù)乇磉_(dá)各種現(xiàn)象的物理過程和物理規(guī)律。運用圖象解題的能力可歸納為以下兩個方面：
1．讀圖

2．作圖和用圖
依據(jù)物體的狀態(tài)或物理過程所遵循的物理規(guī)律，作出與之對應(yīng)的示意圖或數(shù)學(xué)函數(shù)圖象來研究和處理問題。
例5　(2019·遼寧遼陽模擬)(多選)研究人員正在檢測某新能源動力車的剎車性能，如圖所示是一次在平直公路上實驗時，動力車整個剎車過程中位移與速度平方之間的關(guān)系圖象，下列說法正確的是(　AB　)

A．動力車的初速度為20 m/s
B．剎車過程動力車的加速度大小為5 m/s2
C．剎車過程持續(xù)的時間為10 s
D．剎車過程經(jīng)過6 s時動力車的位移為30 m
[解析]　根據(jù)0－v2＝2ax得＝－，可知＝ m－1·s2，解得剎車過程中動力車的加速度大小a＝5 m/s2，由圖線可知，v＝400 m2·s－2，則動力車的初速度為v0＝20 m/s，選項A、B正確；剎車過程持續(xù)的時間t＝＝ s＝4 s，故C錯誤；剎車過程中動力車在6 s內(nèi)的位移等于4 s內(nèi)的位移，則x＝＝ m＝40 m，故D錯誤。
規(guī)律總結(jié)：
若題中圖象是直線，一般都要寫出縱軸與橫軸的表達(dá)式，結(jié)合數(shù)學(xué)知識得出圖象的截距及斜率意義。
〔類題演練1〕
(2020·廣東茂名一模)某物體做直線運動，運動時間t內(nèi)位移為x，物體的－t圖象如圖所示，則下列說法正確的是(　C　)

A．物體的加速度大小為2 m/s2
B．t＝0時，物體的初速度為2 m/s
C．t＝0到t＝1 s這段時間物體的位移為2 m
D．t＝0到t＝2 s這段時間物體的平均速度為2 m/s
[解析]　本題考查非常規(guī)圖象問題。根據(jù)勻變速直線運動位移x＝v0t＋at2，可得＝v0＋at，由圖可得v0＝4 m/s，a＝－ m/s2＝－2 m/s2，故a＝－4 m/s2，由此可知A、B錯誤；從t＝0到t＝1 s這段時間內(nèi)物體的位移為x1＝4×1 m＋×(－4)×12 m＝2 m，故C正確；從t＝0到t＝2 s這段時間內(nèi)物體的位移x2＝4×2 m＋×(－4)×22 m＝0，可知平均速度為0，D錯誤。
　考點三　追及和相遇問題
討論追及、相遇的問題，其實質(zhì)就是分析討論兩物體在同一時刻能否到達(dá)相同的空間位置問題。
1．追及和相遇問題中的兩個關(guān)系和一個條件
(1)兩個關(guān)系：即時間關(guān)系和位移關(guān)系，這兩個關(guān)系可通過畫運動示意圖得到。
(2)一個條件：即兩者速度相等，它往往是物體間能否追上、追不上或(兩者)距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷的切入點。
2．追及和相遇問題常見的情況
假設(shè)物體A追物體B，開始時兩個物體相距x0，有兩種常見情況：
(1)A追上B時，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。
(2)如果兩物體恰好不相撞，兩物體同時到達(dá)同一位置時速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB。如果兩物體保證不相撞，此時應(yīng)有vA110 m，故甲車不能安全超車。
[答案]　(1)4 s　(2)不能安全超車
方法總結(jié)：
追及和相遇問題的求解方法
(1)解題思路
???
(2)解題技巧
①緊抓“一圖三式”，即：過程示意圖，時間關(guān)系式、速度關(guān)系式和位移關(guān)系式。
②審題應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵字眼，充分挖掘題目中的隱含條件，如“剛好”“恰好”“最多”“至少”等，往往對應(yīng)一個臨界狀態(tài)，滿足相應(yīng)的臨界條件。
③若被追趕的物體做勻減速運動，一定要注意追上前該物體是否已經(jīng)停止運動，另外還要注意最后對解的討論分析。
〔類題演練2〕
(2019·安徽江淮十校聯(lián)考)甲、乙兩車同時同地出發(fā)，在同一平直公路上行駛。其中甲車做勻速直線運動，乙車由靜止開始做勻加速直線運動，其運動的x－t圖象如圖所示。則乙車追上甲車前兩車間的最大距離為(　C　)

A．15 m 　 B．20 m
C．25 m D．50 m
[解析]　

本題考查勻速追勻加速問題。由題知，v甲＝ m/s＝20 m/s,100 m＝a(5 s)2，可知v乙＝at＝8t。將x－t圖象轉(zhuǎn)化為v－t圖象，如圖所示。v－t圖象與t軸圍成的圖形面積表示位移，可知t＝2.5 s時，甲、乙速度相等，此時相距最遠(yuǎn)，所以最大距離是陰影部分面積，即25 m，故選C。
〔類題演練3〕
(2019·安徽定遠(yuǎn)育才學(xué)校一檢)(多選)汽車甲以速度v2沿平直的狹窄公路行駛，突然發(fā)現(xiàn)正前方l處有一輛同向行駛的汽車乙正以v1的速度開始做勻減速運動，且v1