(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) a>10<a<1圖象定義域R值域　(0，＋∞)　性質(zhì)過定點(diǎn)　(0,1)　，即x＝0時(shí)，y＝1當(dāng)x>0時(shí)，　y>1　；當(dāng)x<0時(shí)，　0<y<1　當(dāng)x<0時(shí)，　y>1　；當(dāng)x>0時(shí)，　0<y<1　在(－∞，＋∞)上是  增函數(shù)在(－∞，＋∞)上是　減函數(shù)[思考辨析]判斷下列說法是否正確，正確的在它后面的括號里打“√”，錯誤的打“×”．(1)與()n都等于a(n∈N*)．(　　)(2)2a·2b＝2ab.(　　)(3)函數(shù)y＝3·2x與y＝2x＋1都不是指數(shù)函數(shù)．(　　)(4)函數(shù)y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　)(5)函數(shù)y＝2－x在R上為單調(diào)減函數(shù)．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√[小題查驗(yàn)]1．化簡[(－2)6]－(－1)0的結(jié)果為(　　 )A．－9　　　　　　　　　 B．7C．－10  D．9解析：B　[原式＝(26)－1＝8－1＝7.]2．在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝2x與y＝x的圖象之間的關(guān)系是(　　 )A．關(guān)于y軸對稱  B．關(guān)于x軸對稱C．關(guān)于原點(diǎn)對稱  D．關(guān)于直線y＝x對稱解析：A　[∵y＝x＝2－x，∴它與函數(shù)y＝2x的圖象關(guān)于y軸對稱．]3．已知函數(shù)f(x)＝4＋ax－1的圖象恒過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(　　)A．(1,5)　　　　　　 B．(1,4)C．(0,4)  D．(4,0)解析：A　[由a0＝1知，當(dāng)x－1＝0，即x＝1時(shí)，f(1)＝5，即圖象必過定點(diǎn)(1,5). 故選A.]4．(教材改編)已知0.2m<0.2n，則m　______　n(填“>”或“<”)．答案：>5．若函數(shù)y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　________　.解析：由題意知0＜a2－1＜1，即1＜a2＜2，得－＜a＜－1或1＜a＜.答案：(－，－1)∪考點(diǎn)一　根式與有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算(自主練透)數(shù)學(xué)運(yùn)算——巧算指數(shù)式指數(shù)的運(yùn)算除了熟練運(yùn)用定義和法則外，根據(jù)不同的題目結(jié)構(gòu)，會有不同的方法技巧， 可以化為同指數(shù)，也可以化為同底數(shù)，展現(xiàn)出其運(yùn)算之“芬芳”．[題組集訓(xùn)]1．下列等式能夠成立的是(　　)A.5＝mn5　　　 B.＝C.＝(x＋y)  D.＝解析：D　[5＝n5m－5，＝， ＝(x3＋y3)≠(x＋y)，＝＝＝.故選D.]2．求值與化簡．(1)(0.027)－－－2＋－(－1)0；(2)－·.解：(1)原式＝－－(－1)－2·－2＋－1＝－49＋－1＝－45.(2)原式＝·a·a－·b·b－＝a0·b0＝.指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則(1)有括號的先算括號里的，無括號的先做指數(shù)運(yùn)算．(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)．(3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù)．(4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來解答．易錯警示：運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)．考點(diǎn)二　指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用(師生共研)[典例]　(1)函數(shù)f(x)＝1－e|x|的圖象大致是(　　)(2)函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．a>1，b<0　　　　　　 B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0  D．0<a<1，b<0(3)(2019·衡水模擬)若曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是　________　.[解析]　(1)將函數(shù)解析式與圖象對比分析，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝1－e|x|是偶函數(shù)，且值域是(－∞，0]，只有A滿足上述兩個(gè)性質(zhì)，故選A.(2)由f(x)＝ax－b的圖象可以觀察出，函數(shù)f(x)＝ax－b在定義域上單調(diào)遞減，所以0<a<1，函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象是在y＝ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以b<0，故選D.(3)曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b的圖象如圖所示，由圖象可得：如果|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點(diǎn)，則b應(yīng)滿足的條件是b∈[－1,1]．[答案]　(1)A　(2)D　(3)[－1,1][互動探究1]若將本例(3)中“|y|＝2x＋1”改為“y＝|2x－1|”，且與直線y＝b有兩個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍是　________　.解析：曲線y＝|2x－1|與直線y＝b的圖象如圖所示，由圖象可得，如果曲線y＝|2x－1|與直線y＝b有兩個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍是(0,1)．答案：(0,1)[互動探究2]若將本例(3)改為：函數(shù)y＝|2x－1|在(－∞，k]上單調(diào)遞減，則k的取值范圍是　________　.解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝|2x－1|的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0]，所以k≤0，即k的取值范圍為(－∞，0]．答案：(－∞，0][互動探究3]若將本例(3)改為：直線y＝2a與函數(shù)y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍是______________________________．解析：y＝|ax－1|的圖象是由y＝ax先向下平移1個(gè)單位，再將x軸下方的圖象沿x軸翻折過來得到的．當(dāng)a＞1時(shí)，兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，如圖(1)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，要使兩個(gè)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則0＜2a＜1，得到0＜a＜，如圖(2)．綜上，a的取值范圍是.答案：指數(shù)函數(shù)圖象可解決的兩類熱點(diǎn)問題及思路(1)求解指數(shù)型函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題對指數(shù)型函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題(單調(diào)性、最值、大小比較、零點(diǎn)等)的求解往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象，通過平移、對稱變換得到其圖象，然后數(shù)形結(jié)合使問題得解．(2)求解指數(shù)型方程、不等式問題一些指數(shù)型方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解．易錯警示：應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的圖象解決指數(shù)方程、不等式問題以及指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，要注意畫出圖象的準(zhǔn)確性，否則數(shù)形結(jié)合得到的可能為錯誤結(jié)論．[跟蹤訓(xùn)練]1．函數(shù)y＝ax－(a>0，且a≠1)的圖象可能是(　　 )解析：D　[法一：當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)y＝ax－是減函數(shù)，且其圖象可視為是由函數(shù)y＝ax的圖象向下平移個(gè)單位長度得到的，結(jié)合各選項(xiàng)知選D.法二：因?yàn)楹瘮?shù)y＝ax－(a>0，且a≠1)的圖象必過點(diǎn)(－1,0)，所以選D.]2．方程2x＝2－x的解的個(gè)數(shù)是　________　.解析：方程的解可看作函數(shù)y＝2x和y＝2－x的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，分別作出這兩個(gè)函數(shù)圖象(如圖所示)．由圖象得只有一個(gè)交點(diǎn)，因此該方程只有一個(gè)解．答案：1考點(diǎn)三　指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(多維探究)[命題角度1]　比較指數(shù)式的大小　1．設(shè)a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系是　________　.解析：∵y＝x(x>0)為增函數(shù)，∴a>c.∵y＝x(x∈R)為減函數(shù)，∴c>b，∴a>c>b.答案：a>c>b[命題角度2]　簡單的指數(shù)方程或不等式的應(yīng)用　2．設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(a)＜1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　 )A．(－∞，－3)　　　　 B．(1，＋∞)C．(－3,1)  D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：C　[當(dāng)a＜0時(shí)，不等式f(a)＜1可化為a－7＜1，即a＜8，即a＜－3，因?yàn)?/span>0＜＜1，所以a＞－3，此時(shí)－3＜a＜0；當(dāng)a≥0時(shí)，不等式f(a)＜1可化為＜1，所以0≤a＜1.故a的取值范圍是(－3,1)，故選C.][命題角度3]　探究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)　3．已知函數(shù)f(x)＝ax2－4x＋3.(1)若a＝－1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．[思路導(dǎo)引]　(1)遵循“同增異減”法則求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)由于f(x)有最大值3，所以g(x)應(yīng)有最小值－1，由此可求出a的值；(3)要使f(x)的值域?yàn)?/span>(0，＋∞)，應(yīng)使g(x)＝ax2－4x＋3的值域?yàn)?/span>R，由此可求出a的值．解：(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝－x2－4x＋3，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，在(－2，＋∞)上單調(diào)遞減，而y＝t在R上單調(diào)遞減，所以f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞減，在(－2，＋∞)上單調(diào)遞增，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－2)．(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)應(yīng)有最小值－1，因此必有解得a＝1，即當(dāng)f(x)有最大值3時(shí)，a的值等于1.(3)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，要使y＝g(x)的值域?yàn)?/span>(0，＋∞)，應(yīng)使g(x)＝ax2－4x＋3的值域?yàn)?/span>R，因此只能a＝0.(因?yàn)槿?/span>a≠0，則g(x)為二次函數(shù)，其值域不可能為R)．故a的值為0.　指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用問題解題策略(1)比較大小問題．常利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及中間值(0或1)法．(2)簡單的指數(shù)方程或不等式的求解問題．解決此類問題應(yīng)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，要特別注意底數(shù)a的取值范圍，并在必要時(shí)進(jìn)行分類討論．(3)解決指數(shù)函數(shù)的綜合問題時(shí)，要把指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)同函數(shù)的其他性質(zhì)(如奇偶性、周期性)相結(jié)合，同時(shí)要特別注意底數(shù)不確定時(shí)，對底數(shù)的分類討論．1．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，則f(2a)等于(　　)A．5　　　　　　　　　 B．7C．9  D．11解析：B　[由f(a)＝3得2a＋2－a＝3，兩邊平方得22a＋2－2a＋2＝9，即22a＋2－2a＝7，故f(2a)＝7.]2．(2020·蚌埠市模擬)已知a＝21.2，b＝－0.8，c＝ln 2，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　 )A．c＜a＜b  B．c＜b＜aC．b＜a＜c  D．b＜c＜a解析：B　[a＝21.2＞b＝－0.8＝20.8＞1＞c＝ln 2，故a＞b＞c故選B.]3．函數(shù)y＝(0<a<1)圖象的大致形狀是(　　)解析：D　[函數(shù)定義域?yàn)?/span>{x|x∈R，x≠0}，且y＝＝當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，因?yàn)?/span>0<a<1，所以函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)；故排除A、C；當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)圖象與指數(shù)函數(shù)y＝ax(x<0,0<a<1)的圖象關(guān)于x軸對稱，在(－∞，0)上是增函數(shù)．故排除B.]4．若函數(shù)f(x)＝a|2x－4| (a>0，a≠1)，滿足f(1)＝，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(　　)A．(－∞，2]  B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞)  D．(－∞，－2]解析：B　[由f(1)＝，得a2＝，∴a＝ ，即f(x)＝|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上遞減，在[2，＋∞)上遞增，所以f(x)在(－∞，2]上遞增，在[2，＋∞)上遞減．故選B.]5．已知函數(shù)f(x)＝ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))，對任意實(shí)數(shù)x、y都有(　　)A．f(xy)＝f(x)f(y)  B．f(xy)＝f(x)＋f(y)C．f(x＋y)＝f(x)f(y)  D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)解析：C　[由指數(shù)冪的運(yùn)算法則可得f(xy)＝exy，f(x＋y)＝ex＋y；f(x)＋f(y)＝ex＋ey, f(x＋y)＝ex＋y＝ex·ey＝f(x)f(y)；∴選項(xiàng)C正確，故選C.]6．(2020·煙臺市模擬)化簡：6＝　________　.解析：原式＝6·6＝x3y2.答案：x3y27．設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＝2x－4(x≥0)，則{x|f(x－2)>0}＝　____________　.解析：∵f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝f(－x)＝2－x－4.所以f(x)＝有或當(dāng)f(x－2)>0時(shí)，解得x>4或x<0.所以{x|f(x－2)>0}＝{x|x<0或x>4}答案： {x|x<0或x>4}8．函數(shù)y＝x－x＋1在x∈[－3,2]上的值域是　________　.解析：y＝x－x＋1＝2－x＋1＝2＋，因?yàn)?/span>x∈[－3,2]，所以≤x≤8.當(dāng)x＝，即x＝1時(shí)ymin＝；當(dāng)x＝8，即x＝－3時(shí)，ymax＝57.所以函數(shù)y的值域?yàn)?/span>.答案：9．化簡下列各式：(1)0.5＋0.1－2＋－－3π0＋；(2)· .解：(1)原式＝＋＋－－3＋＝＋100＋－3＋＝100.(2)原式＝·＝a－·b－＝a＝a.10．已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)．(1)求m的值；(2)設(shè)g(x)＝2x＋1－a，若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象至少有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析：(1)由函數(shù)f(x)是奇函數(shù)可知f(0)＝1＋m＝0，解得m＝－1.(2)函數(shù)f(x)與g(x)的圖象至少有一個(gè)公共點(diǎn)，即方程＝2x＋1－a至少有一個(gè)實(shí)根，即方程4x－a·2x＋1＝0至少有一個(gè)實(shí)根．令t＝2x>0，則方程t2－at＋1＝0至少有一個(gè)正根．方法一：由于a＝t＋≥2，∴a的取值范圍為[2，＋∞)．方法二：令h(t)＝t2－at＋1，由于h(0)＝1>0，∴只須解得a≥2.∴a的取值范圍為[2，＋∞)．

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